Construcciones geométricas II

Josep Rochera Gaya (IES Pilar Lorengar)
Zaragoza, 20 de abril de 2007
Figuras geométricas inscritas
Sangakus japoneses
Semejanza
1.1 Circunferencia inscrita entre un cuadrado y otra circunferencia inscrita.
B
r
Pr M
/2
)+
r
A
(a
O
D
Los triángulos OPQ y BPM son semejantes:
(a/2)-r
(a/2)-r
(a/2)+r
Q
V2 r
=
(a/2)-r
r
-------> r = (2-V2)a/4
C
a
Teorema de Pitágoras
1.2 Relación entre el radio de la circunferencia pequeña y el de la grande (ABCD es un cuadrado).
B
r
P
A
Del triángulo BPQ:
Q
CBO = 45º --------> BQ = PQ = r
r
r
R
O
OPC = PQC -------> QC = OC = R
C
R
OBC=isósceles ------> BC=V2 R
r+R=V2 R ----------> r =(V2-1) R
D
1.3 Inscribir en un cuadrado de lado a dos
A
B
circunferencias de radio r (EJERCICIO).
O
PC = V2 r --------> AC = V2 a = 2V2 r +2 r
r=
2-V2
2
r
a
a
r
P
r
D
Q
r
C
-1-
Propiedades del baricentro
1.4 Relación entre los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero.
A
Por simetría, el centro de las circunferencias,
G, es el baricentro de ABC, luego:
R
R = AG = 2 AM = 2 r .
a
G
Además, de ACM: AM = R+r = 3r .
r
R
B
M
Aplicando Pitágoras se obtiene:
C
a/2
r = a/(2V3)
y
R = a/V3
1.5 Circunferencia circunscrita a tres circunferencias tangentes del mismo radio.
r
A
B
G
2r
H
C
-2-
Utilización de variables auxiliares
1.6 Halla el lado y el área de un octógono regular inscrito en un cuadrado.
Utilizaremos una variable auxiliar x:
a=b+2x
b = V2 x
eliminando la x :
a = (1+V2) b -----------> b = a / (1+V2)
O
Para hallar el área, se calcula la apotema, un triángulo,
y se multiplica por 8.
a
A
b
B
x
x
a
-3-
Trigonometría
1.7 Inscribir tres circunferencias pequeñas de radio r en un cuadrado de lado a.
r
15º
60º
r
x
r
r
a
1.8 Radio r de seis circunferencias tangentes entre sí e inscritas a otra de radio R. Generalizar
al caso de n circunferencias interiores.
a=30º
R-r
r
r
-4-
2.1
Cuadrados y circunferencias inscritos.
r
a
a-r
a+r
a/2
a
a
(a-l)/2
l
(a+l)/2
l
r
a
a-r
r+3a/5
a/2
3a/5
-5-
2.2
Cuadrados sucesivos inscritos en un triángulo rectángulo.
B
F
E
a
K
G
y
J
x
C
2.3
D
H
b
I
A
Circunferencias inscritas en una estrella pitagórica.
A
B
O
R
C
r
a/2
-6-
2.4
Circunferencias inscritas sucesivamente en otra circunferencia.
r1
B
R+
r1
2R-r1
A
2.5
R
O
2R
Otra circunferencia inscrita en el problema anterior.
r1
B
r2
R+
A
2.6
R
C
2R-2r1-r2
2R
O
Sucesión de circunferencias inscritas en el problema anterior.
r1
R
2R
-7-
3.1
Octaedro inscrito en una esfera.
A
A
B
R
E
B
E
a
A
D
B
a V2
D
2r
a
C
C
D
F
3.2 Cubo inscrito en una esfera.
a
a
V2 a
-8-
3.3
Tetraedro inscrito en cubo. Calcula su volumen.
a2
a2
a
a
3.4
Dos esferas inscritas en un cubo, las diagonales del cubo no se ven.
B
A
C
A
C
D
O
a-2r
a
Q
F
E
H
E
r
r
V2a-2r
P
G
G
-9-
3.5
Esfera inscrita en un tetraedro regular de arista a.
A la vista del resultado podemos preguntarnos si el dibujo era real o estaba verdaderamente deformado.
Con los resultados obtenidos podemos construir la circunferencia y el triángulo a escala, obteniendo la figura:
3.6
Tetraedro regular de arista a inscrito en una esfera de radio R.
A
A
R
H
A
B
D
H
O
D
x
H
G
a
R
a/V3
D
C
-10-
3.7
Esfera inscrita en un cono.
A
A
h
h-r
A
r
B
O
r
O
C
3.8
R
B
C
D
r
R
B
Esfera inscrita en un cilindro con bolas inscritas en el espacio resultante.
O
-11-