Matemáticas

Matemáticas
MATEMÁTICAS
Sesión No. 1
Nombre: Fundamentos del Álgebra
Contextualización
Esta sesión está diseñada para ofrecer una breve explicación de los principios
aritméticos y algebraicos que se requieren para el manejo correcto de las
matemáticas, tal es el caso de los números reales, la prioridad de los operadores,
el uso de paréntesis, redondeo de decimales. También recordaremos el cálculo
de razones, proporciones y porcentajes. Estos temas son de gran importancia
para el uso correcto de los temas que vienen después, lo más seguro es que la
exposición rápida de estos conceptos te resulte de mucho beneficio. Al final
aprenderás a manejar estos números y propiedades de una manera más sencilla
y eficaz.
Extraído de: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/recta_numerica.jpg solo para fines educativos.
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MATEMÁTICAS
Introducción al Tema
Esta sesión está diseñada para ofrecer un repaso breve sobre algunos términos
y métodos para manipulación de las matemáticas.
Los números reales son el conjunto universal de los números, pero ¿Cuáles son
los números reales y cuáles son sus propiedades?
Es importante entender que la aplicación correcta de la prioridad de operadores
y el manejo correcto de los paréntesis nos dan la solución correcta al resolver
una expresión matemática.
Las razones y proporciones son de gran uso en diversas disciplinas; por ejemplo
en la ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, en contabilidad
se realizan muchos movimientos financieros y en la vida diaria para efectuar
operaciones aritméticas.
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Explicación
Prioridad de operadores y uso de paréntesis
En matemáticas las operaciones aritméticas tales como la suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación tiene un orden o prioridad de
uso para solucionar de manera correcta cuando se agrupan varias operaciones,
es importante definir la prioridad que tomaran los operadores en una expresión
para la solución correcta.
Por orden de aplicación en una expresión debemos de resolver:
1.- Potenciación o radicación
2.- Multiplicación y divisiones
3.- Sumas y restas
Por ejemplo si tenemos: 32 + 2x5 – 6/2
Primeramente debemos de resolver 32 = 9, luego la multiplicación de 2x5 = 10,
ahora la división de 6/2 = 3 y por ultimo realizaremos las sumas y restas que se
tienen en la expresión:
9 + 10 – 3 = 19 – 3 = 16,
El 16 es la solución correcta a nuestra expresión aritmética.
En algunas expresiones aritméticas se requiere el uso de los paréntesis para
indicar que algunas operaciones se deben efectuar antes que otras, o que deben
considerarse como un sólo número.
Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen
varias operaciones secuenciadas.
Ejemplos: resuelve las siguientes expresiones aritméticas
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Para sumar (5 + 7) – 6, se debe efectuar primero (5 + 7) y después restar 6 al
resultado.
(5+7) — 6 = 12 — 6 = 4
Para resolver 4 + (6 + 52)
Primero se resuelve la potencia 52= 5x5 = 25
Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (6+25 = 31)
Finalmente se resuelve la operación completa: 4+31 = 35
Características importantes a considerar en el uso de los paréntesis con los
signos:
•
Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo
de los sumandos que contiene.
•
Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado
de la operación contenida en dicho paréntesis.
Ejemplos:
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
No es lo mismo que: 7 — (2 + 3) = 7 — 5 = 2
- 5 - (23 — 32)
En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del
paréntesis:
2x2x2=8y3x3=9
De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: 8 - 9 = - 1
Posteriormente se realiza la operación completa: -5 +1 = - 4
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Redondeo de decimales
Primeramente debemos saber si estamos redondeando a décimas, centésimas,
etc. O a tantas cifras decimales como se requiera y así sabrás cuánto quedará
del número cuando hayas terminado.
Ejemplos
Porque ...
3.1416 redondeado a las centésimas es 3.14
... la cifra siguiente (1) es menor que
5
2.2635 redondeado a las décimas es 2.3
... la cifra siguiente (6) es 5 o más
3.2715 redondeado a 3 cifras decimales
3.271
... la cifra siguiente (5) es menor que
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Cálculo de razones, proporciones y porcentajes.
Razón.
Considere los números a y b. la razón en ellos es el cociente que se obtiene al
dividirlos:
a
b
Ejemplo:
3 c 1
, , ...
4 d 5
Proporción.
Es la igualdad que se formula entre dos razones:
a c
= y se lee: ‘a’ es a ‘b’
b d
COMO ’c’ es a ‘d’. Esta misma proporción se puede escribir como ad = bc
Proporcionalidad directa (regla de tres directa):
En una proporción en la que sólo se nos dan el valor de 3 datos, podemos
calcular el cuarto de una manera sencilla.
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Ejemplo: Un camión recorre 220 kilómetros con 30 litros de gasolina. ¿Cuántos
kilómetros podría recorrer con 100 litros?
La proporción que se tiene es:
220
x
aquí la “x” representa la cantidad a
=
30 100
buscar por lo tanto se tiene que despejar de nuestra proporción:
x=
(220)(100) 22000
=
= 733.33 km
30
30
Porcentaje.
Como "por ciento" quiere decir "por cada 100" se debe de pensar siempre que
"hay que dividir por 100"
Así que 25% quiere decir 25/100
Y 100% es 100/100, o exactamente 1 (100% de cualquier número es el mismo
número)
Y 500% es 500/100, o exactamente 5 (500% de cualquier número es el quíntuple
del número)
Números reales.
Considere todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir
longitudes, junto con sus negativos y el cero. A estos números se les llama
números reales.
Los números reales pueden verse como etiquetas para puntos a lo largo de una
línea horizontal. Allí ellos miden la distancia, a la derecha o izquierda (la
distancia dirigida), a un punto fijo llamado origen y marcado con 0.
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Extraído de: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/recta_numerica.jpg solo para fines educativos.
Algunas propiedades de las operaciones aritméticas con los números reales.
Dados dos números reales x y y, podemos sumarlos y multiplicarlos para
obtener dos nuevos números reales x+y y x*y (también escrito sencillamente
como xy). La suma y la multiplicación tienen las siguientes propiedades
conocidas:
1. Leyes conmutativas.
x+y = y + x
xy = yx
2. Leyes asociativas.
x + (y + z) = (x + y) + z
x(yz) = (xy)z
3. Leyes distributivas.
x(y + z) = xy + xz
4. Elementos identidad.
Existen dos números distintos 0 y 1 que satisface x + 0 = x y x*1 = x, para
todo número real x.
5. Inversos.
Cada número tiene un inverso aditivo (llamado también opuesto), -x, que
satisface x+(-x) = 0.
También cada número x, excepto el 0, tiene un inverso multiplicativo
(también conocido como reciproco), x-1, que satisface x*x-1=1
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Conclusión
En los números reales es importante entender que la prioridad de operadores se
debe de aplicar de manera adecuada para la solución correcta de nuestras
expresiones aritméticas, el redondear números nos permite que nuestros
procesos sean más simples de solucionar ya que reducimos el número de
decimales que se puedan tener en un número.
Las razones, proporciones y porcentajes son otro tipo de cálculos que podemos
realizar con los números reales y el definir estos números nos ayuda a identificar
claramente el manejo correcto de ellos a través de sus propiedades, es
importante tener claro estos conceptos que son el principio del fundamento
algebraico.
En la siguiente sesión aplicaremos más a detalle estos principios algebraicos
para el manejo de los polinomios y expresiones racionales.
Extraído de: http://files.matematicasjuanhwhite.webnode.es/system_preview_detail_200000013-be493bf431/Expresiones%20algebraicas.jpg solo para fines
educativos.
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Clasificación de los números reales:
•
Math2me. Clasificación de los números reales. Recuperado el día: 7 de
abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=KxFTic7DfFA
Jerarquía de las operaciones (Prioridad de operadores).
•
Math2me. Eliminación de paréntesis. Recuperado el día 7 de abril del
2014: https://www.youtube.com/watch?v=IzBhMmg-H8I
Explicación de cómo encontrar porcentajes utilizando fracciones.
•
Math2me. Porcentajes con fracciones. Recuperado el día 7 de abril del
2014: https://www.youtube.com/watch?v=JRhb3Fxd0u8
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
I.- Realiza un cuadro sinóptico donde representes el conjunto de los números
reales.
II.- Simplifique, si es posible, cada uno de los siguientes términos.
a) - 8 – (-6)
b) – (-6 + x)
c) 3[-2(3) + 6(2)]
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma.
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Bibliografía
• Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2003). Calculo diferencial e
integral. (8ta edicion). Ed. Pearson
ISBN: 013081137-8
• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage
Learning.
ISBN: 970-686-278-1
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