FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES GRADO

FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
GRADO EN ADE
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I
22 – JUNIO -2010
Apellidos y nombre:_____________________________________________________________DNI______________
TEST:
Cada pregunta bien contestada suma 5 puntos. Cada una mal contestada resta 2 puntos
1. La función f ( x)  x 3  3x 2  p toma el valor
2 en algún punto del intervalo [1, 2]:
a) Cualquiera que sea el valor de p.
b) Si p = 5
c) Ninguna de las anteriores
2
2. La función f ( x)  x  4 es discontinua en
x 2  3x  2
x = -2. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo:
a) f(-2) = 1/4
b) f(-2) = 0
c) Ninguna de las anteriores
2
3.- La función g ( x)  ax( x  2) si x  2 es

2
 ax  3
si x  2
derivable en todo R si:
a) a = 4
b) a = 1/4
c) Nunca.
x
4.- La función f ( x)  2  2x  e , en el intervalo (0,
1), cumple:
a) Corta una vez al eje OX.
b) Tiene un máximo.
c) Ninguna de las anteriores.
5.- La recta tangente de la función
f ( x)  x 2  4a  1en el punto x=0 es:
a) y  1 4ax
b) y  1 4ax
c) Ninguna de las anteriores, sino la
recta__________________
6.- La función f ( x)  x 3 tiene en x=0:
a) Un máximo
b) Un mínimo
c) Un punto de inflexión
7.- El área que encierra la gráfica f ( x)  x 2 entre
los puntos x=-1 y x=1 es:
a) 1/3
b) 2/3
c) Ninguna de las anteriores: la respuesta
es:___________________
8.- La función derivada de f ( x )  Ln x
x es:
a)
b)
c)
1
x
Ln x  1
f ' ( x) 
x2
1  Ln x
f '( x) 
x2
f ' ( x) 
9.- El límite de f ( x) 
x2
x  cos x
cuando
x
 0
es:
a) 0
b) 1/2
c) -2
10.- La ecuación de la recta tangente a la curva
f ( x)  2 x 3  6 x 2  4 en su punto de inflexión es:
a) y = –6x –1
b) y = –x – 6
c) y = –6x – 6
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GRADO EN ADE
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I
22 – JUNIO -2010
Apellidos y nombre:_____________________________________________________________DNI______________
TEST:
Cada pregunta bien contestada suma 5 puntos. Cada una mal contestada resta 2 puntos
b) y  1 4ax
c) Ninguna de las anteriores, sino la
recta__________________
1. La función f ( x)  x 3  3x 2  p toma el valor
2 en algún punto del intervalo [1, 2]:
a) Cualquiera que sea el valor de p.
b) Si p = 5
c) Ninguna de las anteriores
2. La función f ( x)  x 3 tiene en x=0:
a) Un máximo
b) Un mínimo
c) Un punto de inflexión
2
3.- La función f ( x)  x  4 es discontinua en
x 2  3x  2
x = -2. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo:
a) f(-2) = 1/4
b) f(-2) = 0
c) Ninguna de las anteriores
2
4.- La función g ( x)  ax( x  2) si x  2 es

2
 ax  3
si x  2
derivable en todo R si:
a) a = 4
b) a = 1/4
c) Nunca.
x
5.- La función f ( x)  2  2x  e , en el intervalo (0,
1), cumple:
a) Corta una vez al eje OX.
b) Tiene un máximo.
c) Ninguna de las anteriores.
6.- La recta tangente de la función
f ( x)  x 2  4a  1en el punto x=0 es:
a) y  1 4ax
7.-
El límite de f ( x) 
x2
x  cos x
cuando
x
 0
es:
a) 0
b) 1/2
c) -2
8.- La ecuación de la recta tangente a la curva
f ( x)  2 x 3  6 x 2  4 en su punto de inflexión es:
a) y = –6x –1
b) y = –x – 6
c) y = –6x – 6
9.- El área que encierra la gráfica f ( x)  x 2 entre
los puntos x=-1 y x=1 es:
a) 1/3
b) 2/3
c) Ninguna de las anteriores: la respuesta
es:___________________
10.- La función derivada de f ( x )  Ln x
x es:
a)
b)
c)
f ' ( x) 
1
x
f ' ( x) 
Ln x  1
x2
f '( x) 
1  Ln x
x2
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22 – JUNIO -2010
Apellidos y nombre:_____________________________________________________________DNI______________
TEST:
Cada pregunta bien contestada suma 5 puntos. Cada una mal contestada resta 2 puntos
1. La función f ( x)  x 3  3x 2  p toma el valor
2 en algún punto del intervalo [1, 2]:
a) Cualquiera que sea el valor de p.
b) Si p = 5
c) Ninguna de las anteriores
2. El área que encierra la gráfica f ( x)  x 2 entre
los puntos x=-1 y x=1 es:
a)
b)
c)
1/3
2/3
Ninguna de las anteriores: la respuesta
es:___________________
3.- La función derivada de f ( x )  Ln x
x es:
a)
b)
c)
1
f ' ( x) 
x
Ln x  1
f ' ( x) 
x2
1  Ln x
f '( x) 
x2
6.- La función f ( x)  x 3 tiene en x=0:
a)
b)
c)
Un máximo
Un mínimo
Un punto de inflexión
x 2  4 es discontinua en
x 2  3x  2
x = -2. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo:
7.- La función f ( x) 
a)
b)
c)
f(-2) = 1/4
f(-2) = 0
Ninguna de las anteriores
2
8.- La función g ( x)  ax( x  2) si x  2 es

2
 ax  3
derivable en todo R si:
a)
b)
c)
a=4
a = 1/4
Nunca.
4.- La recta tangente de la función
f ( x)  x 2  4a  1en el punto x=0 es:
a)
b)
c)
y  1 4ax
y  1 4ax
Ninguna de las anteriores, sino la
recta__________________
x
5.- .- La función f ( x)  2  2x  e , en el intervalo
(0, 1), cumple:
a)
b)
c)
Corta una vez al eje OX.
Tiene un máximo.
Ninguna de las anteriores.
si x  2
9.- El límite de f ( x) 
a)
b)
c)
x2
x  cos x
cuando
x
 0
es:
0
1/2
-2
10.- La ecuación de la recta tangente a la curva
f ( x)  2 x 3  6 x 2  4 en su punto de inflexión es:
a)
b)
c)
y = –6x –1
y = –x – 6
y = –6x – 6
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GRADO EN ADE
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I
22 – JUNIO -2010
Apellidos y nombre:_____________________________________________________________DNI______________
TEST:
Cada pregunta bien contestada suma 5 puntos. Cada una mal contestada resta 2 puntos
1.La función derivada de f ( x )  Ln x
es:
x
a)
b)
c)
1
x
Ln x  1
f ' ( x) 
x2
1  Ln x
f '( x) 
x2
f ' ( x) 
a)
b)
c)
6.- La recta tangente de la función
f ( x)  x 2  4a  1en el punto x=0 es:
a)
b)
c)
2.- La función f ( x)  x  3x  p toma el valor
3
2
2 en algún punto del intervalo [1, 2]:
a) Cualquiera que sea el valor de p.
b) Si p = 5
c) Ninguna de las anteriores
3.- El área que encierra la gráfica f ( x)  x 2 entre
los puntos x=-1 y x=1 es:
a)
b)
c)
1/3
2/3
Ninguna de las anteriores: la respuesta
es:___________________
x  4 es discontinua en
x 2  3x  2
x = -2. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo:
4.- La función f ( x) 
a)
b)
c)
2
f(-2) = 1/4
f(-2) = 0
Ninguna de las anteriores
2
5.- La función g ( x)  ax( x  2) si x  2 es

2
 ax  3
derivable en todo R si:
a=4
a = 1/4
Nunca.
si x  2
y  1 4ax
y  1 4ax
Ninguna de las anteriores, sino la
recta__________________
x
7.- La función f ( x)  2  2x  e , en el intervalo (0,
1), cumple:
a) Corta una vez al eje OX.
b) Tiene un máximo.
c) Ninguna de las anteriores.
8.- La función f ( x)  x 3 tiene en x=0:
a)
b)
c)
Un máximo
Un mínimo
Un punto de inflexión
9.- El límite de f ( x) 
a)
b)
c)
x2
x  cos x
cuando
x
 0
es:
0
1/2
-2
10.- La ecuación de la recta tangente a la curva
f ( x)  2 x 3  6 x 2  4 en su punto de inflexión es:
a)
b)
c)
y = –6x –1
y = –x – 6
y = –6x – 6
PROBLEMAS
2
1 (20 puntos). Dibujar la gráfica de la función f ( x)  ( x  1) , determinando sus intervalos de crecimiento,
x 1
máximos, mínimos y asíntotas.
2 (10 puntos) Sea f ( x)  ax3  bx2  cx  d un polinomio que cumple f(1) = 0, f ´(0) = 2, y tiene dos extremos
relativos para x = 1 y x = 2.
a) Determinar a, b, c y d.
b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
3 (10 Puntos) Calcula las siguientes integrales:
4. (10 puntos) Hallar el polinomio de Taylor de grado 4, en el origen, de la función
polinomio para calcular cos 0,1.
. Utilizar dicho
1. La función f ( x)  x 3  3x 2  p toma el valor
2 en algún punto del intervalo [1, 2]:
a) Cualquiera que sea el valor de p.
b) Si p = 5
c) Ninguna de las anteriores
Solución:
Esta función es continua siempre; en particular en el intervalo [1, 2]; además:
f (1)  2  p y f (2)  4  p
Por el teorema de los valores intermedios, la función toma todos los valores comprendidos
entre 2 + p y 4 + p.
Para que  4  p  2  2  p debe cumplirse que 2  2  p  4  2 .
El valor p = 5 está entre esos valores.
2. La función f ( x) 
x2  4
es discontinua en x = 2. Tal discontinuidad puede evitarse
x 2  3x  2
definiendo:
a) f(2) = 1/4
b) f(2) = 0
c) Ninguna de las anteriores..(vale 4)
Solución:
En x = 2 la discontinuidad es evitable, pues existe el límite:
x2  4
x2
0
    lím
4
x 2 x 2  3x  2
x

2
x 1
0
lím
ax ( x 2  2) si x  2
3. La función g ( x)  
es derivable en todo R si:
2
si x  2
 ax  3
a) a = 4
b) a = 1/4
c) Nunca
Solución:
No puede ser derivable en x=2 porque no es continua en dicho punto, pues:
si x  2–, g(x)  4a; si x  0+, g(x)  4a-3, por tanto nunca coinciden sea cual sea el
valor de a, y al no ser continua no puede ser derivable en 2.
x
4 - La función f ( x)  2  2x  e , en el intervalo (0, 1), cumple:
a) Corta una vez al eje OX.
b) Tiene un máximo.
c) Ninguna de las anteriores.
x
x
x
Sol. f ( x)  2  2x  e  f ´(x)  2  e  f ´´(x)  e
La derivada primera se anula si x = ln 2  (0, 1). Como f ´´(ln 2) < 0, la función tendrá un
máximo en x = ln 2.
5.- La recta tangente de la función f ( x)  x 2  4a  1en el punto x=0 es:
a) y  1 4ax
b) y  1 4ax
c) Ninguna de las anteriores, sino la recta_____ y = –4a+1_______
Solución:
f ´(x)= 2x f ´(0)= 0, entonces la recta tangente en ese punto es y+4a-1 = 0(x – 0) 
y = –4a+1
6.- La función f ( x)  x 3 tiene en x=0:
a) Un máximo
b) Un mínimo
c) Un punto de inflexión
Solución:
Es un punto de inflexión, pues se anulan las dos primeras derivadas en ese punto.
7.- El área que encierra la gráfica f ( x)  x 2 entre los puntos x=-1 y x=1 es:
a) 1/3
b) 2/3
c) Ninguna de las anteriores: la respuesta es:___________________
Solución:
1
 x3 
2 2
A =  x dx      
1
3 3
 3  1
1
2
8.- La función derivada de f ( x ) 
b)
1
x
Ln x  1
f ' ( x) 
x2
c)
f '( x) 
a)
Ln x
x es:
f ' ( x) 
1  Ln x
x2
Solución:
f '( x) 
c) es la solución,
1  Ln x
x2
x2
 0 es:
9.- El límite de f ( x)  x  cos x cuando x 
a) 0
b) 1/2
c) -2
Solución
El límite vale 0.
10.- La función f ( x)  2 x 3  6 x 2  4
f´(x)=6x2-12x = 0 si x=0 o x=2f´´(x)=12x-12  f´´(0)=-12en x=0 hay un máximo: (0, 4).
f´´(2)=-4en x=2 hay un mínimo: (2, -4).
PROBLEMAS
1. Dibujar la gráfica de la función f ( x) 
( x  1) 2
, determinando sus intervalos de
x 1
crecimiento, máximos, mínimos y asíntotas.
Solución:
f ( x) 
( x  1) 2
4
 x 3
x 1
x 1
Luego:
ASÍNTOTAS:
x = –1 es una asíntota vertical.porque lím
x 1
f ( x)

x
No tiene asíntotas horizontales porque lím f ( x)  
x 
y = mx+n=x – 3 es una asíntota oblicua.
m = lím
x 
f ( x)
1 y
x
n = lím( f ( x)  mx)  3 , por tanto, la A.O es y = x-3.
x
(5 puntos)
CRECIMIENTO , MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Derivada: f ´(x) 
( x  1)(x  3)
( x  1) 2
f ´(x) = 0 en x = –3 y en x = 1
Si x < –3, f ´(x) > 0  f (x) crece.
Si –3 < x < –1, f ´(x) < 0  f (x) decrece.
Si –1 < x < 1, f ´(x) < 0  f (x) decrece.
Si x > 1, f ´(x) > 0  f (x) crece.
Es obvio que en x = –3 hay un máximo y en x = 1 un mínimo. Puntos (–3, –8) y (1, 0).
(10 puntos)
La gráfica aproximada de la función es la dada a continuación.
(5 puntos)
2 Sea f ( x)  ax3  bx2  cx  d un polinomio que cumple f(1) = 0, f ´(0) = 2, y tiene
dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.
a) Determinar a, b, c y d.
b)¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
Solución:
a)
(1) f(1)= a+b+c+d= 0
(2) f´(0) = c = 2
(3) f´(1) = 3a+2b+c=0
(4) f´(2) = 12a+4b+c=0
Tenemos 4 ecuaciones y cuatro incógnitas que resolviendo dan el resultado:
a=1/3, b=-3/2, c=2, d=-5/6
b) f´´(x)= 2x-3; f´´(1)=-1<0, en x=1 hay un Máximo
f´´(2)=1 >0; en x=2 hay un Mínimo
3). Calcula las siguientes integrales (1 punto):
a)  cos 4 xsenxdx 
cos5
C
5
b)  e x sene x dx   cos e x  C
Problema 4 (1 punto)
Hallar el polinomio de Taylor de grado 4, en el origen, de la función f ( x)  cos x . Utilizar
dicho polinomio para calcular cos 0,1.
Solución:
a) f(x) = cos x; f´(x) = –sen x; f´´(x) = –cos x; f´´´(x) = sen x; f(4(x) = cos x;
en x=0 tenemos que f(0) = cos 0=1; f´(0) = –sen x=0; f´´(=) = –cos x=-1; f´´´(0) = sen x=0;
f(4(x) = cos x=1;
P( x) 1 
x2 x4

2
4!
b)
P(0,1) 1 
0,12 0,14

 0,9950041667;
2
4!