EJEMPLO 1: Campo magnético debido a un segmento de alambre

EJEMPLO 1: Campo magnético debido a un segmento de alambre
Calcule el campo magnético en el punto O para el segmento de alambre que se muestra en
la figura. El alambre se compone de dos partes rectas y de un arco circular de radio R, el
cual subtiende un ángulo .
Razonamiento Primero observe que el campo magnético en O debido a que los segmentos
rectos AA' y CC' es idéntico a cero, debido a que ds es paralelo a r a lo largo de estas
trayectorias por lo que ds  r = 0.
Note que cada elemento a lo largo de la trayectoria AC está a la misma distancia R de O, y
cada uno brinda una contribución dB, la cual se dirige hacia dentro del papel en O.
Además, en cada punto de la trayectoria AC, ds es perpendicular a r, por lo que ds r=
ds.
Solución Con esta información obtenemos el campo en O debido al segmento ds.
dB = o I / 4 ds/ R²
Puesto que I y R son constantes, podemos integrar fácilmente esta expresión:
B = o I / 4R²  ds= (o I / 4R² )(s) = (o I / 4R)()
donde hemos aprovechado el hecho de que s = R, donde  se mide en radianes. La
dirección de B es hacia adentro del papel en O debido a que ds r apunta hacia adentro del
papel en cada segmento.
Ejercicio Un lazo en forma de círculo completo de radio R conduce una corriente I. ¿Cuál
es la magnitud del campo magnético en su centro?
Respuesta o I / 2R
EJEMPLO 2: El campo magnético creado por un alambre largo que
conduce corriente
Un alambre largo y recto de radio rR conduce una corriente estable o que está distribuida
de manera uniforme a través de la sección transversal del alambre. Calcule el campo
magnético a una distancia r del centro del alambre en las regiones r >= R y r < R.
Solución Cuando r >= R, elegimos como nuestra trayectoria de integración un círculo de
radio r centrado en el alambre. De acuerdo con la simetría, vemos que B debe de ser de
magnitud constante y paralelo a ds en todo punto sobre este círculo. Puesto que la corriente
total que pasa por el plano del círculo es o, la ley de Ampere aplicada al círculo produce
 B · ds = B ds= B(2r)oo
B = oo / 2r (para r
>= R)
que es idéntica en significado a la ecuación anterior.
Consideremos ahora el interior del alambre, esto es, la región donde r < R. Aquí la
corriente  que pasa por el plano del círculo de radio r < R es menor que la corriente total
o. Como la corriente es uniforme en la sección transversal del alambre, la fracción de la
corriente encerrada por el círculo de radio r < R debe ser igual a la proporción entre el área
r² encerrada por el círculo y el área de la sección transversal r² del alambre.
Siguiendo el mismo procedimiento que para el primer círculo, aplicamos la ley de Ampere
al segundo circulo:
 B · ds = B (2r)= o = o ( r^2 / R^2o)
B = ( oo / 2R^2) (para r  R)
La intensidad del campo magnético contra r para esa configuración se dibuja en la figura .
Advierta que dentro del alambre, B 0 cuando r 0. Este resultado es de forma similar al
del campo eléctrico dentro de una barra cargada uniformemente.
FIGURA Un dibujo del campo magnético contra r para el alambre descrito en el ejemplo. El campo es
proporcional a r dentro del alambre y varía como 1 / r fuera del alambre.
Ejemplo 3: Flujo magnético a través de una espira rectangular
Una espira rectangular de ancho ay longitud b se localiza a una distancia c de un alambre
largo que conduce una corriente I. El alambre es paralelo al lado largo de la espira.
Encuentre el flujo magnético total a través de la espira.
Razonamiento Por la ley de Ampere sabemos que la intensidad del campo magnético
creado por un alambre largo que conduce corriente a una distancia r del alambre es
B= o  / 2r
Es decir, el campo varía sobre la espira y está dirigido hacia el interior de la página, como
se muestra en la figura.
Puesto que B es paralelo a dA, podemos expresar el flujo magnético a través de un
elemento de área dA como
B =  B dA= o  / 2r dA
Note que debido a que B no es uniforme sino que más bien depende de r, no puede sacarse
de la integral.
Solución Para integrar, expresamos primero el área del elemento (la región coloreada en la
figura) como dA = b dr. En vista de que r es la única variable que aparece ahora en la
integral, la expresión  B se transforma en
B = o  / 2r) b  dr / r = o  b/ 2 ln (r) [rango de integración de c - (a + c) )]
= o  b/ 2 ln ( a + c / c )
FIGURA El campo magnético debido al alambre que conduce una corriente  no es uniforme sobre el lazo
rectangular