Tema 3. Interacción radiación

Tema 3. Interacción radiación- materia.
Miguel Antón Revilla
Departamento de Óptica
EUO
a
1
3.1. Interacción de la radiación con la materia.
Una vez que hemos descrito la luz como una onda electromagnética, en este tema abordaremos la interacción de una
haz de radiación electromagnética con la materia. Algunos de los fenómenos más importantes a los que da lugar tal
interacción son:
• esparcimiento de la radiación
• reflexión y refracción
• absorción
La idea general para describir estos fenómenos descansa en la interacción de los campos eléctrico y magnético
asociados a la onda con las cargas de los átomos que componen el medio material. Introduciremos un modelo sencillo
de átomo (el modelo de Lorentz) que consiste en describir al electrón ligado al núcleo mediante una fuerza elástica
caracterizada por una constante elástica natural (que dará lugar a una frecuencia natural de oscilación ω0). Cuando
una onda electromagnética de frecuencia ω incide sobre el átomo, los campos eléctrico y magnético de la onda
ejercerán una fuerza sobre el electrón y éste se acelerará, radiando por ello, a su vez, ondas electromagnéticas. La
radiación reemitida por el átomo dependerá en amplitud y fase, muy fundamentalmente, de la relación entre la
frecuencia de la onda ω y la frecuencia natural del electrón ω0.
A continuación describiremos pues las características más relevantes de los dos subsistemas: la radiación y la materia.
3.2. La radiación.
En el tema anterior ya se establecieron las propiedades de las ecuaciones de Maxwell y de las ondas
electromagnéticas. Por ello solamente indicamos aquí algunas de las propiedades más relevantes para el desarrollo del
problema planteado.
rr
r r
E = E0 cos( k r − ωt )
rr
r r
B = B0 cos( k r − ωt )
a
•
Las ondas electromagnéticas son producidas por cargas aceleradas.
•
Se pueden propagar en el vacío a la velocidad constante c= 299.792,458 Km/s
2
•
r r
k .E = 0 ,
r r
k .B = 0
r r
r
k xE = ω B
⇒
E =
ω
B = vB
k
I=
1
2
cnε 0 E0
2
•
La irradiancia de una onda plana viene dada por
•
Se diferencian unas de otras por su frecuencia o longitud de onda.
•
El espectro electromagnético está formado por 7 regiones: Radio -ondas, Micro-ondas, Infrarrojo, Visible,
Ultravioleta, Rayos X y Rayos Gamma.
Sus efectos sobre la materia son muy diferentes, dependiendo de la λ. El espectro visible está constituido por
las ondas electromagnéticas que producen la visión humana. Es una parte muy pequeña del espectro
electromagnético y se extiende entre 400 nm y 700 nm.
•
a
El campo E, B y k son perpendiculares entre sí, y además se cumple
3
3.3. La materia.
La materia está compuesta de átomos o moléculas en diferentes estados de agregación dependiendo de los enlaces
entre dichas átomos moléculas. En el estado sólido las distancias interatómicas son muy pequeñas, del orden de 0.1
nm, con densidades elevadas, del orden de 1015-17 átomos/m 3. Por el contrario en gases a baja presión, los átomos o
moléculas interaccionan poco entre sí y mantienen distancias grandes, del orden de varias micras. El efecto de una
onda electromagnética sobre un medio material dependerá mucho de su estado de agregación, como veremos
adelante.
materia
átomo
- -+ - Asumiremos un modelo muy sencillo de átomo, considerando que está formado por un núcleo de carga positiva y una
carga negativa distribuida uniformemente en todo el volumen. En estado de equilibrio, esta distribución de carga será
simétrica y por lo tanto, esférica. Sin embargo, si por alguna perturbación repentina, se perturba al átomo, por
ejemplo, induciendo un pequeño desplazamiento de la carga positiva respecto del centro, el resto de las cargas
negativas actuarán sobre la carga positiva del núcleo tratando de restituir la situación de equilibrio. Podemos pensar
que se producirá un cierto movimiento oscilante de la carga positiva respecto de la negativa. En efecto esto es lo que
sucede como vamos a ver enseguida. Para ello, deberemos calcular la fuerza neta que el resto de las cargas
negativas ejerce sobre el núcleo positivo una vez que se ha deformado la distribución de carga de tal manera que los
centros de las cargas positivas y negativas se han separado una distancia z. Aplicando el teorema de Gauss a una
superficie cerrada que pasa por el núcleo (línea discontinua), se tendrá que
-
-
-
zz
+
a
r r qN
E
∫S dS = ε 0
-
donde qN es la carga neta encerrada dentro de esta superficie
y que se puede calcular fácilmente
Ze 3
 ( −Ze )  4
3
qN = 
π
z
=
−
z



3
3
R
 4 / 3πR  3

4
Como el campo y dS tienen la misma dirección (radial) en todos los puntos de la superficie, la integral arroja E4πz 2.
Por lo tanto sustituyendo el valor obtenido de qN se obtiene el valor del campo al que está sometido el núcleo (o bien el
centro de las cargas negativa por efecto del núcleo)
E=−
Ze
z ⇒
3
4πε 0 R
Ze 2
F = −
4πε 0 R
3
z
Dado que los protones son mucho más masivos que los electrones, el centro de masas del sistema se podría suponer
en el núcleo, por lo que la ecuación de Newton del sistema se podrá poner como
r
d 2 z (t )
∑ Fi = m d 2t
⇒
−
Ze 2
4πε 0 R
3
z(t ) = me
d 2 z (t )
d 2t
Que como se ve, es la ecuación de un movimiento armónico simple. En efecto, si postulamos una solución del tipo
z (t ) = z 0 cos ω0t
al sustituir esta expresión en la ecuación de movimiento, se llega a que es solución de la misma si
ω0 =
Ze 2
4πε 0 me R3
Para el caso de un átomo de hidrógeno Z=1, e= 1.6021x 10-19 C, me =9.1091 x10-31 kg y R= 5x10 -11 m, por lo que la
frecuencia natural o frecuencia de resonancia vale
ω 0 ≅ 1.6 x10 16 rad / s
Este resultado es muy importante, ya que nos permite caracterizar al átomo como un oscilador armónico cargado, esto
es, una carga que efectúa oscilaciones en torno a su posición de equilibrio cuando es perturbado por una causa
externa. Pero además, el átomo perturbado se comporta como un oscilador cuya frecuencia natural de oscilación
depende de la interacción particular a la que estén sometidos los electrones de valencia he dicho átomo. Este modelo
sencillo nos ha permitido calcular la frecuencia natural a partir de datos microscópicos propios de cada átomo.
En el caso estudiado, de un átomo de hidrógenoideo, vemos que la frecuencia de resonancia está en la zona del
ultravioleta. La longitud de onda de una radiación de esta frecuenc ia sería λ= 117,8 nm. En general, dependiendo de
la masa y carga efectiva de las moléculas, habrá sustancias que tengan una o varias resonancias en otras partes del
espectro. Por ejemplo, el agua presenta resonancias en el infrarrojo lejano, microondas y también en el ultravioleta, por
lo que es transparente en el visible.
a
5
Por el contrario, las moléculas de colorante, al tener una gran masa efectiva, presentan resonancias en el visible. Por
ello, absorben selectivamente parte del espectro visible, apareciendo coloreadas.
a
6
3.4. La interacción radiación- materia.
Ahora que ya disponemos de un modelo físico sobre la radiación y otro sobre la materia, podemos abordar ol que
ocurre cuando un haz de radiación incide sobre un medio material. Por un lado, sabemos que el haz de radiación
consiste en un campo electromagnético variable en el tiempo. Por lo tanto, este campo actuará sobre las cargas de
cada átomo del medio material. Es decir, la interacción de una onda electromagnética sobre la materia se reduce a la
acción de los campos sobre las cargas del medio material.
Como sabemos, campo eléctrico E ejerce una fuerza sobre las cargas. Supongamos entonces que un campo eléctrico
E actúa sobre un átomo. El campo separará el centro de la carga positiva del centro de la carga negativa y la
distribución esférica se deformará e inducirá un momento dipolar p = e r
E
- - +
- -
r
Si el campo cambia de sentido, la carga positiva se desplazará hacia abajo, en la dirección del campo en ese momento.
- - +
- -
r
E
a
7
Así por ejemplo, cuando se introduce un material dieléctrico entre las armaduras de un condensador, la acción de un
campo eléctrico sobre un medio material dieléctrico,
desde un punto de vista macroscópico, consiste en
inducir en él una polarización macroscópica P
definida como el momento dipolar inducido por unidad
EL
de volumen:
P=
p
P
ne z
= Ne z
V
siendo N el número de átomos por unidad de
volumen. Para la mayor parte de los materiales, la
polarización inducida P es prop orcional al campo
aplicado, y se relacionan a través de la expresión
P = (ε − ε 0 ) E
donde ε 0 es la permitividad dieléctrica del vacío y ε es la permitividad dieléctrica del medio material adquirida por el
medio material debido a la acción del campo.
Supongamos ahora que incide una onda electromagnética sobre el átomo. Como el campo elé ctrico está oscilando en
el tiempo, inducirá deformaciones de la carga a la frecuencia del campo de la onda, es decir, la carga negativa oscilará
respecto a la carga positiva a la frecuencia de la onda:
-
+ - -
-
-
+ - -
En definitiva, el campo eléctrico asociado a la onda acelerará las cargas negativas respecto de las positivas
induciendo un movimiento que, en primera aproximación, podemos considerar que es un movimiento armónico simple
a la frecuencia del campo de la onda. (La acción del campo magnético de la onda puede despreciarse ya que la fuerza
del campo B de la onda será c veces más pequeña).
z
Por otra parte, sabemos que una carga acelerada emite
radiación electromagnética. En el tema anterior demostramos
que el campo radiado a largas distancias por una carga
me q e
acelerada venía dado por
( )
r r
Eo R, t =
ko
Q
p
θ
k
s
N
x
a
R
y
2r
qe
)  ) d r (t ') 
s × s ×

4πε o c 2 R
dt 2 

Este campo es:
• Proporcional a la aceleración de la carga (d2r/dt2).
• Inversamente proporcional a la distancia R.
• La dirección y sentido de E vienen dados por
r
s) × [s) × &r&(t ')]
8
o El tiempo t’ es t’=t- R/c, lo que indica que el campo en un instante t, depende del estado de movimiento
de la carga en el instante retardado t’ por una cantidad que es lo que tarda la onda en recorrer la
distancia R.
E
En la figura se muestran las líneas de campo eléctrico radiado
por un dipolo eléctrico que oscila en la dirección vertical.
Obsérvese que el campo es nulo en la dirección de oscilación
del dipolo .
Con estas ideas en mente, podemos hacernos una imagen de
lo que sucede cuando una onda electromagnética interacciona
con los átomos de un medio material:
§ El campo eléctrico de la onda incidente forzará a oscilar
a los electrones de cada átomo.
§ Estos electrones acelerados radiarán nuevas ondas
electromagnéticas de la misma frecuencia que la onda
incidente
§ Estas ondas se superpondrán unas con otras
¿
?
El resultado de esta superposición de ondas radiadas en todas las direcciones, dependerá fuertemente, como en todo
fenómeno interferencial, de la diferencia de fase relativa entre cada par de ondas. Por ello cabe esperar que la onda
resultante final dependa
• del tipo de medio material (hidrógeno, oxígeno, vidrio, etc), ya que dependiendo de la relación entre la
frecuencia de la onda y la frecuencia natural del material, la onda re emitida estará o no en fase con la onda
incidente.
• del estado de agregación del medio material (sólido, liquido, gas).
Todo ello da lugar a diferentes fenómenos ópticos como los de esparcimiento Rayleigh, reflexión, refracción y
absorción, que estudiaremos con más detalle más adelante.
a
9
3.5 Modelo de Lorentz.
Vamos ahora a dar forma matemática a todas estas ideas que venimos comentando. Lo primero que tenemos que
averiguar es el tipo de movimiento que experimenta el electrón ligado al núcleo cuando actúa sobre él el campo de la
onda electromagnética incidente. Una vez conocida la ecuación de este movimiento podremos calcular el campo
radiado por el electrón acelerado y finalmente sumar todas los campos radiados por el resto de los electrones. Para
ello, supongamos que sobre el átomo, incide una onda electromagnética, que supondremos polarizada según el eje Z
por simplicidad. El modelo de Lorentz consiste en caracterizar el átomo como un oscilador de frecuencia natural ω0, es
decir, el electrón, de masa m e y carga e, se encuentra ligado al núcleo a través de una fuerza de tipo elástico que ya
hemos calculado más arriba y que vale
z
2
e
0
F = −m ω z
E
e
mm,
e qe
E
Por otra parte, el campo de la onda electromagnética
incidente, de frecuencia ω, ejercerá una fuerza sobre el
electrón dada por
ko
Fext = eE0 e iωt
Q
R
p
Si sólo considerásemos estas dos fuerzas, estaríamos
olvidando un hecho importante: el átomo, acelerado por
estas dos fuerzas emite a su vez radiación
y
electromagnética por lo que está perdiendo energía. Una
N
manera de incorporar este proceso en nuestro modelo
consiste en imaginar una cierta fuerza de rozamiento que
x
tenga en cuenta estas pérdidas (véase el apéndice).
Podemos suponer que esta fuerza será tanto mayor cuanto más deprisa se mueva el electrón. Por ello introduciremos
una tercera fuerza proporcional a la velocidad, del tipo
k
s
Fr = −mγ v
donde γ es una constate que tiene dimensiones de frecuencia y que es proporcional a la rapidez con la que el átomo
pierde energía en forma de radiación. Esta constante depende del tipo de átomo y en átomos libres es del orden de
unos 10-8 s-1. Así pues la ecuación de movimiento del electrón se obtendrá aplicando la ley de Newton
r
d 2 z(t )
∑ F = m d 2t
es decir,
m
d 2 z (t )
dt 2
= −m ω02 z (t ) − m γ
d z (t )
+ eE 0 e iω t
dt
Podemos pensar que para tiempos grandes comparados con γ−1 , el electrón acabe oscilando a la frecuencia del
campo. Por ello, probaremos una solución de la forma
z (t ) = Ae iω t
a
10
siendo A una constante que deberemos determinar introduciendo z(t) en la ecuación de movimiento. El resultado es
A=
e ⋅ Eo
1
me ωo2 − ω 2 + iγω
⇒ z (t ) =
(
eE 0
me ω02 − ω 2 + iγω
)
e iω t
Evidentemente, obtenemos una solución compleja porque hemos utilizado la expresión compleja en el campo de la
onda. Pero sólo la parte real tiene significado físico. Esta vale,
z R (t ) =
me
tan φ =
(ω
eE0
2
0
−ω
) + (γω )
2 2
2
cos(ωt − φ )
γω
ω −ω2
2
0
El resultado es interesante. El electrón del átomo efectúa oscilaciones armónicas a la frecuencia del campo ω, pero
no lo hace en fase con el campo, sino desfasado respecto de éste una cantidad dada por φ. Además, y esto tendrá
importantes consecuencias, la amplitud de las oscilaciones del electrón depende fuertemente de la relación entre las
frecuencias del campo y la frecuencia de resonancia del átomo. En las figuras representamos el valor de la amplitud y
de la fase en función de la frecuencia de la onda incidente. Es interesante notar que la amplitud de las oscilaciones se
hace máxima cuando la frecuencia de la onda electromagnética que incide sobre el átomo coincide con la frecuencia
natural de este. Además si ω=ω0 , entonces el movimiento del electrón esté desfasado π/2, respecto del campo
incidente. Por otra parte, cuando la frecuencia de la onda esta muy alejada de la frecuencia de resonancia, la fase
φ, tiende a cero.
A
Φ
ω
ω
a
ω
11
Queremos resaltar además un hecho importante que ocurre en resonancia. Ya hemos visto que en este caso, la
amplitud de oscilación del electrón ligado alcanza el valor máximo. Vamos a ver que en este caso, la potencia
transferida PT por la onda al electrón en un periodo de oscilación es también máxima:
PT =
1
2T
r r 1
F
∫−T dr = 2T
T
T
∫ eE v dt = −
−T
PT =
2me
me
(
(ω
(eE 0 ) 2
2
0
−ω
) + (γω )
2 2
(eE0 ) 2 ω
)
( )
2
ω 02 − ω 2 + γω 2
2
1
2T
T
∫ ω sen(ωt − φ )dt
−T
sen φ
Se puede ver que la potencia transferida por la onda al electrón es máxima si φ=π/2, esto es en resonancia (ω=ω 0 ).
En este caso la onda pierde su energía conforme avanza dentro del material dado que el proceso de transferencia de
energía es muy eficiente. Ello explica, el fenómeno de la absorción resonante.
a
12
3.5.1 Esparcimiento Rayleigh.
La apariencia amarillenta del sol
durante el día es debida al
esparcimiento de las altas
frecuencias
de la radiación.
El fenómeno del esparcimiento aparece en medios muy diluidos, por
ejemplo en la atmósfera. Sobre las moléculas de oxígeno y nitrógeno,
entre otras, inciden las ondas electromagnéticas que envía el sol, de
diferente frecuencia, desde el violeta hasta el rojo. Cada molécula oscila
independientemente de las demás y reemite ondas electromagnéticas en
todas las frecuencias. Como no hay relación de fase entre unas
emisiones y otras, la intensidad será la suma de las intensidades. No
hay ningún tipo de interferencia. Por otra parte, en la atmósfera (O2,
H2,…) se esparcen fuertemente las radiaciones de longitud de onda
corta, violetas y azules. Después de atravesar la atmósfera, llegará
hasta nosotros, preferentemente las radiaciones del amarillo al rojo. Por
ello, al mirar en la dirección del sol, se ve de color amarillo y en otras
direcciones se ve azulado. Asimismo, al amanecer o atardecer se ve
rojiza la línea del horizonte. En este caso, la capa atmosférica que ha de
atravesar la luz del sol hasta nosotros es mucho mayor que durante el
mediodía, por lo que el azul ha sido esparcido antes de que llegue a
nosotros.
Vamos a tratar de explicar estos fenómenos con el modelo de Lorentz. En efecto, supongamos que las separación
entre los átomos (dij) es muy grande comparada con la longitud de onda de la radiación, es decir, λ<< dij, y por
simplicidad, cada átomo emite ondas con la misma amplitud
pero diferente fase, ϕ i. Puesto que hemos encontrado la
ecuación de evolución del electrón sometido a la acción del
campo externo de una onda, podemos calcular su aceleración y
por lo tanto, el campo radiado por el electrón. No hay más que
derivar dos veces la expresión anterior respecto del tiempo y
sustituirla en la expresión del campo radiado por una carga que
obtuvimos en el tema anterior. El resultado es inmediato. El
módulo del campo eléctrico radiado es
rQ
e2 Eoω 2 sen2θ
Edip
(r, t ) =
4πε o me c2 r
tanφ =
1
r
cos{ω(t − ) − φ }
c
(ωo2 − ω 2 ) 2 + (γω ) 2
γω
ωo2 − ω 2
Podemos ver que se trata de una onda esférica de la misma
a
13
frecuencia ω que el campo incidente y con una amplitud y fase que dependen esencialmente de la relación entre la
frecuencia del campo y la frecuencia natural del átomo.
La potencia radiada en todas las direcciones se puede obtener de la expresión calculada en el te ma anterior sin más
que sustituir allí z 0, que representaba el valor de la amplitud de un movimiento armónico simple, por la expresión que
hemos obtenido aquí resolviendo la ecuación de Newton para el electrón. El resultado es
 e 4 E0 j
r
Pj (R , t ') = 
 12 m 2πε 0 c 3


ωj4

 ω 2 − ω 2 2 + (γω )2
 0
j
j
(
)
Supongamos ahora que tenemos un medio material en el que las
separación entre los átomos es muy grande comparada con la longitud de
onda de la radiación, es decir, λ<<dij , y por simplicidad, cada átomo emite
ondas con la misma amplitud pero diferente fase, ϕ i. El campo total en una
dirección dada, será la suma de todos los campos emitidos por cada uno de
los átomos:
N
r
ri
r (? t + f )
i
EP =
Erad
=
E0i e
∑
∑
i =1
La irradiancia será proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda resultante, es decir
r (? t + f
I ∝ ∑ E 0i e
2
)
i
=
∑
r 2
r r
E 0i + ∑ E0i E 0j cos (f i − f
i≠ j
j
)
Al estar muy separados unos átomos de otros, las ondas emitidas no guardan ninguna relación entre sí, por lo que no
hay relación de fase constante entre las diferentes ondas radiadas,
cos(f i − f
j
)
=0
I ∝∑
⇒
ri 2
E0 = N Ii
y la potencia esparcida será igualmente la suma de de la potencia de cada uno de los átomos:


( ) ∑  e 2E0 j 3  2 2ω2
12 m πε 0 c  (ω − ω ) + (γω )2
j 
j
j
0
r
P R, t ' = N
4
4
donde la suma se extiende a todas las frecuencias que pueda contener la onda incidente. No ha ningún tipo de
interferencia ni constructiva ni destructiva, en ninguna dirección del espacio, es decir, se emite luz en todas las
direcciones y de ahí el nombre de esparcimiento. Además esta expresión justifica plenamente lo que ya hablamos más
arriba sobre el esparcimiento, a saber: la potencia esparcida es proporcional a ωι 4 , pero además, y esto es más
importante, aparece en el denominador la diferencia entre la frecuencia de la onda incidente y la frecuencia natural de
oscilación del electrón ω0
(ω
ω4
2
0
− ω 2j
) + (γω )
2
2
Puede observarse que si ω2 0 = ω2 , la potencia esparcida crece cons iderablemente para esa frecuencia.
a
14
Las moléculas de hidrógeno y oxígeno que constituyen la atmósfera, presentan frecuencias de resonancia (ω0 ) en el
ultravioleta, como hemos demostrado al principio de este tema. Por lo tanto, la expresión anterior confirma que las
frecuencias (ωι ) de la onda incidente más cercanas al ultravioleta son los violetas y azules. Por lo tanto se esparcirán
más que los rojos, es decir
ω A4
ω R4
>>
(ω02 − ω 2A )2 + (γω )2 (ω02 − ωR2 )2 + (γω )2
donde ωΑ y ωR indican las frecuencia del azul y el rojo respectivamente.
El esparcimiento Rayleigh se da en muchos sistemas físicos. Por ejemplo, las impurezas presentes en una fibra óptica
esparcen la radiación confinada por lo que aumentas las pérdidas de la señal óptica. La presencia de partículas en
suspensión en el agua hace que ésta pierda su transparencia y presente un aspecto turbio.
En general, cuando un medio material tiene impurezas o defectos que alteran el ordenamiento atómico o rompen la
simetría atómica o molecular, esparce luz en muchas direcciones, perdiendo su transparencia. Esto es lo que ocurre
cuando en el cristalino del ojo cuando aparece una catarata incipiente. En la figura se ve un corte histológico de un
cristalino sano. Los puntos negros son cotes de fibras de colágeno, y se puede ver que la distribución es más o menos
uniforme. Este cristalino no esparce luz sino que la refracta, produciendo en la retina una imagen muy contrastada.
Cristalino
Objeto
Imagen
en retina
Por el contrario, en la imagen inferior se muestra un cristalino con cataratas incipientes. Se nota por la aparición de
bolsas o zonas de endurecimiento del colágeno formando verdaderas balsas. Esto rompe la uniformidad que antes
había en los centros dispersores y que permitía cancelar toda la radiación en otras direcciones que no fuera en la de la
onda refractada. Cada balsa se convierte en un centro de esparcimiento que envía luz en todas las direcciones. En la
retina tendremos la imagen rodeada ahora de un fondo de luz esparcida por las cataratas. El contraste de la imagen
disminuye considerablemente y con ello la agudeza visual. Este efecto será más acentuado para las radiaciones
azules. Por ello, si colocamos una gafa que absorba las componentes azules de la luz incidente mejorará el contraste
en la retina.
Objeto
Cristalino
Centros
dispersores
a
Imagen
en retina
15
3.5.2 Reflexión y refracción
Las cosas cambian sustancialmente cuando el medio material sobre el que incide la onda electromagnética tiene alta
densidad y los átomos relativamente ordenados. En este caso, dependiendo de que la frecuencia de la onda incidente
ω esté cerca o alejada de la frecuencia de
resonancia
de
los
átomos
del
material, ω0 , la onda incidente será
refractada o absorbida. Para analizar
cualitativamente
estos
fenómenos,
pensemos en una situación muy ideal en la
que los átomos de un cierto sólido ocupan
los vértices de un cubo (esto ocurre en
sistemas que cristalizan en el sistema cúbico
como el cloruro sódico). Supongamos
además que la separación entre los átomos
es de λ/2. Tal como se indica en la figura,
sobre este sólido incide una onda
electromagnética polarizada en la dirección
horizontal. Esta onda pondrá a oscilar a los
electrones de cada átomo de la cara de
entrada, en la dirección horizontal y cada
uno de ellos emitirá una nueva onda e.m
dada por:
rQ
e2 E oω 2 sen2θ
E dip (r, t ) =
4πεome c 2 r
tanφ =
1
r
cos{ω (t − ) − φ}
c
(ω o2 − ω 2 ) 2 + (γω ) 2
γω
ω o2 − ω 2
Si ω<< ω0, tan φ? 0 y la onda radiada estará en fase con la onda incidente. Cuando está onda llega al siguiente
átomo de la celda, que está a λ/2, el campo que ve este segundo átomo está dirección horizontal pero ha cambiado de
sentido. Por ello, el segundo átomo emitirá un segundo campo en fase con el que le llega y ambos campos, el reemitido
con el que llega interferirán constructivamente. Por lo tanto,
los campos emitidos en la misma dirección de la onda
incidente se refuerzan, dando lugar a una onda refractada.
Veamos qué ocurre en la dirección vertical. En este caso,
todos los átomos de la primera cara reciben la onda incidente
en el mismo instante, por lo que, cada uno de ellos emite una
campo idéntico. Como los átomos están separados también
λ/2, las ondas emitidas hacia arriba o hacia abajo, interferirán
destructivamente, cancelándose la radiación en esa
dirección.
Nos queda ver que ocurre en la dirección perpendicular al
papel. En esta dirección no se emite radiación por ninguno de
los átomo s ya que, como se recordará, el dipolo atómico no
emite radiación en la dirección de vibración de la carga, que
a
16
en este caso coincide con la dirección de vibración del campo incidente.
En conclusión, sólo existe una onda en la dirección de la onda incidente. Esta onda se denomina onda refractada. La
radiación emitida hacia atrás es responsable de la onda reflejada. Debe quedar claro con este sencillo pero ilustrativo
ejemplo, que el resultado obtenido descansa en:
•
•
•
•
Fuerte empaquetamiento atómico, con distancias interatómicas menores que λ.
Orden en la distribución atómica.
Interferencia constructiva en la dirección de la onda incidente y destructiva en otras direcciones.
Propiedades de la emisión del dipolo atómico, que hace nula la emisión en la dirección de vibración de la onda
incidente.
Podemos estimar la densidad que tiene un medio como el que hemos descrito. En este sencillo ejemplo, la densidad
necesaria para que estos fenómenos tengan lugar, sería de 8 átomos o moléculas en un volumen del orden 4/3
π(λ/2) 3 . Para la longitud de onda del visible, λ= 0.5 µm, se tiene
ρ=
8
= 5x10 17 atomos / cm 3
3
4π (λ / 2)
Vemos pues, que con nuestro modelo elemental podemos explicar el origen de la onda refractada como resultado de la
interferencia destructiva en todas las direcciones menos en una, la de la onda refractada y la de la onda reflejada. En
ejemplo anterior, la incidencia era normal a la superficie y por lo tanto la onda refractada también emerge en la misma
dirección. Si la incidencia no es normal, la onda refractada emerge formando un ángulo con la normal dado por la ley
de Snell. Pero si incide luz blanca, la cual está constituida por radiaciones de diferente frecuencia, aparece un
fenómeno interesante y bien conocido que es el de la dispersión cromática: la luz refractada se compone de diferentes
ondas refractadas, cada una de un color, las cuales se desvían un ángulo ligeramente diferente. La óptica geométrica
acomoda este hecho indicando que el material presenta un índice de refracción diferente para cada color, esto es, el
índice de refracción depende de la frecuencia del haz incidente: n = n( ω ), o lo que es lo mismo, n = n( λ ).
En los vidrios ópticos, o en los líquidos transparentes al visible, el índice de refracción en la zona de transparencia del
material, disminuye con la frecuencia de la radiación incidente. En la figura se muestra la evolución típica del índice de
refracción del agua con la longitud de onda de la luz incidente. Vemos que el índice de refracción para el violeta es
a
17
mayor que para el rojo. Una expresión aproximada del comportamiento mostrado y que va bien para los vidrios ópticos
en la zona de transparencia, es la ley empírica debida a Cauchy
n (λ ) = A +
B
λ2
donde A y B son constantes que dependen del tipo de material.
A la luz de todo ello podemos analizar ahora por qué muchas estructuras son transparentes a cierta radiación. Por
ejemplo, un caso de interés para nosotros lo representa la estructura de la córnea. En efecto, una cornea normal es
transparente al visible, y gracias a ello podemos ver. Sin embargo si se produce un edema o inflamación de la córnea,
su transparencia se ve seriamente comprometida. La razón de todo ello se basa, por un lado en las frecuencias de
resonancia de las moléculas que constituyen el tejido del estroma corneal y por otro, en la distribución espacial de
estas. En la fotografía de la izquierda, tomada con un microscopio electrónico, se muestra la imagen de un corte
histológico de una córnea sana. Está constituida, en su mayor parte, por una ubicua proteína, el colágeno , que forma
fibrilas del mismo tamaño, de unos 31 nm de diámetro y que están regularmente espaciadas unas de otras una
distancia reaproximadamente unos 62 nm.
31 nm
62 nm
Cada fibrilla esparce luz en todas las direcciones pero, debido al elevado empaquetamiento, con distancias diez veces
más pequeñas que la longitud de onda del visible, se produce interferencia destructiva en todas las direcciones excepto
en la de la dirección de la onda incidente. Sin embargo, si se ha producido un edema corneal, entonces se introduce
desorden en la distribución de las fibras, tal como aparece en la microg rafía de más abajo. En efecto, se ha
extravasado líquido y se han formado lagos microscópicos distribuidos de forma aleatoria. Ahora ya no se puede
cancelar la radiación emitida por cada fibrilla con la luz esparcida por las demás debido a la aparición de desorden. El
resultado es que se esparce luz en todas las direcciones. Con ello, disminuye notablemente la transparencia. Se puede
observar como se esparce la luz azul de una lámpara de hendidura que ilumina una córnea que ha sufrido un edema.
a
18
Podemos ahora preguntarnos por el origen físico de la dependencia de la velocidad de propagación con la frecuencia
de la radiación incidente. El modelo que hemos desarrollado al principio nos puede dar alguna razón de ello . En efecto,
como se recordará, los átomos de cada medio material se caracterizan por tener una frecuencia natural de oscilación.
Cuando incide sobre el una onda electromagnética de frecuencia ω, la onda reemitida por el átomo es de la misma
frecuencia, pero la amplitud y la fase de esta onda dependerá de la relación entre la frecuencia de la radiación y la
frecuencia natural. Por lo tanto, si sobre el átomo inciden a la vez radiaciones con diferente frecuencia o longitud de
onda, la fase de la cada onda reemitida será diferente y al superponerse con las demás ondas emitidas por los demás
átomos dará una onda resultante de fase y amplitud diferente para cada color. Si la fase resultante para el color rojo es
diferente que la fase resultante para el azul, ello quiere decir, que una onda se habrá retrasado respecto de otra. Esto
es, se habrá propagado dentro del material a diferente velocidad.
Vamos a ver como el modelo de Lorentz nos permite explicar esta dependencia del índice de refracción con la
frecuencia de la onda incidente sobre un material. En efecto, el índice de refracción de un medio material se define
como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el medio material:
c
v
n=
La velocidad de la luz en el vacío es
c=
1
µ 0ε 0
mientras que en un medio material cuya vale
1
µ0ε
v=
Por lo tanto, el índice de refracción vale
n=
µ0ε
ε
=
µ0ε 0
ε0
c
=
v
Por otra parte, sabemos que la polarización inducida en un medio material depende linealmente del campo aplicado a
través de
P = (ε − ε 0 ) E
Hemos obtenido anteriormente el desplazamiento inducido por el campo sobre un átomo:
z (t ) =
eE0
ei ωt
me ω − ω 2 + iγω
(
)
2
0
con lo que la polarización media inducida por la onda incidente será
N e 2E0
P = N e z (t ) =
e iωt = (ε − ε 0 ) E
2
2
me ω 0 − ω + iγω
(
)
Comparando las dos expresiones para P, se puede obtener inmediatamente la permitividad de medio material:
N e2
ε = ε0 +
me ω 02 − ω 2 + iγω
(
)
Y teniendo en cuenta la definición del índice de refracción, se llega a
a
19
 N e2
n = 1+ 
 ε 0 me

2

1

= nR − i nI
 ω 2 − ω 2 + iγω
 0
(
)
Acabamos de obtener una expresión para el índice de refracción en función de parámetros físicos del medio material.
En particular, depende de la densidad N, y de la relación entre la frecuencia de la onda incidente y la frecuencia de
resonancia del material, lo que explica el fenómeno de la dispersión. La expresión obtenida es compleja y enseguida
veremos el significado físico de la parte real e imaginaria del índice de refracción complejo. Antes de ello, hemos
representado en la figura las partes real e imaginaria en función de la frecuencia de la onda incidente:
x5- 10
10
8
χ ' '(1)
nI
n R (ω ) ≅ 1 +
6
4
nχR'
(1 )
2
nI (ω )≅
(ω 02 − ω 2 )
Ne 2
2ε 0m (ω 2 − ω 2 ) 2 + γ 2ω 2
0
Ne 2
γω
2
2
2ε 0m (ω − ω ) 2 + γ 2ω 2
0
1
2
-4
3
3.5
44.5
5
15
ω(s1
x 10
)
Se puede observar que la parte imaginaria sólo toma valores apreciable cerca de la frecuencia de resonancia ω . Para
0
valores alejados de la frecuencia de resonancia, la parte real crece con la frecuencia. En el caso considerado, la
frecuencia de resonancia se ha escogido en el ultravioleta, por lo que el espectro visible queda a la izquierda. La parte
real del índice de refracción es mayor para el azul que para el rojo.
Veamos ahora algunas consecuencias para la propagación de la onda. Supongamos ahora que sobre el medio
material cuyo índice de refracción conocemos, incide una onda tal como se muestra en la figura de más abajo.
r
iω t − ky
E I = E o ⋅ e 
⋅ kˆ
n(ω ) = nR (ω ) − i ⋅ nI (ω )
La onda dentro del medio, (si despreciamos pérdidas por reflexión), se obtendrá sin más que cambiar el vector de
propagación de la onda en el vacío k, por kn’, es decir
r
i ω t − k (nR − inI ) y  ˆ
E M ≅ E o ⋅ e 
⋅k
o bien
r
i ω t − k ( nR − in I ) y  ˆ
E M = Eo ⋅ e
⋅k
a
r
−  kn y  i ω t − knR y 
E M = E o e  I  ⋅ e 
⋅ kˆ
20
El significado es claro: dentro del medio material, la onda se propaga a la velocidad de fase que depende de la parte
real del índice de refracción,
vf =
ω
c
=
kn R nR
mientras que su amplitud va disminuyendo exponencialmente a medida que se propaga en el medio a un ritmo que
depende de la parte compleja del índice de refracción. Después de recorrer una distancia y, la irradiancia de la onda
valdrá:
IM = I oe
donde
−  2knI y 
≡ Io e
− αy
Ne 2
γω
α = 2knI ≡ k
2
ε 0 m (ω 0 − ω 2 ) + γ 2ω 2
representa la constante de absorción del material.
Si ω<< ω0, α? 0 y la amplitud de la onda transmitida apenas cambia, por lo decimos que el material es
transparente para esas frecuencias. Además, el índice crece con la frecuencia, lo que explica la dispersión cromática
normal observada en los vidrios ópticos.
-
x5 10
10
8
χ ' '(1)
nI
6
4
nχ 'R
(1)
2
0
-4
ω
3
3.5
Podemos también justificar
4
ω
0
1
4.5
5
15
x 10
Además, en este rango de frecuencias, la expresión de la parte real del índice se puede aproximar a
(ω 02 − ω 2 )
Ne 2
Ne 2
1
n R (ω ) ≅ 1 +
≈ 1+
2ε 0 m (ω 2 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2
2ε 0 m (ω 2 − ω 2 )
0
0
a
21
o bien
n R (ω ) ≅ 1 +
Ne 2
2ε 0 m
1
ω 02 (1 −
ω2
ω 02
≅ 1+
)
Ne 2
2ε 0 mω 02
(1 +
ω2
ω 02
) = 1+
Ne 2
2ε 0 mω 02
+
4π 2 c 2 Ne 2 1
2ε 0 mω 04 λ 2
que justifica la ley empírica de Cauchy para vidrios ópticos en el visible. A continuación se dan los índices de
refracción en el amarillo y el rojo así como la dispersión cromática, para vidrios ópticos típicos.
Tipo de vidrio
nd
nF-nC
nC
BK1
BK7
SK4
F2
F4
SF6
1.51009
1.51680
1.61272
1.62004
1.61659
1.80518
0.008038
0.008054
0.010451
0.017050
0.016834
0.031660
1.50763
1.51432
1.60954
1.61503
1.61164
1.79609
Si por el contrario, ω˜ ω0 , la constante de absorción toma valores elevados y la onda se amortigua a su paso a través
del medio. Así pues, la parte real del índice complejo de refracción está asociado a la refracción de la onda, mientras
que la parte imaginaria da cuenta de la absorción de la onda por parte del medio material. Analizaremos la absorción
en la siguiente sección.
a
22
3.5.3 Absorción.
Cuando la frecuencia de la onda electromagnética que incide en un material, coincide o es próxima a la frecuencia de
resonancia de los átomos o moléculas del material, la onda es fuertemente absorbida ya que la transferencia de
energía de la onda al electrón ligado es muy
efectiva. Basta entonces que la onda penetre
en el material unas cuantas longitudes de
onda para que la onda vaya debilitándose
hasta extinguirse. En la figura, un haz de luz
blanca pasa a través de un reservorio que
contiene un cierto gas. La luz transmitida se
hace pasar a través de un prisma. En el
espectro transmitido se observan la
desaparición de ciertas frecuencias (líneas
negras). Ello prueba que las radiaciones de
estas frecuencias han sido absorbidas por el
material. Nuestro modelo permite entender
cualitativamente este proceso. Para ello
debemos considerar que además de la fuerza elástica entre el electrón ligado y el núcleo, existen fuerzas entre los
iones atómicos. Estas fuerzas las podemos representar por osciladores elásticos pero con una constante recuperadora
mucho menor que la de la fuerza que liga al electrón con el núcleo. Esto quiere decir que estos muelles iónicos tendrán
frecuencias de resonancia mucho más bajas ( en el infrarrojo o en la región de microondas) que las resonancias
electrónicas, típicamente en el visible y
ultravioleta. Por ello, cuando incide una
onda electromagnética con frecuencia
cercana a la resonancia electrónica, los
muelles iónicos no se excitarán de
forma resonante pero si lo harán los
dipolos electrónicos, y además lo harán
con amplitud máxima y desfasado unos
de otros. Por ello cabe esperar que
esas grandes oscilaciones electrónicas
transfieran parte de la energía a los
muelles iónicos que se pondrán a
oscilar. Es decir, la energía de la onda
incidente se transferirá a la red del
medio material en forma de vibraciones
de baja frecuencia. La energía
electromagnética se habrá convertido
irreversiblemente en energía cinética de
los iones vibrando en torno a su
posición de equilibrio. Se dice entonces,
que la onda ha sido absorbida.
a
23
r
iω t − ky
E I = E o ⋅ e 
⋅ kˆ
n(ω ) = nR (ω ) − i ⋅ nI (ω )
La onda dentro del medio, (si despreciamos pérdidas por reflexión), se obtendrá sin más que cambiar el vector de
propagación de la onda en el vacío k, por kn’, es decir
r
i ω t − k (nR − inI ) y  ˆ
E M ≅ E o ⋅ e 
⋅k
o bien
r
−  knI y  i ω t − knR y  ˆ
EM = Eoe
⋅e
⋅k
El significado es claro: dentro del medio material, la onda se propaga a la velocidad de fase que depende de la parte
real del índice de refracción,
ω
c
vf =
kn R
=
nR
mientras que su amplitud va disminuyendo exponencialmente a medida que se propaga en el medio a un ritmo que
depende de la parte compleja del índice de refracción. Después de recorrer una distancia y, la irradiancia de la onda
valdrá:
IM = I oe
donde
−  2knI y 
≡ Io e
− αy
Ne2
γω
α = 2knI ≡ k
ε 0 m (ω 02 − ω 2 ) + γ 2ω 2
representa la constante de absorción del material.
En la figura de la izquierda se muestra el espectro de transmisión de los dife rentes medios oculares. Obsérvese cómo
el cristalino absorbe el ultravioleta por encima debajo de 350 nm. En el visible todos los medios presentan una alta
transmitancia. Por otra parte, en la figura de la derecha se muestra la absorbancia de diferentes pigmentos de la retina.
La oxihemoglobina absorbe gran parte de la radiación azul, por lo que se suele utilizar un láser de Argón que emite en
476 nm para cauterizar vasos sanguíneos. También un láser de Krypton que emite en el amarillo, en 568 nm es muy
absorbido por la oxihemoglobina y la melanina.
Ar
a
Kr
24
En la fotografía se muestra la acción de un láser de Ar
sobre los vasos sanguíneos de una retina. Se pueden
observar los impactos del laser y la cauterización de
vasos.
Abajo se muestra la transmitancia de lentes tintadas.
a
25
3.6 Interacción con medios conductores.
El modelo de Lorenzt también permite explicar algunas de las propiedades más generales de la interacción de una
onda con un medio conductor. Una de las características más relevante de los medios conductores es la presencia de
cargas libres que pueden moverse en el conductor largas distancias. Por ello, estos materiales, como el cobre, el
aluminio, la plata, el oro, entre otros, pueden conducir la corriente eléctrica. Podemos entonces imaginar que en un
conductor, al contrario de lo que sucede en los medios dieléctricos, los electrones susceptibles de moverse libremente
no están sometidos a fuerza restauradora alguna, es decir, la frecuencia de resonancia ω0 es nula. En este caso, el
índice de refracción se podrá poner como
nR (ω ) =1 −
Ne2
ω2
Ne2 1
≅
1
−
2ε 0 m ω 4 + γ 2ω 2
2ε 0 m ω 2
Ya que para frecuencias ópticas γ<<ω.
Pero además de los electrones libres, los metales tienen electrones ligados en las capas electrónicas internas, por lo
que también contribuirán al índice de refracción:
(ω02 j − ω 2 )
Ne 2
Ne 2
ω2
n R (ω ) = 1 + ∑
+
2
2 2
2 2
2
ε
m
2ε 0 m ω 4 + γ 2 ω 2
(
ω
−
ω
)
+
γ
ω
j
0
0j
El segundo sumando representa la contribución de los electrones ligados y es similar a la expresión que obtuvimos
para los medios dieléctricos, mientras que el tercer sumando representa la contribución de los electrones libres. Así los
metales que tienen color particular, se debe a que los electrones ligados absorben selectivamente una parte del
espectro visible.
Sin embargo, una de sus propiedades ópticas más relevante, como su alta reflectancia a ciertas longitudes de onda se
puede explicar quedándonos con la contribución de los electrones libres. En efecto, si
ωp
Ne2
ω2
n R (ω ) =1 −
≅ 1− 2
4
2 2
ε0m ω + γ ω
ω
2
2
donde la cantidad
ωp =
Ne 2
ε 0m
tiene dimensiones de frecuencia y se denomina frecuencia de plasma del medio conductor. Se puede observar que si
la frecuencia de la onda electromagnética incidente sobre un medio conductor el mayor que la frecuencia de plasma, el
índice de refracción es positivo y la onda se puede propagar a través del medio. Pero si
ω ≤ ω0
n
2
R
(ω ) =1 −
ω p2
ω2
≤0
es decir, el índice de refracción es imaginario puro y la onda no se puede propagar dentro del material. La frecuencia
de plasma representa un valor crítico tal que las ondas que tengan una frecuencia inferior serán fuertemente reflejadas
por el material. Por ejemplo, en metales típicos, la densidad electrónica es del orden de N= 2.5x10 28 átomos/m3, l lo
a
26
que da lugar a una frecuencia de plasma del orden de ωp= 8.9x1015 radianes/s 0 bien υp= 1.42x1015 Hz. Esta
frecuencia de plasma correspondería a la longitud de onda de una radiación electromagnética de λ p= 212 nm. Por
lo que es de esperar que los metales refleje n muy eficientemente el visible e infrarrojo. En la gráfica adjunta se
muestra la reflectancia de películas de oro, y la plata. Se puede observar cómo el oro transmite la región verde del
espectro visible mientras que la plata y el aluminio presentan una reflectancia casi unidad en el visible e infrarrojo.
La ionosfera de la tierra es una capa situada a altitudes por encima de 70 km y está formada de plasma ionizado, esto
es partículas cargadas (iones, electrones…). Su densidad varía según
si el sol está iluminando o no una determinada zona de ella, ya que el
número de ionizaciones, debido a la radiación ultravioleta del sol,
fundamentalmente, cambiará. En general, su densidad media es del
orden de N = 1011 átomos/m3, lo que da una frecuencia de plasma del
orden de ωp= 1.78x107 radianes/s o bien υp= 2.84x10 6 Hz. Así, las
ondas electromagnéticas con frecuencias por debajo e 3 MHz, serán
reflejad as por la ionosfera y se podrán usar para comunicar dos
puntos de la tierra.
a
27
3.7 Ecuaciones de Fresnel.
En esta sección vamos a analizar qué sucede cuando una onda electromagnética incide en la superficie de separación
de dos medios materiales, dieléctricos e isótropos. Cada uno de los medios está caracterizado por su índice de
refracción y consideraremos que la frecuencia de la onda incidente está muy alejada de la frecuencia de resonancia de
los átomos o moléculas del material. Por lo tanto éste es transparente y podemos despreciar la absorción. Estamos
interesados en saber qué porcentaje de la irradiancia incidente se refleja y cuál es el porcentaje que se transmite. La
situación física se muestra en la figura.
ni
Plano de incidencia
Los vectores de propagación de la onda incidente,
reflejada y transmitida son ki kr, y kt , respectivamente,
y forman ángulos θi, θr y θt, con la normal a la superficie,
m.
Estos ángulos satisfacen las leyes de la reflexión y de la
refracción:
θi = θr
ni senθ i = nt senθ t
Estas leyes establecen las direcciones de los vectores de
propagación de las ondas reflejada y refractada,
respectivamente.
nt
El plano que contiene a la normal a la superficie en el
punto de incidencia y al vector ki , se denomina plano de
incidencia.
Por otra parte, cada onda lleva asociado un campo
eléctrico que será perpendicular a la dirección de
propagación. En lo que sigue descompondremos el
vector eléctrico de la onda correspondiente en dos componentes perpendiculares entre sí, una paralela al plano de
incidencia y otra perpendicular. De esta forma, si el vector eléctrico incidente EI forma un ángulo α con el plano de
incidencia, se podrá poner
i
E p = Ei cos α
Esi = Ei senα
donde p y s se refieren a la componente paralela al plano de incidencia y la
respectivamente.
a
componente perpendicular,
28
Las fórmulas de Fresnel establecen la relación entre las componentes paralela y perpendicular de los haces reflejado y
transmitido con las componentes respectivas de haz incidente. Comenzaremos por definir los coeficientes de reflexión
paralelo y perpendicular:
r
p
rs

= 



= 

E
E
E







r
p
i
p
E
r
s
i
s
Las fórmulas de Fresnel relacionan además estos coeficientes con los ángulos de incidencia y refracción y lo s índices
de los medios. En particular, los coeficientes de reflexión están dados por:
1
 E sr
rs =  i
 Es
 ni ⋅ cosθ i − nt ⋅ cosθ t
 =
 ni ⋅ cosθ i + nt ⋅ cosθ t
 E rp
rp =  i
E
 p
 nt ⋅ cosθ i − ni ⋅ cosθ t
=
 n ⋅ cosθ + n ⋅ cosθ
i
t
t
i

0.5
0
r
-0.5
r
-1
En la figura se representa la variación de los
π
0
π/4 θp
coeficientes de reflexión respecto del ángulo de
incidencia para un caso de incidencia del vacío a un
vidrio de índice nt = 1.5. Como puede verse, el coeficiente de reflexión perpendicular es siempre negativo, lo que
indica que la componente perpendicular del campo en el haz reflejado tiene sentido opuesto a la componente
perpendicular del haz incidente, o lo que es lo mismo, ha experimentado un cambio de fase de π. Por otra parte, existe
un ángulo de incidencia θp, para el cual, el coeficiente de reflexión paralelo se anula, como puede verse en la figura. En
este caso, el campo reflejado carece de componente paralela, es decir está polarizado perpendicularmente al plano de
incidencia. Podemos calcular ese ángulo, denominado ángulo de Brewster, a partir de la expresión de rp
rp = 0
⇒ nt ⋅ cos θ i − ni ⋅ cosθ t = 0
Como además se tienen que cumplir la ley de la refracción
ni ⋅ senθ i = nt ⋅ senθ t
tan θ B =
nt
ni
De las dos ecuaciones se llega a que
a
29
E ||
ni
E⊥
Vid
ri
i
i
Para el caso de la figura
ki
o (n
t
θi
)
θr
E ||r
tan θ B =
kr
E⊥
r
plano de
incidencia
1.5
⇒ θ B = 56,60
1
El campo reflejado
tiene componente
perpendicular al plano de incidencia, y por lo
tanto la onda reflejada está totalmente
polarizada.
En la figura de abajo se muestra cómo se ve la luz reflejada por una superficie de agua si el observador mira a través
de un polarizador que, como veremos más adelante, elimina la componente del campo que vibra en una cierta
dirección. Como la luz reflejada en ángulo de Brewster está totalmente polarizada, esta luz se podrá eliminar si
colocamos el polarizador de tal manera que su eje de transmisión sea perpendicular a la dirección de vibración. De esta
manera se eliminan los reflejos y se aumenta el contraste.
a
30
De igual modo se definen los coeficientes de transmisión paralelo y perpendicular :
t
t
p
s
 E
= 
 E
 E
= 
 E




t
p
i
p
t
s
i
s



1
E st
2 n i ⋅ cos θ i
ts = i =
E s n i ⋅ cos θ i + nt ⋅ cos θ t
t
0.8
0.6
2n i ⋅ cosθ i
tp = i =
E p n i ⋅ cosθ t + n t ⋅ cosθ i
E tp
t
0.4
0.2
0
0
π/4
π
Ejemplo. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión en incidencia normal desde el vacío a un medio
de índice n = 1.5.
En este caso θι = θτ = 0. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuaciones, se llega fácilmente a
 E sr
rs =  i
 Es
 ni ⋅ cosθ i − nt ⋅ cosθ t ni − nt 1 − 1.5
=
 n ⋅ cosθ + n ⋅ cosθ = n + n = 1 + 1.5 = −0.2
i
t
t
i
t
 i
 E rp
rp =  i
E
 p
 nt ⋅ cosθ i − ni ⋅ cosθ t nt − ni 1.5 − 1
=
=
=
= 0 .2
 ni ⋅ cosθ t + nt ⋅ cosθ i ni + nt 1.5 + 1

E tp
2n i
tp = i =
= 0.96
E p ni + nt
a
E st
2ni
ts = i =
= 0.96
E s ni + nt
31
3.7.1. Reflectancia y transmitancia.
Los coeficientes de Fresnel nos permiten obtener una magnitud de mayor interés desde un punto de vista práctico,
como es conocer el porcentaje de irradiancia que se refleja o se transmite cuando un haz incide sobre un medio
dieléctrico. En efecto, supongamos la situación de la figura en la que un haz de irradiancia Ii y sección transversal Ai ,
incide sobre la superficie de separación de dos medios materiales:
Si no hay absorción, la potencia incidente del haz
se reparte entre el haz reflejado y el haz
transmitido:
Ai
Pi = Pr + Pt
En términos de las irradiancias de cada haz,
I i Ai = I r Ar + I t At
Como
A
Ai = Ar
At cosθ t
=
Ai cosθ i
Si dividimos la igualdad entre Ii Ai , se obtiene
1=
I r I t At I r I t cos θt
+
= +
I i Ii Ai I i Ii cos θi
Definimos la Reflectancia (R) y la transmitancia (T) del haz como el cociente entre la irradiancia del haz reflejado y del
haz transmitido respecto de la irradiancia del haz incidente en la dirección normal a la superficie de separación:
respectivamente
R=
Ir
Ii
T=
I t cos θ t
I i cos θ i
y, evidentemente, se cumple que R+T=1.
a
32
Estas cantidades son de sumo interés y en lo que sigue, vamos a obtenerlas en función de los coeficientes de
Fresnel, con lo que podremos calcularlas a partir de los índices de los medios y los ángulos de incidencia y refracción.
2
2
r
E rp + Esr
I r c ε 0 E0
R= =
=
i 2
I i c ε Ei 2
E
0
0
0
2
=
E rp
E
2
i 2
p
cos 2 α +
E sr
E
2
i 2
s
sen 2α
Es decir,
R = rp2 cos 2 α + rs2 sen 2α
En la figura se muestra la Reflectancia en función del ángulo de incidencia sobre el material. Puede verse claramente
como la Reflectancia aumenta a medida que lo hace el ángulo de incidencia.
1
0.8
0.6
R
0.4
0.2
0
a
R
0
π/4 θp
π
33
Por otro lado, la transmitancia podrá ponerse como
2
2
r
t
t
I t cosθt c ε 0 nt E0 cosθ t nt cosθt E p + E s
T=
=
=
2
I i cosθi c ε 0 ni E 0i 2 cosθi ni cosθi
E0i
T=
2
n cosθ t
= t
ni cosθ i
nt cos θ t 2
t p cos 2 α + t s2 sen 2α
n i cos θ i
[
2
t
 Et 2

E
p
s
2
2 

cos α +
sen α
2
i
 Ei 2

E
s
 p

]
1
T
0.8
T
0.6
0.4
0.2
0
a
0
π/4
π
34
Ejemplo. Estimar la transmitancia, en incidencia normal de una lente oftálmica de índice de refracción n = 1.5.
En el ejemplo anterior obtuvimos los coeficientes de transmisión de aire a vidrio
A
B
t As =
2n i ⋅ cosθ i
2
=
= 0.96 = t A p
ni ⋅ cos θ i + n t ⋅ cosθ t 1 + n
t Bs =
2ni ⋅ cosθ i
2n
=
= 1.2 = t B p
ni ⋅ cosθ i + nt ⋅ cosθ t n + 1
La transmitancia en la primera cara será
[
]
A 2
A 2
nt cosθ t 2
n  (t p ) + (ts ) 
2
2
2
T1 =
t p cos α + t s sen α = 

ni cosθ i
1 
2

La transmitancia en la segunda cara (ahora la luz pasa del vidrio al aire)
[
]
B 2
B 2
nt cosθ t 2
1  (t p ) + (t s ) 
2
2
2
T2 =
t p cos α + t s sen α = 

ni cosθ i
n 
2

La transmitancia total será el producto de las transmitancias:
 (t pA ) 2 + (t sA ) 2   (t Bp ) 2 + (t sB ) 2   2  2  2 n  2
T = T1T2 = 
 
 = 0.92

=
2
2

 
  1 + n   1 + n 
Se transmite el 92 por ciento de la irradiancia incidente.
a
35
a
36
APENDICE 3.1 Deducción de las ecuaciones de Fresnel.
a
37
a
38
a
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