Matemáticas Discretas LOGICA PROPOSICIONAL

Matemáticas Discretas
LOGICA
PROPOSICIONAL
Matemáticas Discretas
Estudio de objetos discretos
Habilidad para razonar y argumentar
Base otras áreas en computación
Bases de datos
Lenguajes formales
Inteligencia Artificial
Procesamiento Lenguaje natural
Especificación formal de programas
Web semántica..
Lógica
Base razonamiento matemático
Argumentación
Reglas para dar significado preciso a enunciados
Base construcción argumentos válidos
Aplicaciones variadas(diseño circuitos lógicos,
verificación de programas, etc.)
Lógica
Razonamiento lógico
Todos los matemáticos utilizan sandalias
Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista
Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas.
Lógica Proposicional
Proposición
Notación: p,q,r,...
Constantes proposicionales: v,f
Valor de verdad (V, F)
Operadores (conectivos) lógicos
Fórmulas simples y compuestas
Precedencia de operadores lógicos
Lógica Proposicional
Ejemplos de proposiciones
Bogotá es la capital de Colombia
Lima es la capital de Perú
2+2 =5
Lógica Proposicional
Ejemplos afirmaciones no proposiciones
¿Qué hora es?
Mañana lloverá
Lógica Proposicional
Indique cuáles de las siguientes
expresiones son proposiciones
x+1=7
11 es un número primo
Andrés vivirá 60 años
Sara es inteligente
Lógica Proposicional
Representación: letras del alfabeto
q: Bogotá es la capital de Colombia
r: Lima es la capital de Perú
p: 2 + 2 = 5
Cada proposición tiene un valor de verdad, e
indica si ésta es Verdadera (V) o Falsa (F)
Proposiciones Simples y
Compuestas
El secreto de la longevidad consiste en
evitar el estrés
•Hoy es miércoles y la temperatura es de 21º C
•Si no llueve voy a la clase de MD
•No es cierto que Juan perdió el examen
Negación
Sea p: Bogotá es la capital de Colombia,
¬p indica, Bogotá NO es la capital de Colombia
Cómo son los valores de verdad de p y de ¬p
Negación
Posibles valores de verdad de proposición p se
pueden representar en la siguiente tabla
p ¬p
V
F
F
V
Tabla de verdad para la negación de una
proposición
Conjunción
p: Bogotá es la capital de Colombia
q: Washington es la capital de USA
p ∧ q : Bogotá es la capital de Colombia y
Washington es la capital de USA.
Conjunción
p
q
V
V
V
F
p∧q
V
F
F
F
V
F
F
F
Tabla de verdad para la conjunción
Tabla de verdad para la conjunción
Ejemplos
Los Red Sox ganaron la serie mundial y los
Yankees fueron eliminados
Ayer el Dólar bajó 5 pesos y el Euro subió 25
En este salón hay más hombres que mujeres y
además tienen un buen promedio de calificaciones
Disyunción
Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI
pueden ver Algoritmia y Programación
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
Disyunción
or - inclusivo
Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI
pueden ver Algoritmia y Programación
or - exclusivo
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
OR-inclusivo
Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI
pueden ver Algoritmia y Programación
V
V
F
F
V
F
V
F
?
?
?
?
OR-inclusivo
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
p∨
∨q
V
V
V
F
Tabla de verdad del OR- inclusivo
OR-Exclusivo
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
V
V
F
F
V
F
V
F
?
?
?
?
OR-Exclusivo
(p ⊕ q)
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⊕q
F
V
V
F
Tabla de verdad del OR- exclusivo
Simbolización
Usted puede hacer el examen parcial o el opcional
Aquellas personas de 20 años o más, pueden
entrar al concierto
Carlos fue a jugar Béisbol o fue al cine
Hamlet fue escrito en 1601 o en 1688
Sarah quiere a Oscar o a Juan
Condicional
Considere la siguiente proposición
Si es un día soleado entonces voy a la playa
¿Qué debe ocurrir para que no se cumpla la
proposición?
Condicional
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
Tabla de verdad del Condicional
Recíproca
Recríproca de p → q es la proposición q → p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
p →q: Si hoy es martes entonces tengo un examen
q →p: Si tengo un examen entonces es martes
Contrapositiva
Contrapositiva de p → q es la proposición
¬q →¬p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
¬ q → ¬ p: Si NO tengo un examen entonces
NO es martes
Bicondicional
Sean p y q dos proposiciones, el bicondicional p↔q es la
proposición que es verdadera cuando p y q tiene el mismo
valor de verdad
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
Tabla de verdad del Bicondicional
Precedencia Operadores
Conectivo
Significado
Proposición
Compuesta
Nombre en
lógica
∧
Y
p∧q
Conjunción
∨
O
p∨q
Disyunción
¬
No
¬p
→
Si .. Entonces
p→q
Condicional
↔
Si y solo si
p↔q
Bicondicional
Negación
Formalización
Evita ambiguedad lenguaje natural
Facilita análisis
Determinación valor de verdad
Formalización
Ejemplo
Tienes una cuenta de correo electrónico en la
EISC si estas matriculado en ITI o si eres
estudiante del PAIS
• Identificar frases componentes
• Asignarles variable proposicional
• Utilizar conectivos
Formalización
Tienes una cuenta de correo electrónico en la
EISC si estas matriculado en ITI o si eres
estudiante del PAIS
Identificar frases componentes y Asignarles variables
proposicionales
• p: tienes una cuenta de correo electrónico en EISC
• q: Estas matriculado en ITI
• r: Eres estudiante del PAIS
Utilizar conectivos
(q∨
∨ r) → p
Formalización: ejercicios
No puedes conducir si eres menor de edad, a
no ser que tengas un seguro especial
No se puede actualizar campos de un registro
de la base de datos a menos que tengas un
perfil de administrador
Operaciones con bits: aplicación
Aplicación de lógica digital: Bits y conectivos
lógicos
Construcción de compuertas lógicas
Bit: dos valores posibles 0 y 1 (Verdadero (V)
es 1 y que Falso (F) es 0).
Variable Booleana: variable cuyo valor puede
ser V o F.
Operaciones con Bits: conectivo lógicos (AND,
OR, NOT, XOR)
Aplicación
Cadenas de Bits: sucesión de cero o más bits
operaciones aplicadas a cadenas de bits
0110110110
1100011101
1110111111 Operador ????
0100010100
1010101011
Interpretación
Asignación de valores
de verdad a las
variables
proposicionales
Modelo de una fórmula
Una Interpretación I que
satisface la fórmula ϕ es un
MODELO de ϕ
Tipos de Proposiciones
Tautología (Válidez)
Contradicción (Insatisfactiblidad)
Contingencia (Satisfactibilidad)
Validez, Satisfactibilidad
Fórmula válida: si y solo si es verdadera para
todas las interpretaciones.
Fórmula insatisfactible (o inconsistente): si y solo
si es falsa para todas las interpretaciones.
Fórmula no válida: si y solo si hay al menos una
interpretación que la haga falsa
Fórmula satisfactible: si y solo si al menos una
interpretación la hace verdadera
Ejercicio
Clasificar las siguientes proposiciones como
Tautología, Contradicción o Contingencia
(¬p ∧ p)
•¬ ( p ∨ (¬ p ∧ q) )
•(¬ p ∨ q) ↔ (p →q)
•(¬p ∧ ¬q)
•¬(p ∨ q)
Equivalencia Lógica
Dos fórmulas ϕ , δ son
lógicamente equivalentes si
para toda interpretación
toman el mismo valor de
verdad
(ϕ ≡ δ)
Equivalencia Lógica
Dos fórmulas ϕ , δ son
lógicamente equivalentes si
y solo si
ϕ ↔ δ es una tautología
Equivalencia Lógica
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ∨ q ¬(p ∨ q)
V
F
V
F
V
F
F
V
Equivalencia Lógica
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
¬p ∧ ¬q
F
F
F
V
Equivalencia Lógica
Las proposiciones (¬p ∧ ¬q) y ¬(p ∨ q) son
entonces lógicamente equivalentes
Dos proposiciones compuestas p y q son
lógicamente equivalentes si p ↔ q es una
tautología
Ejercicio
Indique si las siguientes proposiciones
compuestas son lógicamente equivalentes
• p→q y ¬p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r)
y (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r)
• ¬(p ⊕ q) y p ↔ q
Equivalencia Lógica
Equivalencia
p∧v⇔p
p∨f⇔p
p∨v⇔V
p∧f⇔F
(p → q) ⇔ (¬ p ∨ q)
p∧¬p⇔F
Más Equivalencias Lógicas
Doble Negación : p ≡ ¬¬p
Idempotencia : p ∧ p ≡ p
Idempotencia : p ∨ p ≡ p
Ley asociativa : p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
Ley asociativa : p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Ley de contrarrecíproca : (p → q) ≡ (¬q → ¬p)
Ley conmutativa : p ∧ q ≡ q ∧ p
Ley conmutativa : p ∨ q ≡ q ∨ p
Ley distributiva :p ∨ ( q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Ley distributiva :p ∧ ( q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Más Equivalencias Lógicas
Leyes de DeMorgan: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Ley de implicación: p → q ≡ ¬p ∨ q
Ley de cobertura: p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
Ley de contradicción: ¬p ∧ p ≡ F
¬p ∨ p ≡ V
Equivalencia Lógica
Muestre que ¬ ( p ∨ (¬ p ∧ q) ) y ¬p ∧ ¬q son
lógicamente equivalentes
Método 1: Construir una tabla de verdad
Método 2: Utilizar las equivalencias lógicas
conocidas, y partiendo desde una de las dos
proposiciones lograr deducir la otra
Ejercicio
Partir de ¬( p v (¬ p ∧ q) ) hasta llegar a la
proposición ¬p ∧ ¬q
¬ ( p v (¬ p ∧ q) ) ⇔ ???
Ejercicio
Muestre que (¬p → ¬q) → q es lógicamente
equivalente con (¬ p ∨ q) ∧ q
Muestre que ( p ∧ q ) → (p ∨ q) es una tautología
Más Ejercicios
Muestre que las siguientes proposiciones
compuestas son tautologías
(p ∧ q) → p
p → (p ∨ q)
¬p → (p → q)
(p ∧ q) → (p → q)
Consecuencia Lógica
Sean A y B dos formulas. Se dice B es
consecuencia lógica de A (A ╞ B) si toda
interpretación que hace verdadera a A hace
verdadera a B
Consecuencia Lógica
Teorema 1
A ╞ B si y solo si A →B es una tautología
Por Ejemplo
(¬p ∨ q) ∧ p╞ q dado que (¬p ∨ q) ∧ p → q es
una tautología
Consecuencia Lógica
Ejercicio
Demuestre que (¬p ∨ q) ∧ p → q es una
tautología