VI. Suma de fuerzas y equilibrio estático

SUMA DE F UERZAS Y EQUILIBRIO ESTÁTICO
V. SLÜSARENKO - FÍSICA INDUSTRIAL - UTFSM
SUMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO ESTÁTICO
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CAPÍTULO VI
SUMA DE F UERZAS Y E QUILIBRIO ESTÁTICO
VI. SUMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO ESTÁTICO .................................................VI-3
VI.1.
SUMA DE FUERZAS ........................................................................................................ VI-3
VI.2.
EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN .......................................................................................... VI-5
VI.3.
FUERZAS DE CONTACTO................................................................................................. VI-5
VI.4.
CUERDAS Y CABLES....................................................................................................... VI-8
VI.5.
EQUILIBRIO ROTACIONAL .............................................................................................. VI-8
VI.6.
CENTRO DE MASA ........................................................................................................ VI-10
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VI. Suma de fuerzas y equilibrio estático
VI.1.
Suma de fuerzas
El efecto combinado de dos o más fuerzas actuando sobre un cuerpo no se obtiene
simplemente sumando los valores ( o magnitudes ) de las fuerzas, como puede apreciarse en las
situaciones siguientes :
En el primer caso, los efectos de las dos fuerzas tienden a sumarse, mientras que en el
segundo, tienden más bien a cancelarse entre sí. En el tercer caso, el efecto neto de las dos
fuerzas en un “empujón” cuya magnitud no es la suma de las magnitudes de las fuerzas
individuales, y cuya dirección tampoco corresponde a ninguna de las direcciones de las fuerzas
originales.
El efecto neto de varias fuerzas actuando simultáneamente sobre un cuerpo, se obtiene
representándolas mediante “flechas”, y usando las siguientes “reglas gráficas”:
r
F1
r
F2
r
F1
r
F3
r
F2
=
r
F1
=
r
F3
=
r
F1
=
r
F4
r
F1
=
r
F4
r
F2
r
F1
=
r
F1
+
r
F1
r
F1
+
+
r
F3
r
F4
En la figura, se ha usado el signo “+” , no para designar a la operación de suma
algebraica ordinaria sino para una nueva operación que “combina flechas”.
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Hay muchas otras variables físicas que se combinan o “suman” entre sí de la misma forma
que las fuerzas. Algunos ejemplos son: los desplazamientos, las velocidades, las aceleraciones,
los campos gravitacionales, eléctricos y magnéticos, etc. Llamaremos vectores físicos a este tipo
de variables. Un vector físico no queda completamente determinado por su magnitud: es
necesario indicar además su dirección. Llamaremos suma vectorial a la operación de combinar
dos o más vectores del mismo tipo (Ver página II-19).
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VI.2.
Equilibrio de traslación
Un cuerpo está en equilibrio de traslación cuando la suma vectorial de todas las fuerzas
que actúan sobre él es cero. Si, además, el cuerpo se encuentra en reposo, entonces permanecerá
en reposo y decimos que el equilibrio es estático.
VI.3.
Fuerzas de contacto
Frecuentemente en la vida diaria ignoramos el origen microscópico de ciertas fuerzas que
ejercen los cuerpos entre sí. Por ejemplo, un objeto que descansa sobre una mesa es atraído hacia
el centro de la Tierra por la fuerza gravitacional. El hecho de que el cuerpo no caiga implica
necesariamente que la mesa lo está “empujando” verticalmente hacia arriba para sostenerlo. El
origen de esta fuerza ejercida por la mesa sobre el objeto es, en último término, la repulsión
electromagnética entre los átomos de la mesa y los del objeto.
A nivel microscópico no existe realmente el contacto directo entre los cuerpos sólidos que
percibimos con nuestros sentidos. Pero, para todos los efectos prácticos, podemos considerar que
la mesa empuja hacia arriba con una fuerza que llamaremos “de contacto”. Si la mesa está en
posición horizontal, esta fuerza es perpendicular ( o "normal" ) a la superficie. Podemos calcular
la magnitud de esta fuerza utilizando el hecho de que el cuerpo que descansa sobre la mesa está
en equilibrio estático :
r
C
r r
r
r
C + P = 0 ⇒ C = −P
r
P
En este caso, la fuerza de contacto tiene magnitud igual al peso del objeto y está dirigida
verticalmente hacia arriba. Observe, sin embargo, que esto no siempre es así. Suponga que, a
continuación, usted empuja el objeto verticalmente hacia abajo. Como el objeto permanece en
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equilibrio, la mesa tendrá que ejercer ahora una fuerza de contacto de magnitud igual al peso del
objeto más la magnitud de la fuerza ejercida por usted.
r
C
r
F
r r
r
r
r r
C + P + F = 0 ⇒ C = − P +F
(
)
r
P
Frecuentemente se comete el error de considerar que la fuerza de contacto que sostiene a
un cuerpo “contra la gravedad” es la reacción al peso del objeto. Esto es claramente falso, como
puede apreciarse en el ejemplo previo.
Si, a continuación, la superficie de la mesa se inclina respecto a la horizontal en un ángulo
no “muy grande” de modo que el objeto no resbale, se observa.
r
C
r
C
Normal
r
P
Roce
r
r
C = −P
r
r
r
C =N+R
Como el objeto permanece en equilibrio, la fuerza ejercida por la superficie debe ser aun
igual en magnitud al peso del cuerpo y opuesta en dirección. Pero, entonces, dicha fuerza ya no
es perpendicular a la superficie, sino que tiene además una componente paralela a la superficie.
Se deduce, por tanto, que una superficie no sólo puede ejercer fuerzas perpendiculares, sino
también fuerzas paralelas a ella. Llamamos fuerza de roce o de fricción a las fuerzas ejercidas
por una superficie en dirección paralela ( o tangencial ) a ella. Cuando no hay resbalamiento
entre las superficies en contacto, hablamos de roce estático y, en caso contrario, de roce cinético.
Es evidente que hay un límite a la magnitud que puede tener la fuerza de roce estático
ejercida por una superficie. Esto puede comprobarse fácilmente aumentando la inclinación de la
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mesa, hasta que el objeto comience a resbalar. Tal límite depende de dos factores : la naturaleza
de las superficies en contacto y la magnitud de la componente perpendicular de la fuerza de
contacto entre las superficies ( ya que esta componente nos dice cuán “apretadas” una contra la
otra están las dos superficies ). Esto se expresa mediante la relación :
festática = µe ⋅ N
,
máxima
en donde µe es una constante llamada coeficiente de roce estático, y N es la componente
perpendicular de la fuerza de contacto. Obsérvese que la expresión da el valor de la magnitud de
la fuerza de roce estático sólo si el objeto está a punto de resbalar sobre la superficie. En
general se cumple que :
f estática ≤ µ e ⋅ N
,
Si un cuerpo resbala sobre una superficie, ésta ejerce sobre aquél una fuerza llamada roce
cinético, que se opone al deslizamiento, y cuya magnitud está dada por la relación :
fcinética = µc ⋅ N
,
donde µc es una constante llamada coeficiente de roce cinético.
A pesar de la similitud entre las expresiones para festática máx. y para fcinética , ellas son de
un carácter muy diferente: la primera de ellas sólo se refiere al valor máximo que puede tener la
fuerza de roce estático, mientras que la segunda nos da directamente la magnitud de la fuerza de
roce cinético.
Las fuerzas de roce, al igual que la fuerza de contacto perpendicular, provienen de las
fuerzas de cohesión y de repulsión entre los átomos de los cuerpos en contacto. Las fuerzas de
contacto juegan un rol muy importante en nuestra vida diaria: son fuerzas de contacto las que
actúan cuando nos paramos sobre el suelo, cuando caminamos, cuando sostenemos objetos en
nuestras manos y también cuando chocamos contra algún obstáculo.
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VI.4.
Cuerdas y cables
Las cuerdas, cables y otros objetos
similares, sólo pueden ejercer fuerzas
cuando están tensos.
Corte
imaginario
Llamamos tensión a la magnitud de la
fuerza transmitida por una cuerda.
Si hacemos un corte imaginario a través
de una sección transversal de una cuerda
tensa, cada porción de dicha cuerda “tira” a
la otra porción con una fuerza de magnitud
igual a la tensión de la cuerda.
Las fuerzas de tensión provienen de la cohesión entre los átomos del material de la cuerda y
son, por tanto, de origen electromagnético.
VI.5.
Equilibrio rotacional
Un cuerpo sometido a la acción de varias fuerzas cuya suma es cero, puede no estar en
equilibrio, como puede apreciarse en la segunda de las siguientes situaciones:
r
F2
r
F2
r
F1
r
F1
r
r
F1 + F2 = 0
r
r
F1 + F2 = 0
En el segundo caso, a pesar de que la fuerza neta es cero, la mesa no permanece en
equilibrio. En este caso la combinación de fuerzas produce una rotación de la mesa.
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El efecto rotacional de una fuerza depende de varios factores, como puede apreciarse en la
siguiente situación, en la cual varias fuerzas de igual magnitud actúan sobre una puerta :
Definimos el brazo de una fuerza, como la distancia entre la línea de acción y el eje en
torno al cual el cuerpo podría girar :
Línea de
acción
brazo
Punto de
aplicación
eje
Definimos el efecto rotacional o torque de una fuerza, como el producto de la magnitud
de la fuerza por su brazo.
τ =
F · b
Si varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo, consideraremos positivos aquellos
torques que tienden a hacer girar el cuerpo en un sentido dado, y negativos a los demás.
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación cuando la suma de los torques que actúa
sobre él es cero.
Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio debe estar tanto en equilibrio de traslación
como de rotación.
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VI.6.
Centro de masa
La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo, es ejercida sobre cada partícula del cuerpo.
CM
r
P
Para los efectos de calcular el torque producido por el peso, puede considerarse que la
fuerza de gravedad está aplicada en un punto particular del cuerpo, llamado centro de masa. Si
el cuerpo es simétrico, como un cubo o una esfera homogéneos, el centro de masa coincide con el
centro de simetría.
Una forma práctica de determinar la posición del centro de masa de un cuerpo plano ( lámina
o placa ), es suspendiéndolo de algún punto; al alcanzar el equilibrio, el centro de masa debe
estar verticalmente debajo del punto de apoyo, el brazo es cero y el torque debido al peso es cero.
r
P
r
P
Si marcamos sobre la placa la vertical que baja desde el punto de apoyo, sabremos que su
centro de masa estará sobre esa recta. Para determinar la posición, repetimos la operación con
otro punto de apoyo :
CM
r
P
Entonces, el centro de masa estará en la intersección de las dos rectas así obtenidas.
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En el caso de objetos con algún grado de simetría, el centro de masa (CM) debe estar en
algún punto, línea o plano especial. Así, por ejemplo, en un cubo o una esfera homogéneos, el
centro de masa coincide con el centro geométrico del cuerpo. Para el caso de un objeto que tiene
un eje de simetría ( por ejemplo una botella ), el CM debe estar en algún punto de dicho eje. Una
taza, en cambio, no tiene un eje de simetría debido a su única “oreja” , pero sí es simétrica
respecto a un plano vertical que la corta por la mitad:
El CM de la taza debe estar en algún punto de este plano.
En algunos casos, un objeto puede descomponerse en partes más simétricas. Por ejemplo,
considere una tabla en forma de “L”, de las dimensiones indicadas ( en pulgadas ).
7
5
2
3
5
El plano que pasa por la mitad del espesor de la placa es un plano de simetría, por lo que
el CM debe estar en él.
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Para ubicar el CM dividimos imaginariamente la tabla en dos rectángulos; cada uno tiene un
punto de simetría.
y
5
7
2
2
x
3
Las coordenadas del CM de la tabla son un “promedio ponderado” de las coordenadas de
los CM individuales.
El “factor de ponderación” es la masa de cada parte dividida por la masa total del objeto:
 m1
x CM = x 1 
 m1 + m 2

 m2
 + x 2 
 m +m

2
 1



En el caso particular de esta placa,
m1 = e A1
ρ
donde e es el espesor , A1 el área del rectángulo 1 y ρ es la densidad del material; entonces,
la masa total es:
m = m1 + m2 = e ρ ( A1 + A2
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)
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de modo que:
x CM




e ρ A2
e ρ A1

 + x 2 
= x1 
(
)
ρ
(
+
)
ρ
+
e
A
A
e
A
A


1
2 
1
2 
 A1 
 A2
 + x 2 
= x1 
 A1 + A2 
 A1 + A2
 14 
 + 3,5
≈ 1 
+
14
6


 6 


+
14
6


x CM ≈ 1,75 [ in ]
La coordenada yCM se calcula de un modo similar.
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VI-13


