Introducción a los métodos numéricos

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Introducción a los métodos numéricos
Objetivos
UNIDAD I
Introducción a los métodos numéricos
duración
1.5 hrs.
Contenido temático
objetivos
1.1 Definición de métodos numéricos * Reconocer la importancia de utilizar los
1.2 Conceptos en los que se basan los métodos numéricos en la resolución de
métodos numéricos
problemas
1.3 Programación de métodos
* Definir, identificar y aplicar recursión y
aproximación como base de los métodos
numéricos
* Definir dónde se utilizan los métodos
numéricos
* Describir los pasos para la programación de
métodos numéricos
Bibliografía del tema
Apostol, TEMAS: Introducción al análisis numérico
Burden, TEMAS: Preliminares matemáticos, Algoritmos y convergencias y Software
numérico
Chapra, TEMAS: Modelos, computadoras y análisis del error, Modelos matemáticos y
solución de problemas de ingeniería, Computadoras y programas
Gerald, TEMAS: Cálculo numérico y computadoras
Maron, TEMAS: La necesidad de los métodos numéricos
Nieves, TEMAS: Sistemas numéricos, Manejo de números en la computadora
Introducción histórica 1
El planeta Urano fue descubierto en 1781 por un inteligente astrónomo
aficionado, Willeam Herschel (1738 – 1822), con un telescopio de frabricación casera.
Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, la prevista órbita de Urano fue rápidamente
calculada a partir de unas pocas observaciones muy separadas entre sí. Se encontró
que la distancia media de Urano al Sol era aproximadamente el doble que la de
Saturno y que una órbita completa requería 84 años. En 1830 los datos empíricos
acumulados pusieron de manifiesto desviaciones inexplicables de la órbita prevista.
Algunos astrónomos llegaron a pensar que la ley de gravitación universal de Newton
no fuera válida para distancias tan grandes como la de Urano al Sol; otros sospecharon
que las perturbaciones fueran debidas a un cometa aún no descubierto o a un planeta
más lejano.
Un estudiante de bachillerato de la Universidad de Cambridge, John Couch
Adams (1819 – 1892), estaba intrigado por la posibilidad de un planeta desconocido.
Se asignó la difícil tares de calcular la influencia de un tal planeta en las posiciones
observadas de Urano, suponiendo válida la ley de gravitación de Newton. Completó su
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Texto integro transcrito del libro de Apostol; Calculus, vol 2.
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cálculo en 1845 e instó al Real Observatorio de Greenwich a buscar el supuesto
planeta, pero su requerimiento no fue tomado en cuenta.
Independientemente y casi simultáneamente Jean Joseph Leverrier (1811 –
1877) de París, realizó un cálculo parecido y pidió a Johann Galle, jefe del Observatorio
de Berlín, que confirmara su predicción. La misma noche que recibió la carta de
Leverrier, Galle encontró el nuevo planeta, Neptuno, casi exactamente en la posición
calculada. Éste fue otro triunfo de la ley de gravitación de Newton y uno de los
primeros grandes triunfos del análisis numérico, el arte y la ciencia de calcular.
La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los babilonios,
2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. Se ha encontradouna tabilla de
barro con los cuadrados enteros del 1 al 30. Los babilonios adoraban los cuerpos
celestes y elaboraban efemérides 2 astronómicas. El famoso astrónomo alejandrino
Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de ecplises que
databan del año 747 a. C.
Arquímides, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como
aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 3 10 71 < π < 3 1 7 . El trabajo de
cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado prinicpalmente en la
preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI
produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el
análisis numérico. En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620,
los logartímos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son ciete cifras
decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas de logarítmos con catorce
decimales de los números 1 al 100,000.
El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el
desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor
sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un
papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la
localización del planeta Neptuno por Adam y Leverrier en 1845, la importancia
cinetífica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre.
A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo atomático estimuló
más aún el desarrolllo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la
terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de
cálculo electrónicas de alta velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran
número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles.
El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos
numéricos presisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y
exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados. [Apostol, 695 y
696].
2
En astronomía es el libro en que se anotan anualmente las coordenadas de los planetas y de las estrellas fijas,
respecto a la Eclíptica y al Ecuador, así como los eclipses, distancias lunares, ecuaciones de tiempo y otros
elementos necesarios para los cálculos puramente astronómicos y para los marinos de situación.
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1 Introducción a los métodos numéricos
1.1 Definición de métodos numéricos, su importancia y el porqué
•
“Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos
de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas” [Chapra]
•
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando
una curva: ajuste de curvas
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales
1.2 Conceptos en que se basan los métodos numéricos: recursividad y
aproximaciones sucesivas
•
Los métodos numéricos se basan en dos conceptos principales: recursión y
aproximaciones. Esto significa que utilizan la recursión y las aproximaciones así
como la iteración para encontrar una solución.
•
Recursividad: Relaciona términos sucesivos en función de términos
anteriores.
Ejemplo:
n!
•
⎧ 1
= ⎨
⎩ n( n − 1)!
n=0
n>0
Aproximaciones Método iterativo con el cual en cada iteración se acerca a
la solución real del problema. Ejemplo: 3 x 3 − 2 x 2 − 1 = 0
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3x 3 − 2 x 2 − 1 = 0
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1.3
Programación de métodos numéricos
Los pasos para la solución de un problema de ingeniería son:
• Formulación
• Solución
• Interpretación
Sin computadoras:
FORMULACIÓN:
fundamentales
brevemente
Leyes
explicadas
métodos
muy
SOLUCIÓN:
elaborados
y
frecuentemente
complicados para hacer manejable
el problema
análisis
INTERPRETACIÓN:
profundo limitado por una solución
que consume tiempo [Chapra]
Con computadoras:
FORMULACIÓN: exposición profunda
de la relación del problema con las
leyes fundamentales
método
SOLUCIÓN:
computadora fácil de usar
de
la
INTERPRETACIÓN: la facilidad de
calcular permite pensar logísticamente
y desarrollar la intuición; se puede
estudiar
la
sensibilidad
y
el
comportamiento del sistema
Conclusiones
Los métodos numéricos son herramientas para la solución de problemas.
Son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas ya que permiten
convertir matemáticas superiores en operaciones aritméticas simples.
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