UNIDAD 6 - Producción

UNIDAD 6 - Producción
Producción:
En la tutoría de ayer 23/10/07 comenzaremos la teoría sobre la empresa. El herramental
es el mismo y los enfoques son parecidos:.... tratamiento con ecuaciones diferenciales
y/o la combinada de Lagrange, pero ahora para maximizar la producción y el beneficio
o para minimizar el costo...
El temario es Producción con Un solo Factor variable y otros fijos (su máximo etc.);
con Dos Factores variables (con curvas de indiferencia que ahora simplemente
llamaremos isocuantas); también veremos la función con rendimientos constantes que
identificaron Coob-Douglas en 1950 usando la del suizo Euler de 1800.
Luego Costos: fijos y variables, que podemos distinguir en total, medio y marginal
(interesa el costo marginal y el mínimo medio); aplicando el enfoque analítico de las
derivadas conocido, juntamente con su equivalente de la geometría “del total, medio y
marginal”.
Luego Beneficios: el objetivo básico de la empresa es generalmente maximizar el
beneficio, siendo el BT = IT – CT (que se calcula con primer derivada = 0 y segunda
negativa...)
Y se verá esto tanto en el caso general de cualquier empresa; como en el caso especial
de la empresa competitiva (muy pequeña entre muchos vendedores y muchos
compradores); y en el caso particular de la empresa sobredimensionada que actúa
competitivamente según Eiras (utilizado para denuncias antidumping en el mercado
internacional que fueron defendidas ante las autoridades de los EEUU).
Se resalta que es muy importante identificar bien el mercado competitivo, ya que es la
base de las leyes comerciales domésticas de todos los países, igual que de la legislación
sobre comercio internacional.
Un alumno presente hizo este resumen abreviado de la clase de hoy:
Producción con un solo factor variable
(y otros fijos que se reemplazan en la función)
Se comienza definiendo el producto total, el medio y el marginal. El total
simplemente que
depende el factor variable X (por ej. trabajo o capital)
Q
N
Q= F(x)
M
PT=Q
I
X factor
variable
PM= Q/x (el medio o promedio)
I
N
PM
PMg = ∆Q (el marginal)
X
M
PMg
Etapas
I
II
III
∆X
La producción total aumenta según el uso del factor variable; primero más que
proporcionalmente y luego menos que proporcionalmente (punto de inflexión i), hasta
un máximo M; luego disminuye, cae o decae.
El promedio o PM es máximo en N (máxima tangente desde el origen a la curva Q); por
eso en el enfoque unitario abajo la curva del PM tienen máximo en N.
El Prod. Marginal PMg es máximo en i del enfoque total e igualmente en i del enfoque
unitario. El PMg en el punto N coincide con el máximo PM.... (por eso las dos curvas se
intersectan en N del enfoque untario). El PMg es nulo en M en los dos enfoques
graficos.
Etapa I : Rendimientos crecientes hasta N. Si el objetivo es maximizar la producción es
irracional autolimitarse a contratar y producir en esta etapa.
Etapa II: Rendimientos decrecientes (Etapa económicamente significativa) (de N
hasta M)
Etapa III: Rendimiento negativo . No tiene sentido producir con rendimientos negativos
ya que gasta en factor pero decae la producción).
Este analisis geométrico y analíticos es lo que en Baumol en TEAO llama el “X” Total,
Medio y Marginal (que uds. tienen en esos gráficos manuscritos improvisados de los
sitios web mostrando la analogía grafica para utilidad, ingresos, producción, costos,
beneficios)
Ejercicio con un solo factor variable
Supongamos que Q = -1/5 x3y + 3x2y + 2xy
Siendo x variable con y = 5
1) reemplazo el factor fijo
Q= -x3 + 15x2 + 10x
Ahora queda un solo factor (el variable)
Tengo que ubicar la etapa significativa para informar a la empresa el nivel a contratar entre N
y M (como todavía no incluimos precio del factor o costos aun no podemos informarle el punto
de equilibrio o de máximo beneficio)
Objetivo N = producción significativa contratando no meno de N en factor: que según el
gra´fico puede calcularse de dos maneras:
Tengo 2 maneras
Max. PM
PM = PMg
PM = Q/x = -x2 + 15x + 10
PMg = Q´ = -3x2 + 30x +10
con PM´= 0 y PM´´< 0
-x2+15x+10 = -3x2+30x+10
2x2-15x = 0
o 2x-15=0
2x = 15
x = 7,5
N=7,5
No contratar menos de 7,5
Tanpoco se debe contratar mas factor que hasta M: y mirando el grafico se calcula
M=
Max.PT
o PMg= 0
Q´= 0 y Q´´< 0
PMg= 0
-3x2 +30x +10 = 0
Necesito Ruffini porque tengo la constante 10
X= -30± √ 302-4(-3)*10 = ±10,3
2*(-3)
M= 10,3
No contratar más de 10,3
Producción con 2 factores variables
Q= 3xy
funcion de producción (que graficamos como isocuanta despejando Y)
Px = $6
Py = $8
M = $ 60 presupuesto
L= Q + λ(RP)
= 3xy + (6x + 8y -60)
Paso 1
I) L`x = 0
L`y = 0
L`λ= 0
*4
*3
12y = 9x
3/4x = y
3y + 6λ = 0
3x + 8λ = 0
6x + 8y – 60 = 0
12y + 24λ = 0
9x + 24λ = 0
Reemplazo
6x + 8y – 60 = 0
6x + 8 (3/4x) = 60
12x = 60
x=5
despejo y = 3/4 *5
y = 3,75
Q= 3xy = 3(5)3,75 = 56 toneladas
Capital
Y
Q = 100
30
3,75
Q = 56
X trabajo
5
60
RECTA DE PRSUPUESTO = $60
Segunda condición
II) Es realmente máximo
H=
L11
L21
L31
L12
L22
L32
L13
L23
L33
0
3
6
0
3
3
0
8
3
0
6
8
0
6
8
= 0 + 144 + 144 – 0 – 0 – 0 = 288 positivo y entonces
Max Q = 56 toneladas de trigo
Problema dual ¿Mínimo costo para 56 ton? Si no lo supieramos veriamos que es $60;
iguamente si la condicion o restricción de producción fuera otro tonelaje:
¿Min.costo p/Q = 80 toneladas?
L = M + λ (RQ=80)
L = 6x + 8y + λ (3xy – 80)
I) L`x = 6x + 3yλ = 0
L`y = 8y + 3xλ = 0
L`λ = 3xy – 80 = 0
-
Hay que despejar λ
Multiplico * x/y el primero
Y queda 6 y/x + 3xλ = 0
EL segundo queda igual 8y + 3xλ = 0
6 y/x = 8
x = 6/8 y Nueva relación de intercambio
-
Reemplazo en la tercer línea
3 .(6/8y).y = 80
18/18 y2 = 640/18
y = √32
y = 5,65
Según esa relación de intercambio
x = 6/8 (5,65)
x = 4,24
M = $6 * (4,24) * $8 * (5,65)
M = $ 70,64
(correccion aquí .... es $70,64)
El presupuesto para producir 80 toneladas aumenta poco porque hay
rendimientos crecientes (según indica el orden 2 que suman los
exponentes de Q). ( 80 ton cuestan $70 y antes 56 ton costaban $ 60, es
decir producir 42% mas solo cuesta 17% mas)
FUNCION COBB - DOUGLAS
Lean en el “33resumenes de clases.doc” ..... como el pícaro Douglas usó la funcion de Euler
para explicar que tanto en algunas empresas como en las cuentas nacionales de los paises (según
censos de 1880 a 1930) los rendimientos eran constantes ¡!! Y se podian resumir con esta
funcion lineal y homogénea (un solo termino de grado o potencia uno)
Q = x1/4 * y 3/4
( LAS POTENCIAS SUMAN uno.... 1 )
Ejemplo con funcion objetivo según esta producción y restricción de presupuesto por $400
Q = 2t1/4 * c3/4
Pt = $4
Pc = $6
M (presupuesto) = $400 con CF = $80
Además hay información de costos y precio de factores...........
Es una función lineal, homogénea ya que todos sus terminos (hay uno solo) tienen potencia 1
Aplicamos derivadas para buscar el máximo a producir (tal como en la utilidad de la unidad 5....
con derivadas o con la combinada de Lagrange)
a) TMS (tasa marginal de sustitución) = Pt / Pc
PMg t = Pt = 4
PMg c
Pc 6
PMg t = 1/4( 2t -3/4 c3/4)
= 4
PMg c = 3/4 ( 2t1/4 c-1/4)
= 6 le baje una unidad al exponente de C
1/2 c 3/4 c 1/4
=
(subi c -1/4 sumando y baje t -3/4 sumando)
6/4 t 1/4 t 3/4
1/2 c = 4
3/2 t
6
3c = 6t
c= 2t
b)
4(t) + 6 (c) =400- 80 el costo variable mas el fijo
4 t + 6 (2t) = 320
16t = 320
t = 320 / 16
Reemplazo c = 2(20)
t = 20
c = 40
Entonces Q = 2 (20)1/4 (40)3/4
Q = 67 toneladas
Con $400 el máximo a producir es de 67 toneladas
Problema dual
¿Min. costo para Q = 100 toneladas?
Funcion objetivo según el presupuesto y condicion o Restricción de producir 100 ton
Q = 2 t1/4 c 3/4 = 100
= 2 t1/4 (2t)3/4 = 100
= 2 t1/4 * 2 3/4 * t3/4 = 100
= 2t 4√23 = 100
=t
100
2 4√8
= 100 = 30
2,17
Entonces = c = 2*30
c = 60
por consiguiente
M = $4 (30) + $6 (60) + 80 fijos
M = 560
CF = 80
CV = 480
COSTOS
Con ese resultado ya podemos comenzar el estudio de los costos, graficando los
fijos y los variables:
Es decir que en cuanto al costo de esta producción se tiene:
CT= 560
CF = 80
CV = 480
En la ordenada medimos $ y/o costos; en la abscisa medimos toneladas producidas:
$
C = 560
CV = 480
CF = 80
Q