LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Ecuaciones lineales (o de primer grado)

LICEO MARTA DONOSO ESPEJO
Ecuaciones lineales (o de primer grado)
Profesor : Jorge Poblete Adasme
Definición:
Se llama ecuació n a una igualdad que presenta incógnitas y que es verdadera solo para algunos valores
de la incógnita.
Ejemplo:
2X – 5 = 3
4X + 2 y – 1 =0
5X2 – 3X + 2 = 0
En el caso de la ecuación de primer grado o lineal el número de incógnitas es uno, el mayor grado de la
incógnita es 1 ejemplo:
Grado
3X – 4 = 5
Incógnita
Observaciones:
a) La expresión del lado izquierdo del signo igual se llama primer miembro y la expresión
del lado derecho del signo igual se llama segundo miembro.
b) Se llama raíz o solución de una ecuación a todo valor de la incógnita que satisfaga la
igualdad.
Resolución de una Ecuación:
Significa encontrar el valor de la variable (Incógnita) para que la igualdad sea
verdadera.
Para resolver una ecuación debemos tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.
a) Al sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de la igualdad, esta se mantiene.
b) Al multiplicar o dividir por una misma cantidad distinta de cero en ambos miembros de una
igualdad, la igualdad persiste.
c) Al elevar a una potencia distinta de cero ambos miembros de una igualdad, la igualdad
persiste.
d) Al extraer la misma raíz, en ambos miembros de una igualdad, la igualdad persiste.
Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros.
Ejemplo 1:
Incógnita
Ejemplo: 3X + 2 = 7
Primer Miembro
Segundo Miembro
Desarrollo (Solución)
Debemos despejar X= Significa que por medio de operaciones matemáticas debemos dejar en
un lado la incógnita y en el otro lado los valores numéricos.
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En este caso necesitamos sacar el número 2 que esta sumando y luego sacar el número 3 que esta
multiplicando.
Para ello restamos 2 (o sumamos -2) en ambos miembros
3X + 2 – 2 = 7 – 2 Efectuamos la operación y nos queda
3X = 5
Dividimos Ambos miembros por 3
3X 5

3
3
Efectuamos la operación y nos queda.
X = 5/3
Solución O Raíz de la ecuación
Verificamos si el valor encontrado es el correcto o sea si cumple con la igualdad.
3X + 2 = 7
3*(5/3) + 2 = 7
5 +2 = 7
7 = 7
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 3 – 2X = 5X – 9.
En este ejemplo la incógnita X esta en ambos miembros
Para despejar X, restamos 3 en ambos miembros para dejar los números en el miembro de la derecha
(Segundo Miembro) y las incógnitas en el miembro de la izquierda (Segundo Miembro), Esto por
elección personal no existe regla establecida al respecto.
3 3 +2X = 5X – 9 3
Efectuamos la operación
2X = 5X 12
Restamos 5X en Ambos miembros
2X – 5X = 5X – 5X 12 Efectuamos la Operación
3X = 12
Dividimos Ambos miembros por -3
3X/(3) = 12/(3)
Efectuamos la Operación
X=4
Raíz o solución o resultado, Comprueba si es correcto.
Ejemplo 3
2(X – 1) = 3(X + 2) – 5(X + 3) Primero se resuelven los paréntesis y se reducen los términos semejantes.
2*X – 2*1 = 3*X + 3*2  5*X  5*3 Efectuamos la Operación
2X 2 = 3X + 6 5X  15
Reducción de términos semejantes en cada lado de la igualdad
2X 2 = 3X 5X + 6  15
Efectuamos la Operación
2X – 2 = 2X  9
Sumamos 2 en ambos miembros
2X – 2 + 2=  2X 9 +2
Efectuamos la Operación
2x =  2X – 7
Sumamos 2X en ambos miembros
2X + 2X = 2x +2X 7
Efectuamos la Operación
4X = 7
Dividimos por 4 Ambos miembros de la Igualdad
4X/4 =  7/4
X = 7/4
Solución o Raíz
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS
La diferencia con las ecuaciones anteriores radica en que los
valores se presentan como decimales o fracciones.
Para resolver se recomienda:
a) Si son decimales transforma a fracción en caso que te
acomode trabajar con fracciones.
b) Si son fracciones se debe sacar el mínimo común múltiplo y
amplificar, o bien multiplicar ambos miembros de la
ecuación por este valor.
c) Después de efectuado el segundo punto ya tienes una
ecuación con coeficientes Enteros, ya explicados:
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 0 , 5 X - 0 , 7 + 0 , 3 X – 1 , 5 = 0 , 6 X – 4 + 1 , 7 X .
Solución
0,5X-0,7+0,3X–1,5= 0,6X – 4 +1,7X
0,8X – 2,2 = 2,3X – 4
reducción términos semejantes.
Transformar a Fracción
8
22 23
X

X 4
10
10 10
Multiplicar por el MCM 10
10 *
/*10
8
22
23
X  10 *
 10 * X  4 *10
10
10
10
8X – 22 = 23X – 40
8X – 22 + 22 = 23X – 40 + 22
8X = 23X – 18
8x – 23X = 23X -23X -18
-15X = -18
-15X/-15 = -18/-15
X = 6/5
Efectuamos la Operación
Sumamos 22 a ambos miembros
Efectuamos la operación
Restamos 23X a ambos miembros
Efectuamos la operación
Dividimos por -15 ambos miembros
Simplificamos por 3
Raíz o Solución
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PROBLEMAS CON SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES
Recomendaciones para abordar el planteamiento y la solución del
problema.
1. Leer atenta y comprensivamente el enunciado del problema.
2. Identificar la Incógnita y los datos que se necesitaran en la
solución.
3. Relacionar los datos con la incógnita planteando una ecuación
4. Resolver la ecuación.
5. Analizar la solución de la ecuación cuidando que tenga relación
con el enunciado del problema
6. Dar la respuesta.
Ejemplos
Escribir
en
enunciados:
forma
de
expresión
algebraica
los
siguientes
a) La mitad de los asistentes a la reunión, mas uno.
Sea X el número de asistentes a la reunión.
Entonces la mitad mas uno es: X/2 + 1
b) El doble de un numero menos el 30% de él:
Sea n el Número.
2n-(30/100)*n
c) Si la suma de las edades de Juan y María es 63 años, escribir
una expresión para la edad de cada uno:
Sea X la edad de Juan,
Entonces 63 –X es la edad de María.
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