12.1 nociones básicas

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
12.1 NOCIONES BÁSICAS
Definición 72. Ángulo diedro.
Sean 1 ,  2 distintos, 1 2  AB , P  1 , P  AB , Q   2 , Q  AB .
Definimos el ángulo diedro que notamos P  AB  Q a la figura  AB : P   AB : Q  AB .
: P   2 AB : Q  AB . Ver figura 218.
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Esto es P  AB  Q  
1 AB
Figura 218
Notas:
Dado el ángulo diedro P  AB  Q designaremos los siguientes términos:

AB se denomina arista del ángulo diedro.

1AB : P y  2 AB : Q se llaman las caras del ángulo diedro, o también, lados del
ángulo diedro.

Si P´ 
1 AB
:~ P y Q´  2 AB :~ Q , entonces, P  AB  Q y P´ AB  Q´ se
denominan ángulos diedros opuestos por la arista.
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Definición 73. Ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro.
Sean P  AB  Q un ángulo diedro, O  AB , OK  AB , OK  1 , OW  AB ,
OW  2 .
ˆ como el ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro P  AB  Q . Ver
Definimos KOW
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figura 219.
Figura 219
Definición 74. Medida de un ángulo diedro.
La medida de un ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo asociado. En este
sentido hablaremos de ángulos diedros agudos, rectos, obtusos.
Nota:
Diremos que dos planos son perpendiculares si sus ángulos diedros determinados al
intersectarse son rectos.
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Definición 75. Ángulo poliedro convexo.
Sean OA1 , OA2 ,…., OAn tales que 3 cualesquiera de ellas no sean coplanarias y todas
distintas.
Definimos como ángulo poliedro convexo que notamos O  A1 A2 .... An a la figura
OA1  OA2  ....  OAn O .
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Esto es O  A1 A2 .... An  OA1  OA2  ....  OAn O . Ver figura 220.
Figura 220
Notas:
Dado el ángulo poliedro convexo O  A1 A2 .... An designaremos los siguientes términos:

O se llama vértice del ángulo poliedro convexo

OA1 , OA2 ,…., OAn se llaman aristas del ángulo poliedro convexo.

 O , A1 , A2 ,  O , A2 , A3 , ……..,  O , An , A1 son las caras del ángulo poliedro convexo.
Puede concluirse a partir de las condiciones de la definición, que dada una cara cualquiera
del ángulo poliedro convexo, todos los puntos de la figura siempre están contenidas en el
mismo semiespacio con respecto al plano de la cara.
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Definición 76. Sección plana de un ángulo poliedro convexo.
Sean O  A1 A2 .... An un ángulo poliedro convexo,  un plano que intercepta a cada una de
 
 
 
las aristas del ángulo poliedro así: OA1   A1 , OA2    A2 , ……., OAn    An
entonces el polígono A1 A2....... An lo designamos como una sección plana del ángulo poliedro
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convexo O  A1 A2 .... An en el plano  . Ver figura 221.
Figura 221
Definición 77. Ángulos diedros de un ángulo poliedro convexo.
Designamos de esta forma cada uno de los ángulos diedros con arista en cada una de las
aristas del ángulos poliedro convexo. Los notaremos mediante los dos puntos que indican sus
aristas. Así en la figura 222 designaremos los tres ángulos diedros del ángulo poliedro
convexo como el diedro OA, el diedro OB, el diedro OC.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 222
Definición 78. Ángulo triedro.
Designamos de esta forma el ángulo poliedro determinado por tres semirrectas. Ver figura
223.
Notas:

Un ángulo triedro que tiene un ángulo diedro recto se denomina ángulo triedro
rectángulo.

Un ángulo triedro que tiene dos ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro
birrectángulo

Un ángulo triedro que tiene tres ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro
trirrectángulo. En la figura 223 se indica un ángulo triedro trirrectángulo.
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Figura 223
Definición 79. Poliedro convexo.
Designamos de esta forma a la figura determinada por la unión de un número finito de
polígonos convexos que satisface estas tres condiciones:
1. Cada lado del polígono es exactamente el lado de otro polígono
2. La intersección de dos polígonos cualesquiera es el conjunto vacío, un punto o un lado.
3. Toda la figura está contenida en el mismo subespacio con relación a cada plano que
contiene a cada polígono
En la figura 224 se ilustran algunos poliedros convexos.
Figura 224
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Notas:
Dado un poliedro convexo destacamos los siguientes elementos:

Caras del poliedro son los polígonos que los determinan

Aristas del poliedro son los lados de las caras, es decir los lados del polígono

Vértices del poliedro son los puntos de intersección de tres o más caras del poliedro

Ángulos del poliedro son los ángulos poliedros convexos, con vértice en cada uno de
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los vértices del poliedro

Diagonales del poliedro son los segmentos determinados por dos vértices
cualesquiera no contenidos en la misma cara

Área del poliedro es la suma de las áreas de todas las caras del poliedro
Convención. Designamos a un poliedro por medio de sus vértices. Así en la figura 224
tenemos: el poliedro A1 A2 A3 A4 , poliedro B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 , poliedro C1C2 .....C10 .
Definición 80. Poliedro convexo regular.
Un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares congruentes y sus
ángulos tienen el mismo número de caras.
Notas:

La definición anterior es equivalente a la siguiente proposición: “Un poliedro convexo
es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y todos sus ángulos
poliedros convexos son congruentes”

Existen únicamente cinco poliedros convexos regulares cuyos nombres indican el
número de sus caras respectivas así: Ver figuras 225.
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Número de caras
Polígono asociado a la cara
Nombre
Triángulo equilátero
Tetraedro
6
Cuadrado
Hexaedro
8
Triángulo equilátero
Octaedro
12
Pentágono regular
Dodecaedro
20
Triángulo equilátero
Icosaedro
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4
a.
b.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
c.
d.
e.
Figura 225
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PROBLEMA
Demuestre que no existe otro poliedro convexo regular distinto a los enunciados.
Definición 81. Poliedros convexos Arquimedianos.
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Designamos de esta manera a todos los poliedros convexos cuyas caras son polígonos
regulares y todos sus ángulos poliedros son congruentes.
Notas:

Se concluye de las dos últimas definiciones que todo poliedro convexo regular es un
poliedro convexo Arquimediano, pero su recíproco no es verdadero.

Los poliedros Arquimedianos son en total 13.
PROBLEMA
Consulte las características y los nombres de los ochos poliedros convexos Arquimedianos
restantes.