Los problemas que se presentan a continuación son problemas

Números racionales
1
Los problemas que se presentan a continuación son problemas "tipo". Estúdialos detenidamente pues
encontrarás multitud de situaciones cotidianas cuya resolución exige los mismos procesos que aquí aparecen.
FRACCIÓN DE UN NÚMERO
Se pueden presentar tres tipos de problemas:
A.- Cálculo de la parte (Problema directo)
Se ha vaciado las
3
partes de un depósito que contenía 2.400 litros de agua. ¿Cuántos litros se han
8
extraído?
Calcular los
2400 · 3 72000
3
de 2400 equivale a efectuar la operación:
=
= 900
8
8
8
1.- En un cine hay 63 personas de las que 4/7 son chicas, ¿cuántos chicos y chicas hay?
4
de 63 = (63 : 7) · 4 = 36 chicas → 63 – 36 = 27 chicos
7
2.- Un compuesto químico está formado por 2/5 de agua, 1/5 de edulcorante y el resto por una
composición de distintos elementos. ¿Qué cantidad de cada elemento hay en 10 gramos de dicho
compuesto?
2
Cantidad de agua: de 10 = 4 g
5
1
Cantidad de edulcorante: de 10 = 2 g
5
Cantidad de distintos elementos: 10 – (4 + 2) = 4 g
3.- Un profesor les presta a sus alumnos un libro a cada uno para leer. El que le da a Inés tiene 162
páginas y el de Paco 291. Inés dice que ha leído 4/9 y Paco, 2/3. ¿Cuál de los dos ha leído más
páginas?
4
de 162 = (162 : 9) · 4 = 18 · 4 = 72 páginas
9
2
Paco ha leído los de 291= (291: 3) · 2 = 97 · 2 = 194 páginas
3
Inés ha leído los
Luego Paco ha leído más que Inés.
4.- Los 2/3 de los habitantes de una ciudad tienen menos de 50 años y los 5/8 de éstos tienen menos
de 20 años. Si la ciudad tiene 30.000 habitantes.
a) ¿Cuántos habitantes tienen menos de 20 años?
b) ¿Cuántos tienen entre 20 y 50 años?
c) ¿Cuántos tienen más de 50 años?
a) 2/3 de 30.000 = 20.000 habitantes tienen menos de 50 años.
b) 5/8 de 20.000 = 2500 · 5 = 12.500 personas tienen menos de 20 años
Por tanto, las personas con edades entre 20 y 50 años: 20.000 – 12.500 = 7.500 personas.
c) 30.000 – 20.000 = 10.000 habitantes tienen más de 50 años
Números racionales
2
5.- Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan: 3 huevos, 100 g de mantequilla, 120g de
chocolate y 60 g de levadura. ¿Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de 8 raciones?
Si para 6 personas necesitamos 3 huevos, para 8 necesitaremos 3 · 8/6 = 4 huevos.
Del mismo modo necesitaremos:
o
De mantequilla 100 · 8/6 =133,3 g.
o
De chocolate 120· 8/6 = 160 g
o
De levadura 60·8/6 = 80 g.
6.- Un agricultor tiene una finca de 25.000 ha. Se reserva para él 1/5 de la superficie y el resto lo
reparte en partes iguales entre sus dos hijos. Uno de los hijos vende 3/10 de su parte. Calcula las
hectáreas que tienen al final el padre, cada uno de los hijos y el comprador.
El padre se queda con 1/5 de 25.000 ha, que son 5000 ha.
Reparte las 20.000 ha restantes entre los dos hijos, por tanto, a cada uno le corresponde 10.000 ha.
Uno vende
3
de 10.000 ha = 3000 ha. → Le queda al hijo 7000 ha.
10
7.- Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7/15 del total, el segundo 5/12
del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
7
de 120 = 7 · 8 = 56 €.
15
5
El segundo:
de 120 = 5 · 10 = 50 €.
12
El primero:
El tercero: 120 – (56 + 50) = 14 €
8.- De una caja que tenía 30 bombones, Alberto comió los 2/5 y Rosa 1/6.
a) ¿Cuántos bombones se comieron entre los dos?
b) ¿Qué fracción de bombones les queda sin comer?
a) Alberto comió
Rosa comió
2
de 30 = 12 bombones
5
1
de 30 = 5 bombones
6
b) Entre los dos se comieron 17 bombones, luego les quedan sin comer 13, que son
13
de la caja.
30
9.- Un ciclista ha recorrido los cuatro séptimos de los 280 Km de la etapa. ¿Cuántos Km de la etapa
tiene que recorrer todavía?
Si ha recorrido los cuatro séptimos, le queda por recorrer los tres séptimos.
3
3
de 280 = · 280 = 3 · 40 = 120 km
7
7
Números racionales
3
B.- Cálculo del total (Problema inverso)
3
de su sueldo. ¿Cuánto recibe de sueldo al mes?
8
3
1
8
de la paga son 900 € ⇒
de la paga será: 300 € ⇒
de la paga serán: 300 · 8 = 2400 €
8
8
8
Patricia se ha gastado 900 €, que son los
Observa que este problema se resuelve multiplicando la cantidad por la inversa de la fracción:
900 · 8
3
3
3
de x = 900 ⇒ · x = 900 ⇒ x = 900 : =
8
8
8
3
1.- Los 3/5 de un depósito contienen 2.400 litros, ¿qué capacidad tiene el depósito?
Representamos la situación:
2400 litros
800 litros
4000 litros
3
1
del depósito = 2400 l → del depósito = 800 l → Total = 800 · 5 = 4000 l
5
5
2.- Los 5/6 de una mercancía cuestan 870 euros ¿Cuánto cuestan los 2/3 de dicha mercancía?
5
1
de la mercancía = 870 € →
mercancía: 870 : 5 = 174 € → Mercancía: 174 · 6 = 1044 €
6
6
2
2
de 1044 = ·1044 = 2 · 348 = 696 €
3
3
3.- Hoy he perdido 18 cromos que son 3/11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?
3
1
de los cromos = 18 →
de los cromos = 18 : 3 = 6 → Total cromos: 6 · 11 = 66
11
11
4.- Un frutero ha vendido los dos quintos de las manzanas que tenía y aún le quedan 75 Kg.
¿Cuántos Kg tenía?
Si vendió los dos quintos, le quedan los tres quintos de las manzanas.
3
1
de las manzanas = 75 kg → de las manzanas = 25 kg → Total de manzanas: 25 · 5 = 125 kg
5
5
5.- Antonio gasta las tres cuartas partes de su dinero y le quedan 128 €. ¿Cuánto dinero tenía al
principio?
Si gastó las tres cuartas partes, le quedan un cuarto de su dinero.
1
de su dinero = 128 € → Dinero total: 128 · 4 = 512 €
4
Números racionales
4
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Marta tiene 150 €. Se gasta
1
2
en el cine y en una revista. ¿Qué fracción del total le queda? ¿Cuánto
3
5
dinero le queda?
Entre el cine y la revista ha gastado:
La fracción que le queda es: 1 −
1 2 5 + 6 11
+ =
=
3 5
15
15
11 4
=
15 15
Por tanto, ¿cuántos euros representan dicha fracción?
4
4·150
de 150 =
= 40 €
15
15
1.- De un rollo de cuerda de 60 cm, Raúl ha cortado la mitad, Pedro cortó la cuarta parte del total y
Juan la sexta parte del total.
a) ¿Qué fracción de cuerda han cortado entre los tres?
b) ¿Cuántos metros quedan?
2.- El espectro solar está formado por diversos colores. El rojo ocupa 1/8, el amarillo 2/15 y el
anaranjado 3/40. ¿Qué fracción del espectro ocupan los restantes colores?
En total los tres colores ocupan:
1 2
3 15 + 16 + 9 40 1
+ +
=
=
= del espectro
8 15 40
120
120 3
Luego, los restantes colores ocupan los 2/3 que faltan.
3.- Una persona gasta 3/10 de su sueldo en vivienda, la mitad en comida y la quinta parte en otras
necesidades, ¿qué porcentaje de su sueldo ahorra al mes?
Gasta:
3 1 1 3 + 5 + 2 10
+ + =
=
= 1 → No ahorra nada.
10 2 5
10
10
4.- Ana, Loli y Mar han comprado un queso. Ana se queda con la mitad; Loli con la cuarta parte, y
Mar, con el resto. Sabiendo que Mar, por su porción, ha puesto 8 euros, ¿cuánto costó el queso
entero?
⎛1
⎝
1⎞
3
1
Porción de Ana: 1 − ⎜ + ⎟ = 1 − = de queso
2 4
4 4
⎠
Si un cuarto de queso cuesta 8 € → Total de queso: 8 · 4 = 32 €
Números racionales
5
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
1. Un frasco tiene una capacidad de 2/5 de litros. ¿Cuántos litros se necesita para llenar 50 frascos?
Si simplificamos el problema cambiando los datos por números naturales:
“Un frasco tiene una capacidad de dos litros, ¿cuántos litros se necesita para llenar 50 frascos?”
Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una simple multiplicación:
2 · 50 = 100 litros
Es decir, (capacidad frasco) · (número de frascos)
Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es:
2
· 50 = 2·10 = 20 litros
5
2. Un frasco tiene una capacidad de 2/5 de litros. ¿Cuántos frascos se llenan con una botella de 2 litros?
Simplificamos el problema con datos numéricos más sencillos:
“Un frasco tiene una capacidad de dos litros, ¿cuántos frascos se llenan con una botella de 8 litros”.
Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una división:
8:2 = 4 frascos
Es decir, (capacidad botella) : (capacidad frasco).
Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es:
2 10
2: =
= 5 frascos
5 2
1. Un rollo de 80 metros de cable eléctrico se ha cortado en trozos iguales de cuatro quintos de
metro cada uno. ¿Cuántos trozos se han obtenido?
80 :
4
= 400 : 4 = 100 → Se han obtenido 100 trozos.
5
2.- Mezclamos 6 litros de un vino que tiene 1/10 parte de alcohol con 3 litros de otro vino que tiene
2/15 partes de alcohol. ¿Qué proporción de alcohol tendrá la mezcla?
6 litros de vino con 1/10 de alcohol:
3 litros con 2/15 de alcohol:
1
6 3
·6 =
= l de alcohol.
10
10 5
2
2
·3 = l de alcohol.
15
5
La mezcla de 9 litros contiene
2 3 5
+ = = 1 l de alcohol → La proporción es 1/9 de alcohol en la mezcla.
5 5 5
3.- Un paseante camina con pasos regulares de
5
de metro. Si da dos pasos cada 3 segundos, ¿qué
6
distancia recorrerá en media hora?
En tres segundos recorre
5
5
·2 = m. → Media hora = 30 minutos = 30 · 60 seg = 1800 seg
6
3
Nº de intervalos de tres segundos: 1800 / 3 = 600 → Recorre:
5
3000
·600 =
= 1000 m = 1 km
3
3
Números racionales
6
FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN
Una huerta tiene 1500 m2 de superficie. Se siembra
1
2
del terreno con patatas y
del resto con alubias.
3
5
a) ¿Qué fracción queda aún libre?
b) ¿Cuántos m2 quedan libres?
a) Fracción de terreno sembrada de patatas :
1
2
del total → Por tanto quedan
del total
3
3
Fracción de terreno sembrada de alubias: dos quinto del resto, es decir,
Fracción de terreno sembrada:
2 2 4
2
2
de del total: · =
del total
5 3 15
5
3
1 4 5+4 9 3
+ =
=
= del total
3 15
15
15 5
Fracción de terreno sin sembrar: 1 −
3 2
= del total
5 5
b) Calculamos cuántos m2 representan esta última fracción:
2
2·1500
de 1500 =
= 600
5
5
1.- Un libro tiene 260 páginas. Ayer leí las tres cuartas partes y hoy 1/5 del resto.
a) ¿Qué fracción de libro he leído ya?
b) ¿Cuántas páginas me quedan por leer?
a) He leído
3 1
1 3 1 15 + 1 16 4
+ de = +
=
=
= del libro.
4 5
4 4 20
20
20 5
Gráficamente:
→ He leído
4
5
b) Me queda por leer: 1 − =
16 4
= del libro
20 5
1
1
del libro → de 260 = 260 : 5 = 52 páginas
5
5
2.- Durante un viaje, un representante consume 1/8 de la gasolina que lleva en el depósito. En un
segundo viaje consume 2/3 de lo que le quedaba. Si le quedan en el depósito 21 litros ¿Cuántos
litros tenía al principio en el depósito?
Queda
7
del depósito
24
En el primer viaje gasta 1/8 (zona amarilla), en el segundo 2/3 de lo que le queda (zona rosa) y le quedan
21 litros (zona blanca), que representa los
7
del depósito.
24
7
1
del depósito = 21 litros →
del depósito = 3 litros → Total = 3 · 24 = 72 litros.
24
24
Números racionales
7
3. En un programa de televisión intervienen tres médicos. El primero habla 3/8 del tiempo total, la
segunda ha intervenido durante 2/5 del resto y el tercero expone sus ideas en 15 minutos. ¿Cuánto
tiempo ha durado el programa?
El primer médico interviene 3/8 del tiempo (zona amarilla), el segundo 2/5 de lo que le queda (zona rosa)
y el tercero 15 minutos (zona blanca), que representa los
3
del tiempo.
8
3
1
del tiempo = 15 min → del tiempo = 5 min → Total = 5 · 8 = 40 min.
8
8
El programa duró 40 minutos.
4.- Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, 3/4 del resto sumergido en agua, y la parte
emergente mide 5 m. Halla la longitud del poste.
El poste bajo tierra es 2/7 (zona amarilla), la parte sumergida en agua es 3/4 de lo que le queda (zona
rosa) y la parte emergente son 5 metros (zona blanca), que representa los
5
de la longitud del poste.
28
5
1
de la longitud = 5m →
de la longitud = 1m → Longitud = 28 m
28
28
5.- En un Instituto, en 1º de Bachillerato, los 4/7 del alumnado estudian inglés, las dos terceras
partes del resto, francés y los 15 estudiantes restantes, alemán. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay
en 1º de Bachillerato?
Estudian inglés los 4/7 de l@s alumn@s (zona amarilla), francés los dos tercios del resto (zona rosa) y el
resto son 15 estudiantes (zona blanca), que representa un séptimo del total.
Por tanto, el total de los estudiantes es 7 · 15 = 105
6.- Un corredor sale a correr y recorre durante la primera hora la cuarta parte del total, durante la
segunda hora los 2/5 del resto, quedándole todavía 9km para recorrer en las dos horas siguientes.
¿Cuántos kilómetros ha corrido?
Las dos últimas horas representan los 9/20 del recorrido: los
Por tanto 1/20 del recorrido = 1 km → Recorrido: 20 km
9
del recorrido = 9 km.
20
Números racionales
8
PROBLEMAS CON FRACCIONES
1. Cristina ha comprado fruta: las 3/5 partes son manzanas y las 5/6 partes son naranjas. ¿De qué tipo de
fruta ha comprado mayor cantidad?
2. Una botella de vino está llena hasta sus
3
3
y otra hasta sus . ¿Cuál contiene mayor cantidad de vino?
5
4
3. Un coche de juguete avanza dos quintos de metros por cada vuelta que dan las ruedas. ¿Cuántas
vueltas tienen que dar para recorrer 30 metros?
4. En una tienda de alquiler de vídeos, en un día alquilaron 245 películas, de las que tres séptimos eran
películas de acción. ¿Cuántas películas de acción se alquilaron? El resto, ¿qué fracción representa?
5. Una fábrica de calzado fabrica diariamente 12.300 pares de zapatos. Debido a una avería, un día sólo
fabrica los tres quintos,¿cuántos pares fabricaron ese día?
6. De un depósito que contiene 100 litros de gasolina se sacan primero los 3/5 del total y después se saca
1/4 del total. ¿Qué fracción de combustible se ha sacado?¿Cuántos litros quedan en el depósito?
7. Pedro tenía 180 euros y ha gastado las cuatro décimas partes en libros, dos quintos en discos y un
décimo en revistas. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? ¿Cuánto dinero le queda?
8. El dueño de una tienda vende dos tercios de los discos que tienen, y uno de los dependientes vende un
quinto del resto de los discos. ¿Qué parte de los discos que tenían han vendido?
9. Juan tiene que leer un libro de 120 páginas. Ayer leyó un tercio del libro y hoy los dos quintos de lo que
le quedaba. ¿Cuántas páginas tiene que leer todavía?
2
2
del dinero en un libro y, después, de lo que le quedaba
5
3
en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
10. Aurora sale de casa con 300 €. Se gasta
11. Un agricultor tiene una finca de 30.000 ha. Se reserva para él
partes iguales entre sus tres hijos. Uno de ellos vende los
1
5
de la superficie y el resto lo reparte a
3
de su parte. ¿Cuántas ha. vendió el hijo?
10
12. Una colonia de verano dispone de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas. Sabiendo que
8
en el pabellón A se encuentran los
del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?
11
13. Pedro, con los tres quintos del dinero que tenía en su hucha, ha comprado un regalo a su hermana por
valor de 27€. ¿Cuánto dinero tenía en su hucha?
14. En una clase sólo los dos tercios de los alumnos han presentado el trabajo de Tecnología. Si el profesor
decide suspender a los 8 alumnos que no lo han presentado, ¿cuántos alumnos forman el grupo?
15. Julián ha gastado un cuarto de su dinero en invitar a sus amigos y un quinto en la entrada del teatro. Le
han quedado 110 €. ¿cuánto dinero tenía Julián?
16. En una librería un tercio de los libros son de ciencia ficción y tres quintos de intriga. Además tiene 600
libros sin clasificar. ¿Cuántos libros tiene la librería?
17. Un agricultor siembra un tercio de su parcela con patatas y dos quintos del resto con lechugas,. ¿Cuál
es la extensión de la parcela si aún le quedan libre 600 m2?
18. Adela compró una televisión que pagó en tres plazos. La primera vez pagó los dos quintos del precio
total, la segunda vez un tercio del resto y la tercera vez pagó 24 euros. ¿Cuál era su precio?
19. Un automóvil, al salir de viaje, lleva una cierta cantidad de gasolina. El viaje lo hace en dos etapas: En
la primera consume 2/5 de la gasolina y en la segunda 1/3 de lo que quedaba, llegando al final del
trayecto con 16 litros. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?