Miembros de una Ecuación
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UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA
ECUACIONES
Es una igualdad en la que hay una o mas cantidades literales
desconocidas llamadas incógnitas.
Y si esta “restando, pasa a sumar”
Ejemplo:
4x-5 =3x+13
4x-3x = 13+5
x = 18
Ejemplos:
a) 12 + x = 20
c) 4x + 3y + 2z = 12
b) 3x + 5y = 6
d) x3 + 2y2 = 18
Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas:
x ; y ; z ; w ; etc.
El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el
mayor exponente de dicha incógnita.
Ejemplos:
Ecuación
Incógnita
Grado de la Ecuación
7x-6 = 5x+4
x
1er. Grado
5y2+2y
y
2do. Grado
z
3er. Grado
= 10
2z3-4z2+6z + 6
Miembros de una Ecuación
Como toda ecuación es una igualdad de dos expresiones,
comúnmente se llama primer miembro de la ecuación a lo que está a
la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo que está a la
derecha, cada miembro de la ecuación puede constar de uno o más
términos.
REGLA 2
Si un elemento esta “multiplicando”, entonces se despeja pasando a
dividir
Y si esta dividiendo, pasa a multiplicar.
Ejemplo:
Ejemplo:
3x 27
x
5
3
27
x
x 5(3)
3
x 15
x9
COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO
Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:
1. Suprimimos signos de colección o agrupación.
2. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada
miembro.
Hacemos
3. transposición de términos, escribiendo los que son
independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el
otro miembro de la ecuación.
4. Volvemos a reducir términos semejantes.
5. Despejamos la incógnita.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2)
El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad
se llama resolución de la ecuación.
TRANSPOSICION DE TERMINOS
REGLA 1
Podemos trasladar un término de un miembro al otro, con solo
cambiar el signo de sus coeficientes.
Es decir:
si un elemento esta “sumando” pasa a restar’
Ing. Fernando Escudero Vilchez
Solución:
PASO 1.- Suprimimos signos de colección:
7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2
PASO 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro:
5x+6 = –2x-1
PASO 3.- Por transposición de términos:
5x + 2x = –6 –1
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Ecuaciones cuadráticas.
PASO 4.- Volvemos a reducir términos semejantes
En cada miembro:
7x = –7
PASO 5.- Despejamos “x”
x = –7/7
Ax2 Bx C 0
Respuesta: x = –1
Forma General:
EJERCICIOS
01.- Resolver: 2x – 4 = 5 – x
a) 1
b) 2
c) 3
d) –1
e) –2
Ax² : Término cuadrático
Bx : Término lineal
C : Término independiente
02.- Resolver: 4x – 4 = x – 16
a) –1
b) –2
c) –4
d) –3
e) –7
Una ecuación de 2do grado o cuadrática, tiene dos raíces a las que
se le asigna los símbolos: x1 y x2
02.- La suma de dos números pares consecutivos es 50.
¿Cuáles son los números?
a) 24 y 26
b) 20 y 25
c) 18 y 16
d) 24 y 25
e) 18 y 10
De modo que el conjunto solución C.S. se escribe así:
C.S.= { x1 , x2 }
03.- El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso
de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número?
a) 76
b) 120 c) 38
d) 82
e) 96
Resolver: 6x² + 12x = 0
Factorizando: x(6x+12) = 0
Ejemplo:
04.- Hallar un número cuyo doble, aumentando en 18 da el exceso
de su triple sobre 20.
a) 38
b) 42
c) 96
d)108
e) 100
Cada factor se iguala a cero.
x=0
6x+12 = 0
x = -2
C.S. { 0 ; -2 }
05.- Dos veces el producto de la edad de Nátaly aumentando en 2, con
su edad disminuida en 3, es igual a 28. Hallar dicha edad.
a) 8 años b) 5 años
c) 6 años
d) 7 años
e) 9 años
ECUACIONES COMPLETAS
06.- Hallar “2a” :
a) 1
b) 2
07.- Resolver:
a) 14
POR FACTORIZACION
Para esto se factoriza el trinomio generalmente por Aspa Simple,
quedando dos factores.Los cuales igualamos a cero cada uno,
resultando dos ecuaciones de primer grado que resueltas nos
permiten obtener las dos raíces de la ecuación cuadrática inicial.
7a 1 3(a 1) 2(a 1)
10
10
5
c) 3
d) 4
e) 5
Ejemplo: Resolver: 2x² + 5x + 2
m 2m
m
9
2
4
b) 13
Ing. Fernando Escudero Vilchez
c) 12
d) 16
( 2x + 1 )( x + 2 ) = 0
e) 6
Igualando:
2x +1 = 0
x = - 1/2
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Igualando:
x+2 =0
x = -2
C.S. { -1/2 ; -2 }
POR FORMULA GENERAL
Dada la ecuación:
a) 250 km/h
Ax² + Bx + C = 0
Los dos valores de “x” se hallan directamente con la siguiente
formula:
x
B B2 4 AC
2A
Ejemplo: Resolver : x² - 5x + 4 = 0
Identificamos: A = 1 ; B = -5 ; C = 4
Reemplazando:
(5) (5)2 4(1)(4)
x=
2(1)
Operando:
x=
5 25 16
2
X1 = 4
X2 = 1
C.S. = { 4 ; 1 }
EJERCICIOS
01.- Resolver: x2 + 5x - 6 = 0 é indicar su menor raíz:
a) 1 b) -6
c) 3
d) -2
e) -3
02.- Luego de resolver: x2 + 3x = 28 indicar su mayor raíz:
a) 4 b) 7
c) -7
d) -4
e) 3
c) 1
d) 2
Ing. Fernando Escudero Vilchez
c) 200
d) 150
e) 100
05.- Dos números están entre si como 6 es a 4; si se disminuye a
cada uno de ellos en 3, la relación de ellos es de 4 a 2 ¿Qué número
son siendo la diferencia de ellos 3?
a) 3 y 2
b) 9 y 6
c) 8 y 5
d) 5 y 2
e)12 y 9
06.- Dividir 80 en dos números tales que dividiendo la mayor entre la
menor el cociente sea 5 y el residuo 8. Hallar el mayor.
b) 48
c) 56
d) 68
e) 86
07.- En un corral hay aves y conejos: contando las patas son 80 en
total y contando las cabezas son 35. ¿Según esto cuántos conejos
hay en el corral?
a) 20
b) 30
c) 5
d) 8
e) 23
08.- La edad que tenía hace 7 años es a la que tendré dentro de 7
años como 2/3 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de 14 años?
a) 21años b) 25años c) 22años
d) 32años
e) 35años
09.- Un número es tal que el doble de la suma de su quinta
parte, más su tercera parte, más su duplo equivale a 15
200. Entonces dicho número vale:
03.- Luego de resolver la ecuación:
5x - 2x2 = 2
Calcular el producto de sus raíces:
b) 5/2
b) 300
04.- Varios profesores de álgebra alquilaron un coche en S/.24 para
realizar una excursión, a pagar en partes iguales. Pero, faltaron
dos del turno de la tarde y tuvieron que pagar un nuevo sol más
cada uno de los que asistieron. ¿Cuántos profesores hicieron la
excursión?
a) 6
b) 5
c) 4
d) 7
e) 8
a) 12
Simplificando:
a) 3/2
03.- Un avión recorrió 1000km a velocidad uniforme. Si hubiera ido a
50 km/h más a prisa hubiera empleado una hora menos en el
viaje. Encontrar la velocidad del avión.
e) -2
a) 6000 b) 12000 c) 18000 d) 24000
e) 3000