EL TRIÁNGULO DE PASCAL

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EL TRIÁNGULO DE PASCAL
El Triángulo de Pascal1 es una disposición de números con forma de triángulo,
construida de tal manera que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente
superiores a él, y donde inicialmente se coloca el número 1 en los lados exteriores.
Al Triángulo de Pascal también se le conoce como el Triángulo de Tartaglia.2
Los elementos de las dos primeras filas también son unos:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
8
2
4
6
3
10
21
4
20
fila 3
1
5
15
35
70
fila 2
1
10
35
56
fila 1
1
6
15
28
1
3
5
fila 0
1
6
21
56
fila 4
fila 5
1
7
28
fila 6
1
8
fila 7
1
etc. etc. etc.
fila 8
fila 9
No es, estrictamente, una figura geométrica con 3 ángulos y 3 lados: es una
tabla numérica infinita de forma triangular, que posibilita que permite resolver toda
una gama de problemas de cálculo; además, es una figura elegante y curiosa a la
vez, llena de características, particularidades y regularidades, algunas de las cuales
vamos a ir viendo. Para entendernos mejor, unas consideraciones previas:

El vértice superior comienza con un 1.

En los lados del triángulo también se escriben unos.

Diagonales → son las líneas paralelas a los lados del triángulo.

Filas → son las líneas horizontales del triángulo.

Las filas del triángulo se numeran empezando por la 0, no la 1.

Todas las filas son simétricas respecto a la bisectriz del triángulo.

Cada fila tiene tantos números más 1, como indica el número de la fila;
por ejemplo, la 5ª fila tiene 5+1= 6 números.
1
Blaise Pascal, matemático y filósofo francés del siglo XVII, popularizó el
Triángulo.
2
Niccolo Fontana, gran matemático italiano del siglo XVI. Tartaglia significa
“tartamudo”, en italiano, que lo era, debido a un accidente infantil.
1
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EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Una de las razones de la importancia del Triángulo de Pascal o de Tartaglia, es
su relación con el BINOMIO DE NEWTON que permite un rápido y fácil cálculo de
binomios elevados a cualquier exponente natural. Para ello, debes acudir al
documento correspondiente.

PROPIEDADES
El Triángulo de Pascal tiene innumerables propiedades, y vamos a ver algunas
de ellas. Puedes buscar otras más.

SUMA DE LOS NÚMEROS DEL TRIÁNGULO
La suma de los números de cada fila es igual al doble de la anterior.
Y además, son sucesivas potencias de 2 con exponente natural.
Por ejemplo, en las 6 primeras filas tenemos:
1
1
1
1
1
1
5
1
2
3
4
 fila 0
 fila 1
1
3
6
 fila 2
1
4
10 10
 fila 3
1
5
 fila 4
1
 fila 5
En general, la suma de todos los números de una fila y de los números de la fila
que están por encima de ellas es igual a:
Por ejemplo, la suma de todos los números de la fila 3 y de los números que
están por encima de ella, sería, vista de 3 formas:
1.
2.
3. Con nuestra fórmula:

NÚMEROS PRIMOS
Si el primer elemento de una fila, sin contar el 1 con que empiezan y terminan
todas, es un número primo, entonces todos los números de esa fila serán divisibles
por él.
Por ejemplo, si volvemos al primer Triángulo y tomamos la fila 7, vemos que el
primer número es el propio 7; y los demás números, exceptuando los extremos,
son: {7, 21, 35, 35, 21, 7}. Es decir, son todos divisibles por el 7 inicial.
Puedes comprobarlo con cualquier otra fila que comience por número primo.
2
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
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LAS POTENICAS DE 11
En este caso, SÓLO PARA LAS 5 PRIMERAS FILAS, el número formado por las
cifras que indican cada fila del Triángulo de Pascal representa las sucesivas
potencias de 11 de exponente natural.
Viéndolo más concretamente:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
1
4
10 10
1
5
1
Como se ve, funciona para las primeras 5 filas únicamente (contando la fila 0,
como la primera, ¡recuerda!)

OTROS “TRIÁNGULOS”
Aparte del “Rectángulo de Tartaglia”, existen otros triángulos, como el numérico,
el de Leibniz…
El TRIÁNGULO ARMÓNICO DE LEIBNIZ
3
está formado por números
racionales (fracciones), y sus propiedades son similares al de Pascal.
Los números situados en los “laterales” del triángulo, en vez de unos, son los
inversos de la sucesión de los números naturales:
etc.
Aparte de eso, otra gran diferencia es que cada número es igual a la suma de los
dos que tiene por debajo de él.
etc. etc.
3
Leibniz fue un gran matemático alemán de los siglos XVII y XVIII, y cuya
mayor aportación a esta ciencia exacta fue el desarrollo del cálculo infinitesimal.
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