REGULACIÓN AUTOMATICA (4)

REGULACIÓN AUTOMATICA (4)
(CONTROLADORES AUTOMATICOS INDUSTRIALES)
Escuela Politécnica Superior
Profesor: Darío García Rodríguez
1
CONTROLADORES AUTOMATICOS
Acciones básicas de Control.- Un controlador automático compara la señal de entrada
con la deseada, determina la señal de error y produce una señal de control que reduce la
desviación a cero o a un valor pequeño.
La forma que el control automático produce la señal de control recibe el nombre
de acción de control.
Los controladores industriales analógicos pueden ser:
Controladores:
Dos posiciones.
Proporcionales (P).
Integrales (I).
Proporcional Integral (PI).
Proporcional derivativo(PD).
Proporcional, integral, derivativo (PID).
Actuador: Dispositivo de potencia que actúa sobre la planta. (motor, válvula..)
Sensor: Elemento de salida que convierte la señal de salida en una variable
adecuada.
R (s )
e(t )
u (t )
controlador
actuador
planta
C (t )
sensor
Controladores de dos posiciones.- Cumple lo siguiente:
u(t) = U1 si
e(t) > 0
e(t )
u(t) = U2 si
e(t)< 0 su circuito con A.O.
u (t )
Normalmente se utilizan controladores de dos posiciones con brecha diferencial o ciclo
de histéresis su circuito con A-O sería la figura siguiente:
La tensión que existen a través de los diodos Zener son +Vo o –Vo, sí la tensión que
está alimentada el A.O. son mayores en valor absoluto es decir mayor que Vo y menor
que –Vo.
Aquí se cumple
e(t ) < V + u(t) = Vo
e(t ) > V + u(t) = -Vo
Si e(t) es muy negativa la salida u(t)=V0 y si aumentamos e(t) llega un instante en que
e(t ) ≥ V + y entonces u(t)= -Vo en el instante que se produce el cambio es V1.
2
u (t )
e(t )
u (t )
V+
R1
0
V2
V1
e(t )
R2
VR1
Si e(t) es muy positivo la salida u(t)=-V0 y si disminuimos e(t) llega un instante en que
e(t ) ≤ V + y entonces u(t)= Vo en el instante que se produce el cambio es V2.
V1 =
V ·R
VR1 ·R1
+ o 2
R1 + R2 R1 + R2
V2 =
VR1 ·R1
V ·R
− o 2
R1 + R2 R1 + R2
Luego la histéresis nos viene expresada por:
Hist = V1 − V2 =
2·Vo ·R2
R1 + R2
Si quiero que sea simétrica respecto al origen sería: V1 = −V2 es decir VR1 =0.
Controlador proporcional.- Cumple lo siguiente:
u(t) =kp·e(t) o en transformada de Laplace u(s)= kp·e(s). Con A.O. su circuito sería:
R2
e(t )
R1
R1
R1
u (t )
− R2 − R1
R
·
·e(t ) = 2 ·e(t )
R1 R1
R1
la unidad.
u (t ) =
luego k p =
R2
kp puede tomar valores inferiores a
R1
Controlador integral.- Cumple lo siguiente:
u (t ) = ∫ k i e(t )dt
cuya transformada de Laplace con c.i. igual a cero es u ( s ) =
ki
·e( s )
s
La salida u(t), varía, proporcional a la integral de la señal de error e(t). Con A.O. su
circuito sería:
3
C
e(t )
R
u (t )
u (t ) = −
u (s) = −
1 1
· ·e( s )
RC s
1 e(t )
1
e(t )dt
.dt = −
∫
C R
RC ∫
su transformada de Laplace
(con condiciones iniciales igual a cero).
1
si lo queremos con signo positivo le ponemos a continuación un
RC
inversor con A.O. RC es la constante de tiempo.
donde k i = −
Control proporcional integral.- Cumple lo siguiente:
u (t ) = k p e(t ) +
kp
Ti
∫ e(t )dt
cuya transformada de Laplace con c.i. igual a cero es
kp 

u (s) = k p +
 e( s ) Ti= tiempo integral, kp afecta también al integral.
Ti s 

1
= frecuencia − de − reposición es el número de veces por minuto que se duplica la
Ti
parte proporcional de la acción de control
La salida u(t), varía, proporcional a la señal e integral de la señal de error e(t). Con
A.O. su circuito sería:
R
e(t )
kp
C1
u (t )
RC1
= pend
R1
u (t )
kp
e(t )
t
e(t )escalon − unitario
R


1
R 
1
u (t ) = − e(t ) +
e(t )dt  = − · e(t ) +
e(t )dt 
∫
∫
R1C1
R1 
RC1
 R1


Si la entrada es una señal escalón, la salida es una señal rampa con inicio en
u(t)=kp (ver figura).
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Controlador proporcional derivativo._ Cumple lo siguiente:
de(t )
cuya transformada de Laplace con c.i. igual a cero es
dt
u ( s ) = k p + k p ·Td ·s e( s ) Td= tiempo derivativo, kp afecta también a la derivada.
u (t ) = k p e(t ) + k p ·Td ·
[
]
La salida u(t), varía, proporcional a la señal y derivada de la señal de error e(t). Con
A.O. su circuito sería:
2R2
v1 (t )
u (t )
2R2
salida
u (t )
i(t )
e(t )
ic (t ) i2 (t )
C
Td
e(t )
R1
proporcional
u (t )
k p Td
i(t )
t
i (t ) =
e(t )
R1
i 2 (t ) =
v1 (t ) = −i (t )·2 R2 = −
e(t )·2 R2
R1
ic (t ) = C
v1 (t ) − u (t ) − 2 R2 ·e(t ) − u (t )·R1
=
2 R2
2 R1 R2
dv1 (t ) − 2 R2 C de(t )
=
·
dt
R1
dt
i (t ) = ic (t ) + i 2 (t )
Sustituyendo en esta última formula llegamos a:
2 R C de(t ) − 2 R2 e(t ) − u (t ) R1
e(t )
=− 2 ·
+
R1
R1
dt
2 R1 R2
u (t ) =
4 R2 
de(t ) 
 e(t ) + R2 C

R1 
dt 
La trasformada de Laplace de esta última ecuación:
u ( s ) = e( s )
kp =
4 R2
R1
4 R2
(1 + R2 Cs ) Comparando con la ecuación del PD tenemos
R1
y
Td = R2 C
Td es el tiempo en el que la acción de velocidad se adelanta al efecto de la acción
proporcional.
La acción del control derivativo, tiene la desventaja de que amplifica las señales
de ruidos y pueden producir efecto de saturación en el actuador.
En la figura, se observa, que introduciendo una señal de error rampa, la salida es
una señal rampa empezando en u(0)=KpTd.
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Controlador proporcional, integral y derivativo(PID)._ Cumple lo siguiente:
u (t ) = k p e(t ) + k p ·Td ·
de(t )
1
+ k p · ∫ e(t ) dt
dt
Ti
cuya transformada de Laplace con c.i. igual
kp 

a cero es u ( s ) = k p + k p ·Td ·s +
 e( s) Td= tiempo derivativo, Ti=tiempo integral
Ti s 

La salida u(t), varía, proporcional, derivada e integral de la señal de error e(t). Con
A.O. su circuito sería:
Aquí vamos a calcular directamente el circuito mediante la transformada de Laplace.
i(s) =
e( s )
R1
v1 = −i ( s)·
ic (t ) = −C 3 s·v1 ( s ) =
( R2 C 2 s + 1)
( R C s + 1)e( s )
=− 2 2
C2 s
R1C 2 s
( R2 C 2 + 1)C 3 s·e(t )
R1C 2 s
C2
R2
u (t )
v1 R3
u (t )
i2 (t )
i(t )
e (t )
ic (t )
salida
e (t )
C3
R1
u (t )
i (t )
entrada
k pTd
t
i2 (s) =
v1 ( s ) − u ( s )
( R C s + 1)e( s) u ( s )
=− 2 2
−
R3
R1 R3 C 2 s
R3
i ( s ) = ic ( s ) + i 2 ( s )
e( s)·( R2 C 2 s + 1)C 3 s ( R2 C 2 s + 1) u ( s)
e( s )
=−
−
−
R1
R1C 2 s
R1 R3 C 2 s
R3
[
]
e( s) R32 C 2 s + ( R2 C 2 s + 1) R3 C3 s + ( R2 C 2 s + 1) + ( R2 C 2 s + 1) = −u ( s ) R1C 2 s
s 2 ( R2 C 2 R3C 3 ) + s ( R3C 2 + R3C 3 + R2 C 2 ) + 1
u ( s)
=−
e( s )
R1 C 2 s
ecuación primitiva.
si comparamos con la
6
2
u ( s) k p ( s ·Td Ti + s·Ti + 1)
=
e(t )
Ti s
Ti = R3 C 2 + R3 C 3 + R2 C 2
llegamos a:
y
kp
Ti
=
1
R1C 2
Ti Td = R2 C1 R3 C3
El control derivativo mejora el régimen transitorio, y el control integral el
régimen permanente.
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