Ejercicios de Ondas Mecánicas y Ondas Electromagnéticas.

Ejercicios de Ondas Mecánicas y Ondas Electromagnéticas.
1.- Determine la velocidad con que se propagación de una onda a través de una cuerda
sometida ala tensión F, como muestra la figura. Para ello considere que si tomamos un
segmento
de la cuerda, los extremos de éste forman ángulos pequeños
con el eje
.
Solución:
De la figura:
(1)
Como los ángulos
son pequeños, entonces:
Reemplazando en (1):
(2)
La tangente de estos ángulos se define como la pendiente de la curva en los puntos A y B. La
pendiente está dada por
, luego:
(3)
De acuerdo a la segunda ley de Newton:
, pero
, por lo tanto:
, reemplazando en (3) se tiene:
(4)
Por otro lado la derivada parcial de una función se define como:
=
Por lo tanto, cuando
=
la ecuación (4) se puede escribir como:
(5)
La ecuación (5) es la ecuación de una onda lineal para el caso de propagación de onda en una
cuerda. Se sabe que la función de una onda senoidal tiene la forma:
(6)
Derivando esta expresión respecto a
y a , se obtiene:
=
(7)
Sustituyendo (7) en (5), se tiene:
Luego:
(8)
Introduciendo (8) en (5), se tiene:
(9)
Es la ecuación general de una onda viajera. Por lo tanto la ecuación (6),
, representa una solución de la ecuación de una onda lineal. A
la ecuación (9) le satisface cualquier función de onda que tenga la forma
.
2.- Una onda senoidal
que viaja hacia la derecha tiene una amplitud de 20[cm], una longitud
de onda de 50[cm] y una frecuencia de 10[Hz]. El desplazamiento vertical para
y
es también de 20[cm].
a) Encuentre el factor de onda, el periodo, la frecuencia angular y la velocidad de la onda.
b) Determine la constante de fase y escriba la ecuación de la onda.
Solución:
cm
50 cm
20 cm
cm
a)
Sabemos que:
b)
Como la amplitud A = 20 [cm] es igual al desplazamiento y para x=0 y t = 0, se tendrá:
Luego
. Por lo tanto:
De aquí, la ecuación de la onda será:
.
3.-
En una cuerda estirada sostenida por dos soportes fijos, separados una distancia , como
muestra la figura, avanzan dos ondas que se reflejan en los extremos sujetos a los soportes.
Cada una de estas reflexiones da origen a una onda que se propaga por la cuerda en sentido
opuesto.
a) Suponga dos trenes de onda de la misma frecuencia, velocidad y amplitud que se propagan
en sentidos opuestos y obtenga la ecuación resultante.
b) ¿Qué sucederá si sobre un sistema que es capaz de oscilar, actúa una serie de impulsos
periódicos que tengan una frecuencia igual o casi igual a una de las frecuencias naturales del
sistema?
Solución:
a)
De acuerdo a la figura:
Estas dos ondas se pueden representar como sigue:
De acuerdo al principio de superposición se tiene que:
Haciendo:
y
y aplicando la identidad trigonométrica:
se tiene que:
La expresión anterior es la ecuación de una onda estacionaria, cuya amplitud es:
.
4.- El vibrador de la figura tiene una frecuencia
, la cuerda tiene una densidad
lineal
y una longitud
La tensión
se hace variar tirando hacia
abajo por el extremo de la cuerda, al otro lado de la polea. Si se desea producir resonancia, a
partir de una media onda y después con dos, tres y cuatro medias ondas ¿qué fuerza se debe
ejercer sobre la cuerda?
FIGURA
En resonancia:
, de aquí
Para
Para n= 2
= 160[N]
Para n= 3
= 71[N]
Para n= 4
= 40[N]
Por lo tanto el operador alivia gradualmente la tensión para obtener resonacia con un número
cada vez más grande de ondas.
5.- Al propagarse una onda
en una cuerda cada partícula de la misma oscila verticalmente en
dirección perpendicular a la dirección del movimiento ondulatorio. Encontrar la velocidad y la
aceleración de una partícula colocada a 4 [cm] del extremo. Se sabe que la longitud de onda
es igual a 4 [cm], la velocidad de propagación es 6 [cm/s] y la amplitud es 0.084 [cm].
Solución
Se sabe que :
y
La forma general de la onda es:
(1)
y
x
Cada partícula se mueve en la dirección de . Para calcular la velocidad
deriva (1) respecto al tiempo:
(2)
Para la aceleración, se tiene que:
(3)
Se sabe que:
Además:
Luego (2) se puede escribir como:
Y (3) como:
.
de la partícula, se
6.- Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación:
, estando
en
segundos, e en centímetros:
a) ¿Cuáles son la amplitud y la velocidad de las ondas componentes cuya superposición
puede dar lugar a esta vibración?
b) ¿Cuál es la distancia entre los nodos?
c) ¿Cuál es la velocidad de las partículas de la cuerda en la posición
, cuando
Solución
a) A = 2,5[cm]
b) La distancia entre nodos es
Luego la distancia entre dos nodos consecutivos es 3[cm]
c)
7.- La intensidad del campo eléctrico de una onda electromagnética en el vacio està
representada por :
,
a)
b)
c)
Determine la longitud de onda y dirección de propagación de la onda.
Estado de polarización de la onda.
Halle la magnitud del vector densidad del flujo magnètico, B ( o inducción magnética).
d)
Halle los valores instantáneos y medio del flujo de energía por unidad de área.
Solución:
Datos:
,
,
a)
(onda de radio)
=
onda corta de radio.
Ey(x) da la dirección de propagación de la onda a lo largo del eje x.
b)
El vector campo eléctrico oscila en el plano
para todo , esto indica que la onda está plano
polarizada en ese plano, dicho de otra manera, la onda está linealmente polarizada.
c)
Utilicemos las ecuaciones de Maxwell.
A partir de la ley de Faraday, se tiene:
=-
Luego:
De acuerdo a los datos del problema:
Integrando respecto a :
De aquí se puede apreciar que Ey y Bz están en fase.
d)
El flujo de energía por unidad de área está dado por el vector de Poynting:
Como:
y
La energía se propaga en la dirección
, se tiene:
positiva de propagación de la onda.
El valor instantáneo será:
El valor medio:
Recordando que:
, se tiene:
8.- Una onda plana sinusoidal de luz linealmente polarizada, cuya longitud de onda, λ es de
500
, viaja en el vacio en la dirección de las x positivas. El valor medio de la energía que
fluye por unidad de área es
y el plano d vibración es paralelo al eje y. Escriba la
ecuación que describe el campo eléctrico y magnético de esta onda.
Solución
(1)
(2)
Introduciendo (2) en (1), se tiene:
Por otro lado:
Así :
como
= 2,9
Por lo tanto, las ecuaciones que describen el campo eléctrico y magnético están dadas por las
siguientes expresiones:
Y
La intensidad del campo eléctrico de las fuentes convencionales varía entre 0,1 y 10 [
9.- Considere una onda electromagnética plana linealmente polarizada, viajando en la
dirección positiva de las x, en el espacio libre y teniendo como plano de vibración del plano xy.
Dada su frecuencia de 10[MHz] y amplitud
.
a)
b)
Encuentre el periodo y la longitud de onda
Escriba una expresión para E(t) y B(t)
c)
Encuentre la densidad de flujo
de la onda.
Solución
Datos:
a)
,
,
,
= 30[m]
b)
c)
.