λ λ µ µ λ µ λ

Examen final ordinario de física: ondas y electromagnetismo
17 mayo 2013
(Las notas y estos problemas resueltos aparecerán en la página web; esta hoja no hay que entregarla)
EN EL EXAMEN SE EVALÚA FUNDAMENTALMENTE EL PLANTEAMIENTO Y
JUSTIFICACIÓN DE RESOLUCIÓN DE CADA DEL PROBLEMA, QUE DEBE SER CLARA Y
CONCISA. SE DEBE EVITAR TAJANTEMENTE COPIAR DEMOSTRACIONES
1) Una onda viaja por una tubería cilíndrica de sección variable y 15m de longitud. La potencia
de la onda en la boca de la tubería es de 250W. Determine el valor de la intensidad de la onda
en la salida de la tubería sabiendo que ésta, en la salida, tiene una sección de 2m2.
Solución: La potencia P en la salida debe ser igual a la de la entrada, no hay pérdidas, y la
intensidad es P por unidad de superficie, así I=P/área=250W/2m2=125W/m2
-----------------------------------------------------------------------------------------2) una cuerda inextensible de 20m de longitud y 60kg de masa cuelga verticalmente; en su
punto medio se induce una señal armónica de 43Hz de frecuencia. La señal se propaga por la
cuerda en los dos sentidos. ¿Qué valor tiene la relación λ/λo? (λo es la longitud de onda en el
punto medio de la cuerda y λ en el punto más alto).
Solución: Origen de distancias punto inferior de la cuerda. En cada punto x la cuerda está
tensada por el efecto del peso de la masa m(x) de la cuerda que está por debajo de ese punto,
entonces la tensión en ese punto es T=m(x)g. Si µ es la densidad lineal de masa, T=xµg. Por
otra parte la frecuencia es f=v/λ, (v es la velocidad de la onda), entonces en un punto
cualquiera x: f =
alto:
x0 g
λ0
=
xg
λ
v
λ
=
T µ
λ
=
µxg µ
xg
, en particular para el punto medio y el punto más
=
λ
λ
o lo que lo mismo:
λ
=
λ0
20m
x
=
= 2
10m
x0
----------------------------------------------------------------------3) Dos impulsos triangulares viajan con velocidad 1m/s en la
misma dirección pero sentido contrario. En el instante t=0s se
encuentran en la configuración mostrada en la figura. Dibuje la
configuración de la interferencia de los impulsos triangulares en
el instante t=1.5s. (No justificar nada, sólo hacer la gráfica
¡con las correspondientes unidades!). Solución:
--------------------------------------------------------------------4) En los extremos de una flauta de 60cm de longitud se ha establecido el armónico estacionario
enésimo, n, dado por la expresión Asen(Bπt)cos(πCx). ¿Cuánto vale n? ¿Cuál es la frecuencia del
1er armónica, frecuencia fundamental? (A=1,2cm, B=3.33 s-1, C=1/20 cm-1)
Solución: La expresión se reduce a Asen(Bπt), m.a.s., en los dos extremos lo que corresponde
a c.c. abiertas. Por otra parte, independientemente del tiempo o lo
que es lo mismo independientemente del factor Asen(Bπt),
cos(πCx) se anula en 3 puntos a lo largo de la flauta, (1/6, 1/2 y
5/6 de la longitud total) es decir tiene 3 nodos: n=3.
También de k=πC=2π/λ, λ=…=40cm. Para c.c. abiertas λn=2L/n, de donde n=3.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------5) Los tres planos de la figura son de extensión infinita y tienen una
densidad de carga σ1=+2×8.85×10-12C/m2, σ2=-4×8.85×10-12C/m2 y
σ3=+6×8.85×10-12C/m2. El plano 1 está localizado en y=0m, el 2 en y=1m
y el 3 en z=0m. Determine el valor de las tres componentes del vector
campo eléctrico en el punto (5,6,7)m.
Solución: PARA NO CAMBIAR LAS FIGURAS DE LA SOLUCIÓN QUE TENÍA PREPARADAS
HE CAMBIADO EN EL ENUNCIADO x=0m y x=1m por y=0m y y=1m, pero el problema
es idéntico. El módulo del campo creado por una superficie cargada plana e infinita es
E = σ / 2ε 0 y la dirección perpendicular al plano, y sentido alejándose
del (hacia el) plano si su carga es positiva (negativa). Por tanto el
campo creado por cada uno de los planos en el punto dado es:


y
E1 = (0,σ 1 / 2ε 0 ,0) = (0,1,0) N / C ,
E2 = (0,σ 2 / 2ε 0 ,0) = (0,−2,0) N / C

  

E3 = (0,0,σ 3 / 2ε 0 ) = (0,0,3) N / C y el total: E = E1 + E2 + E3 = (0,−1,3) N / C .
(En el caso del enunciado del examen la solución sería cambiar x por y:

E = (−1,0,3) N / C )
----------------------------------------------------------------------------------------6) Una masa de 1Kg y cargada con 1C describe una órbita ciclotrónica de radio 6m en un campo
magnético de 1T. Durante 2s se aplica un campo eléctrico de 4V/m paralelo al campo
magnético. Determine el valor de la energía cinética final.
 

Solución: La velocidad tiene dos componentes: v = v⊥ + v|| La perpendicular a los campos es la
ciclotrónica y sólo es afectada por el campo magnético, pero su módulo es constante:
vc = RqB / m = 6m × 1C × 1T / 1Kg = 6m / s . La paralela a los campos sólo es afectada por el campo
eléctrico acelerando la masa con una aceleración a=F/m=qE/m en dirección del campo eléctrico
desde una velocidad nula hasta una velocidad final v=at=(qE/m)t=1C×4V/m×2s/1kg=8m/s. La
energía cinética final es m( vc + v 2 ) / 2 = 50 julios .
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------7) Por cada una de las tres espiras circulares de la figura, inscritas en
una esfera de radio 1m y con un diámetro común en la dirección OX,
pasa una corriente de (1/ 4π )A. El sentido de las corrientes está
mostrado en la figura, donde β=30º. Determine el valor del campo
magnético creado por las tres espiras en el centro de la esfera.
Solución: Cada espira crea en su centro un campo de magnitud es
B = µ0 I / 2 R , dirección perpendicular a la espira y sentido dado por la
regla del “sacacorchos”. Como los centros de las espiras y el de la esfera
es el mismo, en campo en este último punto es la suma vectorial de los
campos creados ahí por las espiras. Dada la orientación de las espiras,
los campos creados en sus centros son respectivamente:




B1 = (0,− B cos(30º ), Bsen(30º )) , B2 = (0,0, B ) y B1 = (0, B cos(30º ), B sin(30º )) . El
campo total es B = (0,0, B (1 + 2 sen(30º ))) = (0,0,1)(1 + 2 sen(30º ) µ0 I / 2 R =
= (0,0,1)2 × 4π × 10 −7
Tm 1
A / 2m = (0,0,10 −7 )T
×
A 4π
---------------------------------------------------------------------------8) Determine el valor del tiempo característico de carga de un condensador
en un circuito RC cuya resistencia tiene 2Ω y cuyo condensador es el
resultado de ensamblar tres dieléctricos como muestra la figura. (C1=2F,
C1=4F y C3=2/3 F)
Solución: El ensamblado de los tres condensadores
es equivalente al mostrado en la figura adjunta, donde C1 y C2 están en
serie, la capacidad del condensador equivalente será Ceq=(1/C1+1/C2)1
=4/3 F. Este está en paralelo con el 3, por tanto la capacidad del
condensador equivalente será C=Ceq+C3=2F, que ya es la capacidad del
condensador
equivalente
global.
El
tiempo
característico
es
el
producto
RC=2Ω×2F=2V/A×2C/V=4s.