Graficando en coordenadas polares

GRAFICANDO EN COORDENADAS POLARES
María Guadalupe Amado Moreno, Ángel García Velázquez
Instituto Tecnológico de Mexicali, Baja California, México
[email protected] , [email protected]
RESUMEN
El trabajo que se presenta es una experiencia de aula utilizando TIC´s. Consistió en probar una
estrategia en la que un grupo de estudiantes utilizó software para graficar funciones en
coordenadas polares, con el propósito de que observaran los cambios que sufre la gráfica al ir
modificando algunos parámetros de la función. Se explicaron los conceptos básicos de
coordenadas polares en el aula y posteriormente se realizaron dos sesiones en el laboratorio de
cómputo de Ciencias Básicas, utilizando el Winplot para explicar la graficación de funciones en
coordenadas polares, en donde los estudiantes pudieran percatarse de las características de
ellas.
La utilización del software les pareció novedosa en la disciplina de Matemáticas y de fácil
manejo. El cuestionario aplicado para conocer el aprendizaje obtenido sobre graficación en
coordenadas polares, indicó que habían observado los cambios de la función al ir variando los
parámetros de la misma lográndose así un mejor aprendizaje.
INTRODUCCIÓN
Actualmente existen muchas opciones para que el estudiante grafique una función, desde utilizar
lápiz y papel, una calculadora o un software como el Matemáticas, Winplot, etc. Estos recursos se
utilizan porque es importante que el estudiante tenga claro que representa una función y cuál es el
dominio de la misma al graficar, para posteriormente poder aplicar este conocimiento.
Graficar en coordenadas rectangulares puede ser relativamente sencillo para el estudiante,
sin embargo, la graficación en coordenadas polares no lo es tanto, es por ello que se diseñó esta
estrategia didáctica.
Para propiciar una mejor comprensión del tema de coordenadas polares y sus gráficas, que
es parte del curso de cálculo de varias variables, de las carreras de Ingeniería, se empleó el
Winplot, que es un software gratuito, de fácil manejo y puede ser utilizado libremente en el aula.
El propósito general del preexperimento fue aplicar está estrategia en la que el estudiante
utilizara el Winplot para graficar funciones en coordenadas polares y observará los cambios que
sufre la gráfica al ir modificando algunos parámetros de la función.
JUSTIFICACIÓN
La graficación de funciones en coordenadas polares no es sencilla de trabajarse en el aula con
lápiz y papel, por lo que buscando una alternativa para que el estudiante pueda graficar e
identificar las diferentes formas de las funciones en estas coordenadas, fue que se propuso utilizar
un software.
Por otro lado, los estudiantes deben aprender a utilizar tecnologías de información y
comunicación y esta fue una manera de comenzar a aplicarlas para aprender matemáticas.
Los resultados de este preexperimento permitirán llevar a cabo otros trabajos más
sistematizados.
OBJETIVOS
Objetivo General:
Explorar si la utilización del Winplot para graficar funciones en coordenadas polares, por parte de
un grupo de estudiantes de Matemáticas III del IT de Mexicali, permite que ellos observen e
identifiquen los cambios que sufre la gráfica al ir modificando algunos parámetros de la función
de manera sencilla y rápida.
Objetivo Específico:
Identificar las ventajas y desventajas de la utilización del Winplot para graficar funciones en
coordenadas polares, por parte de los estudiantes de Matemáticas III del Instituto Tecnológico de
Mexicali.
MARCO TEÓRICO
La utilización de tecnologías de comunicación e información (TIC´s) son herramientas de uso
cada vez más común en las instituciones educativas; ayudan al proceso de enseñanza y
aprendizaje y, al ser utilizadas de manera eficiente, sirven para lograr aprendizajes significativos.
Las TIC´s tienen mucho potencial para realizar representaciones, demostraciones, simulaciones
en medios múltiples y son atractivas.
El rápido avance tecnológico hace necesaria la incorporación del uso de la computadora
en las instituciones educativas como apoyo a las actividades propias de los estudiantes y del
mismo docente. El uso de la tecnología de cómputo, del Internet, el empleo de medios
audiovisuales, aplicando multimedia, juegos educativos, software educativo, blogs, wikis,
webquest, pueden ser detonadores del aprendizaje y del interés de los estudiantes por las labores
escolares. (Moreno, 2001)
A los estudiantes les llama la atención estas tecnologías, las cuales podemos utilizar para
hacer las clases dinámicas y atractivas. Con ellas podemos hacer que los estudiantes utilicen el
mayor número posible de canales de percepción como el visual, auditivo y kinestésico y así ir
logrando aprendizajes significativos.
Por todo lo anterior fue que se diseñó esta experiencia de aula, la cual se comparte en este
documento.
Coordenadas polares
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola
pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los
ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.
y
P(x, y)
y
x
x
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este
sistema se necesita un ángulo (φ) y una distancia (r). Para medir φ, en radianes, se requiere una
semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo u origen.
(http://personal1.iddeo.es/romeroa/vectores/polares.htm, sep. 28 de 2006).
P(r, φ)
r
0
φ
Polo u origen
Eje polar
φ es la medida del ángulo en radianes, positivo cuando se mide en dirección contraria a las
manecillas del reloj y negativo a favor del movimiento de las manecillas del reloj.
Las coordenadas polares se denotan por (r, φ) y para localizar un punto (r, φ) en este
sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r,
después trazar una línea con un ángulo de inclinación φ y, por último, localizar el punto de
intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el buscado. (Leithold, 1998)
Sistema de coordenadas rectangular a sistema de coordenadas polares
y
P(x, y)
P(r, φ)
r
φ
x
y
x
r
x
r
x = r cos φ
cos φ =
y
r
y = rsenφ
senφ =
tan φ =
y
x
Ecuación de la circunferencia en el origen: x 2 + y 2 = r 2
x 2 + y 2 = r 2 os 2φ + r 2 sen 2φ
x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 φ + sen 2φ )
x2 + y2 = r 2
METODOLOGÍA
Para este preexperimento se trabajó con 30 estudiantes de Matemáticas III que comprende
Cálculo vectorial. El grupo estaba conformado de la siguiente manera: 5 mujeres (17%) y 25
hombres (83%) del tercer semestre de la carrera de Ingeniería Electrónica (60%) e Ingeniería
Industrial (40%).
Se explicaron los conceptos básicos de coordenadas polares en el aula y posteriormente se
llevaron a cabo dos sesiones en el laboratorio de cómputo de Ciencias Básicas para explicar
graficación de funciones en coordenadas polares.
Al estudiante se le entregó el material de trabajo el cual contenía el objetivo de la
actividad a realizar y las instrucciones básicas del uso del Winplot; se les pedía que graficaran
varias funciones en coordenadas polares, que contestaran algunas preguntas sobre las gráficas
obtenidas y finalmente se les dejó una tarea extraclase para complementar el tema. (Ver anexo)
CONCLUSIONES
La utilización del software les pareció novedosa en la disciplina de Matemáticas y de fácil
manejo.
El cuestionario aplicado para conocer el aprendizaje obtenido del tema de graficación en
coordenadas polares indicó que habían observado los cambios de la función al ir variando los
parámetros de la misma.
La evaluación formativa se realizó durante el desarrollo de las sesiones en el laboratorio
de cómputo, donde el estudiante graficó diversas funciones en coordenadas polares.
El uso de software en las clases de matemáticas permite afianzar los conocimientos en el
aula, en este caso graficar funciones en coordenadas polares y, observar los cambios que hacen en
la gráfica de las mismas algunos parámetros de una forma más sencilla y rápida.
Los resultados permiten establecer algunas hipótesis para desarrollar una investigación
experimental más sistemática y con un mayor número de estudiantes en un futuro próximo.
FUENTES DE INFORMACIÓN
Leithold, Louis (1998). El cálculo. Editorial Oxford, séptima edición.
Moreno Castañeda, Manuel (2001) “Las tecnologías de comunicación e información para la
educación en el siglo XXI” En: Educación y formación a distancia en México. Prácticas,
propuestas y reflexiones. Rocío Amador Bautista, Coordinadora. Universidad de Guadalajara.
México.
Documento electrónico:
http://personal1.iddeo.es/romeroa/vectores/polares.htm, sep. 28 de 2006
ANEXOS
Graficando en coordenadas polares
Objetivo: El estudiante utilizará el Winplot para graficar funciones en coordenadas polares, y
observara los cambios que sufre la gráfica al ir modificando algunos parámetros de la misma.
La gráfica de una función en coordenadas rectangulares es diferente en coordenadas polares. Para
graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con
algunos valores de φ que casi siempre son: 0,
π 3π
,
y 2π y ver cómo cambia el valor de r.
2 2
Sin embargo en ocasiones no es tan sencillo graficar en estas últimas, por lo que, se utilizará el
Winplot para graficar estas funciones.
Instrucciones: Indicar el nombre de la función en inglés, por ejemplo para la función seno será
sin, coseno cos, exponencial e, y los argumentos de las funciones trigonométricas deben estar
entre paréntesis, el ángulo φ será con el parámetro t, por lo demás se respetan los símbolos de
producto, división y potencia como *, / y ^ respectivamente.
Se pueden graficar varias funciones a la vez en un mismo plano, estas aparecerán con diferente
color y puede editarlas con la ecuación de cada gráfico.
Pasos a seguir:
 De doble click en el icono de Winplot que se encuentra en el escritorio de su monitor.
 Seleccione en ventana 2 – dim (window 2-dim).
 En ecua seleccione 4. Polar (equa seleccione r = f(t)).
 Escriba la ecuación del lado derecha de la función y ok. Aparece el gráfico de la función.
 En archivo (file) puede grabar lo realizado.
 Con copiar Bitmap (copy to clipboard) puede llevar el gráfico a cualquier archivo del office.
1) Siguiendo las instrucciones anteriores grafique las funciones:
3
senφ
a) r = 4
b) r = φ
c) r =
e) r = −6senφ
f) r = senφ
g) r = sen2φ
h) r = sen3φ
i) r = sen4φ
j) r = sen5φ
k) r = 1 − senφ
m) r = 1 − 2 senφ
n) r = 1 − 3senφ
p) r = 1 − sen2φ
q) r = 1 − sen3φ
s) r = 1 − sen4φ
d) r = 5 cos φ
2) ¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso f al j?
3) ¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso k al n?
4) ¿Qué observa en la gráfica de las funciones del inciso p al s?
TAREA: Individualmente y utilizando el Winplot grafique las siguientes funciones, ponga
atención en los cambios que va teniendo la gráfica al ir modificando la ecuación y observe la
forma que tienen las gráficas según la ecuación.
Limacones o caracoles
Son gráficas polares llamadas limacon, palabra francesa que proviene del latín limax que
significa caracol.
La forma de la función que las representa es: r = a ± b cos φ
Ejercicio 1: Grafique los siguientes limacones o caracoles.
a )r = 1 − cos φ
b)r = 1 − 3 cos φ
c)r = 1 + cos φ
d )r = 1 + 2 cos φ
e)r = 1 + 3 cos φ
Ejercicio 2: Grafique las siguientes espirales
φ
= e3
a )r = eφ Espiral logarítmica
b) r
c )r = 2φ Espiral de Arquímedes
d )r =
Espiral logarítmica
1
Espiral recíproca
φ
Ejercicio 3: Grafique las siguientes lemniscatas
a )r 2 = 9sen2φ
b)r 2 = −4sen 2φ
c)r 2 = 16 cos 2φ
d )r 2 = −25 cos 2φ
Ejercicio 4: Grafique el Cicloide r = 2senφ tan φ
Ejercicio 5: Grafique la espiral de Fermat r 2 = 8φ
Ejercicio 6: Grafique las siguientes funciones
a )r = cos φ
l )e)r = cos φ
g )r = 2 cos φ
m)r = 2 cos φ
h)r = 3 cos φ
n)r = cos 2φ
i )r = − cos φ
j )r = −2 cos φ
k )r = −3 cos φ
p )r = cos 3φ
q )r = cos 4φ