Algebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Subespacios vectoriales.
Definición de subespacios vectoriales. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un
subconjunto W ⊆ V, se dice que es un subespacio de V, denotado por W < V , si W , junto con las
operaciones de adición y multiplicación por escalar, definidas en V, es, por si sólo, un espacio vectorial,
sobre el mismo campo K.
Teorema. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W ⊆ V, es un subespacio
de V, denotado por W < V, si y sólo si:
1.
El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de adición. Es decir
w
~1 + w
~2 ∈ W
2.
∀w
~ 1, w
~2 ∈ W
El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de multiplicación escalar.
λw
~1 ∈ W
∀λ ∈ K y
∀w
~ 1 ∈ W.
Prueba: Primero probaremos que si un subconjunto W ⊂ V es un subespacio de V; es decir, W < V
entonces debe satisfacer las dos propiedades. Suponga que W < V, es un subespacio de V, entonces por
definición W es un espacio vectorial sobre el campo K. Por lo tanto, W debe estar cerrado respecto a
las operaciones de adición y multiplicación por escalar.
Suponga ahora que un subconjunto W ⊂ V satisface la clausura respecto a la adición y la multiplicación
por escalar, entonces se probará que W < V. Puesto que W ⊂ V entonces se satisfacen las siguientes
propiedades de las dos operaciones
1.
La adición es asociativa.
w
~ 1 + (w
~2 + w
~ 3 ) = (w
~1 + w
~ 2) + w
~ 3,
2.
La adición es conmutativa
w
~1 + w
~2 = w
~2 + w
~ 1,
3.
∀w
~ 1, w
~2 ∈ W
La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial.
k(w
~1 + w
~ 2 ) = kw
~ 1 + kw
~2
4.
∀w
~ 1, w
~ 2, w
~3 ∈ W
∀ k ∈ K,
y w
~ 1, w
~ 2 ∈ W.
La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares.
(k1 + k2 )w
~ = k1 w
~ + k2 w
~
1
∀ k1 , k2 ∈ K,
y w
~ ∈ W.
5.
La multiplicación escalar es pseudoasociativa.
(k1 · k2 )w
~ = k1 (k2 w)
~
6.
∀ k1 , k2 ∈ K
∀w
~ ∈ W.
Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Si 1 ∈ K es el idéntico multiplicativo, se tiene que
1w
~ =w
~
∀w
~ ∈ W.
7.
Puesto que W está cerrado respecto a la multiplicación por escalar, 0 ∈ K y se sabe que 0w
~ =
~0, ∀w
~ ∈ W, entonces ~0 ∈ W y W contiene al idéntico aditivo.
8.
Si 1 es el idéntico multiplicativo del campo K, se tiene que
1 + (−1) = 0
Por la clausura del conjunto W respecto a la multiplicacion por escalar
(−1)w
~ ∈W
∀w
~ ∈ W.
Además, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación por escalar respecto a la adición,
se tiene que
[1 + (−1)]w
~ =w
~ + (−1)w
~ = 0w
~ = ~0 ∀w
~ ∈W
Por lo tanto (−1)w
~ es el inverso aditivo de w
~ ∈ W y W también contiene los inversos aditivos.
Por lo tanto, la clausura respecto a la adición, junto con las incisos 1, 2, 7 y 8 prueban que W es
un grupo aditivo respecto a la adición. Finalmente, la clausura respecto a la multiplicación por escalar,
junto con los incisos, 3, 4, 5 y 6 completan la prueba que W < V.
Nota. Es importante notar que todo espacio vectorial V tiene dos subespacios impropios, el
primero es el subespacio formado por el vector ~0, exclusivamente; es decir {~0} y el restante es el propio
espacio vectorial V.
Teorema. Una condicion necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto W ⊂ V sea un
subespacio de V, es que ~0 ∈ V sea también un elemento de W.
Prueba: Por definición, W ⊂ V es un subespacio de V si W por si sólo es un espacio vectorial. Por
lo tanto, ~0 debe estar contenido en W ; es decir ~0 ∈ W .
Teorema. El conjunto solución de una ecuación lineal con n incógnitas sobre un campo K es un
subespacio de Kn si, y sólo si, la ecuación es homogenea.
Prueba: Considere una ecuación lineal homogenea con n incógnitas sobre un campo K
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0,
y sea ~xs = (x1s , x2s , . . . , xns ), ~ys = (y1s , y2s , . . . , yns ) ∈ Kn dos soluciones arbitrarias de la ecuación lineal
homogenea, es decir dos elementos del conjunto solucion, CS y sea λ ∈ K arbitrario. Entonces
a1 x1s + a2 x2s + · · · + an xns ≡ 0,
a1 y1s + a2 y2s + · · · + an yns ≡ 0.
entonces, CS está cerrado con respecto a la suma. Considere
~xs + ~ys = (x1s + y1s , x2s + y2s , . . . , xns + yns ).
2
Entonces,
a1 (x1s + y1s ) + a2 (x2s + y2s ) + · · · + an (xns + yns )
(a1 x1s + a2 x2s + · · · + an xns ) + (a1 y1s + a2 y2s + · · · + an yns )
=
≡ 0 + 0 = 0.
De manera semejante, el conjunto solución, CS , está cerrado con respecto a la multiplicacion por escalar.
Considere
λ~xs = λ(x1s , x2s , . . . , xns ) = (λx1s , λx2s , . . . , λxns ).
Entonces
a1 (λx1s ) + a2 (λx2s ) + · · · + an (λxns )
λ (a1 x1s + a2 x2s + · · · + an xns ) = λ 0
=
≡ λ0 = 0.
Por lo tanto, si la ecuación lineal es homogenea, el conjunto solución, CS es un subespacio de Kn , es
decir CS ∈ Kn . Suponga ahora que la ecuación lineal no es homogenea, es decir
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
donde
b 6= 0.
Suponga que ~xs = (x1s , x2s , . . . , xns ) ∈ Kn es una solución arbitraria de la ecuación lineal no homogenea,
es decir un elemento del conjunto solución, CS y sea λ ∈ K diferente de 1. Entonces
a1 x1s + a2 x2s + · · · + an xns ≡ b.
Considere
λ~xs = λ(x1s , x2s , · · · , xns ) = (λx1s , λx2s , . . . , λxns ).
entonces
a1 (λx1s ) + a2 (λx2s ) + · · · + an (λxns ) = λ(a1 x1s + a2 x2s + · · · + an xns ) = λb 6= b.
Entonces, el conjunto solución, CS , no está cerrado respecto a la multiplicación por escalar y no es
un subespacio.
Teorema. Sean W1 , W2 < V dos subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces
su intersección es también un subespacio; es decir,
W1 ∩ W2 < V.
Prueba: Sean w
~ 1, w
~ 2 ∈ W1 ∩ W2 arbitrarios, entonces w
~ 1, w
~ 2 ∈ W1 y w
~ 1, w
~ 2 ∈ W2 . Ahora bien,
puesto que W1 , W2 son subespacios, entonces
w
~1 + w
~ 2 ∈ W1
y
w
~1 + w
~ 2 ∈ W2 .
Por lo tanto
w
~1 + w
~ 2 ∈ W1 ∩ W2 ,
y la intersección está cerrado respecto a la suma.
Además, para todo λ ∈ K
λw
~ 1 ∈ W1
y
λw
~ 1 ∈ W2
Por lo tanto
λw
~ 1 ∈ W1 ∩ W2 ,
y la intersección está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. De esta manera se prueba que
W1 ∩ W2 < V.
3
Teorema. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas
sobre un campo K es un subespacio de Kn si, y sólo si, el sistema de ecuaciones es homogeneo.
Prueba: Considere el sistema de m ecuaciones con n incógnitas sobre un campo K, dado por
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2
··· ··· ··· ··· = ·
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn
= bm .
En el apunte número 3 se probó que el conjunto solución CS es la intersección de los conjuntos solución
de las m ecuaciones. Es decir
CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm .
Si el sistema de ecuaciones es homogeneo, entonces cada una de las ecuaciones son homogeneas, y por
los teoremas anteriores, cada uno de los conjuntos solución es un subespacio de Kn y la intersección de
los subespacios es otro subespacio. Por lo tanto, si el sistema de ecuaciones es homogeneo, su conjunto
solución es un subespacio de Kn . Es fácil probar que si el sistema no es homogeneo, el conjunto solución
no es un subespacio.
2.
Ejemplos Resueltos.
En esta sección se presentan y resuelven algunos ejemplos de subconjuntos de espacios vectoriales que
pueden o no ser subespacios vectoriales.
1.
U ⊆ R4 donde U = {(a, b, c, d) | a + b = c + d}.
Sean ~v1 , ~v2 ∈ U , elementos arbitrarios de U dados por
~v1 = (a1 , b1 , c1 , d1 )
y
~v2 = (a2 , b2 , c2 , d2 ).
y
a2 + b2 = c2 + d2 .
Puesto que ~v1 , ~v2 ∈ U , se tiene que
a1 + b1 = c1 + d1
Considere ahora
~v1 + ~v2 = (a1 , b1 , c1 , d1 ) + (a2 , b2 , c2 , d2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 , d1 + d2 ).
Entonces
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) = (c1 + d1 ) + (c2 + d2 ) = (c1 + c2 ) + (d1 + d2 ).
y el conjunto U está cerrado respecto a la adición de vectores.
Sea λ ∈ R arbitrario y considere
λ ~v1 = λ (a1 , b1 , c1 , d1 ) = (λ a1 , λ b1 , λ c1 , λ d1 )
Entonces
λ a1 + λ b1 = λ (a1 + b1 ) = λ (c2 + d2 ) = λ c2 + λ d2 .
y el conjunto U está cerrado respecto a la multiplicación escalar de vectores. Por lo tanto U ⊆ R4
es un subespacio que se denota por U < R4 .
4
2.
U ⊆ R4 donde U = {(a, b, c, d) | a + b = 1}.
Sean ~v1 , ~v2 ∈ U , elementos arbitrarios de U dados por
~v1 = (a1 , b1 , c1 , d1 )
y
~v2 = (a2 , b2 , c2 , d2 ).
y
a2 + b2 = 1.
Puesto que ~v1 , ~v2 ∈ U , se tiene que
a1 + b1 = 1
Considere ahora
~v1 + ~v2 = (a1 , b1 , c1 , d1 ) + (a2 , b2 , c2 , d2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 , d1 + d2 ).
Entonces
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) = 1 + 1 = 2.
El conjunto U no está cerrado respecto a la adición de vectores y, por lo tanto, U no es un subespacio
de R4 .
3.
Sea C0 (−∞, ∞) el espacio vectorial real de funciones
ª real en el
© reales, continuas y de variable
intervalo (−∞, ∞) y sea V ⊆ C0 (−∞, ∞) tal que V = f ∈ C0 (−∞, ∞) | f ( 12 ) ∈ Q .
Sea f ∈ V , por lo tanto
1
f ( ) ∈ Q.
2
Sea un λ ∈ R arbitrario y considere
·
¸
1
1
(λ f )( ) = λ f ( ) .
2
2
¤
£
Pero λ f ( 21 ) ∈ Q si sólo si λ ∈ Q, pero λ ∈ R puede no pertenecer a Q. Por lo tanto, el conjunto
no está cerrado respecto a la multiplicación por escalar y V no es un subespacio de C0 (−∞, ∞).
3.
Ejemplos Propuestos.
En esta sección se presentan algunos ejemplos de subconjuntos de espacios vectoriales, algunos de
ellos son subespacios otros no lo son.
1.
Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo de los
números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
Considere,
El subconjunto S1 ⊂ R3 , tal que
S1 = {~v = (v1 , v2 , v3 ) | v2 = 3v1 , v3 = −2v1 } .
S1 es un subespacio de R3 .
El subconjunto S2 ∈ R3 , tal que
S2 = {~v = (v1 , v2 , v3 ) | 3v1 + v2 − 2v3 = 0} .
S2 es un subespacio de R3 .
El subconjunto S3 ⊂ R3 , tal que
S3 = {~v = (v1 , v2 , v3 ) | v2 = 3, v3 = v1 } .
S3 no es un subespacio de R3 .
5
El subconjunto S4 ⊂ R3 , tal que
©
S4 = ~v |~v = λ1~v1 + λ2~v2 , donde
λ1 , λ2 ∈ R, ~v1 = (0, 1, 2), ~v2 = (1, −1, 0) ∈ R3
S4 es un subespacio de R3 .
2.
ª
Considere el espacio vectorial M2×2 , de matrices de dos filas y dos columnas, sobre el campo de
los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
Considere,
El subconjunto S1 ⊂ M2×2 , tal que
(
S1 =
A=
·
a11
0
S1 es un subespacio de M2×2 .
0
a22
)
¸ ¯¯
¯
¯a11 , a22 ∈ R .
¯
El subconjunto S2 ⊂ M2×2 , tal que
(
·
¸ ¯¯
a11 a12 ¯
S2 = A =
¯a , a , a , a ∈ R,
a21 a22 ¯ 11 12 21 22
)
tal que a11 + a22 = 2 .
S2 es un subespacio de M2×2 .
3.
Considere el espacio vectorial P3 (x), de polinomios de grado menor o igual que 3, con coeficientes
reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación
por un escalar real. Considere,
El subconjunto S1 ⊂ P3 (x), tal que
©
ª
S1 = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 |3a0 − a2 = 0 .
S1 es un subespacio de P3 (x).
El subconjunto S2 ⊂ P3 (x), tal que
©
ª
S2 = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 |a0 = a3 + 1 .
S2 no es un subespacio de P3 (x).
4.
Considere el espacio vectorial C1 (−5, 5), de funciones reales y continuas de variable real definidas
en el intervalo abierto (−5, 5), sobre el campo de los números reales, R, con las operaciones usuales
de adición y multiplicación por un escalar real. Considere,
El subconjunto S1 ⊂ C1 (−5, 5), tal que
S1 = {f (x)|f (3) = −f (1) + 2f (2)} .
S1 es un subespacio de C1 (−5, 5).
El subconjunto S2 ⊂ C1 (−5, 5), tal que
S2 = {f (x)|f (0) = f (1) + 1} .
S2 no es un subespacio de C1 (−5, 5).
6