Maximización de beneficio, minimización de coste y la función de

Maximización de benecio, minimización de
coste y la función de coste
December 12, 2011
8.1
1.
1/4
f (λL, λK) = (λL)
(λK)
1/2
K /}2 = λ /4 f (K, L) < λf (K, L)
= λ /4 λ /2 |L /4{z
1
1
1
1
3
f (K,L)
La función de producción exhibe rendimientos decrecientes a escala.
2.
M in{L,K} CT = wL + rK
s.a. L /4 K
1
1/2
=Y
Utilizaremos el método de sustitución (también se puede aplicar el método
lagrangiano). Primero despejamos en la restricción L en función de K :
4
1
L = Y K − 2 = Y 4 K −2
A continuación lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones:
M in{L,K} CT = w Y 4 K −2 + rK
Entonces:
∂CT
=0
∂K
1
−2wY 4 K −3 + r = 0
r = 2wY 4
1
K3
La demanada condicionada del capital es:
K(w, r, Y )=
2wY 4
r
1/3
Para encontrar la demanda condicionada del trabajo repetimos el proceso
despejando la restricción K en función de L :
2
1
1
K = Y L− /4 = Y 2 L− /2
lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones:
M in{L,K} CT = wL + rY 2 L− /2
1
Entonces:
∂CT
=0
∂L
1
3
w − rY 2 L− /2 = 0
2
w=
rY 2
2L3/2
La demanda condicionada del trabajo es:
rY 2
L(w, r, Y )=
2w
2/3
3.
CT = wL + rK
Sustituimos las demandas encontradas en el apartado anterior:
CT = w
rY 2
2w
2/3
+r
2
2wY 4
r
1/3
− /3 /3
CT = 2− /3 |w1 w
{z }r Y
2
2
2
4/3
w1/3
− /3 /3 /3
+ r|1 r{z
}2 w Y
1
1
1
4/3
r 2/3
Sacamos factor común:
CT = r
2/3
Y
4/3
w
1/3
1
22/3
|
+2
{z
1/3
}
3
2
2 /3
Coste medio:
CM e =
CT
Y
1/3
2
CM e = Y
w /3 r /3
1
3
22/3
Coste Marginal:
∂CT
∂Y
1/3
3
22 1/3 1/3 2/3
4
1
2
Y w r
CM g =
= 2 /3 Y w /3 r /3
3
22/3
CM g =
8.2
1.
RT S(L,K) = −
∂F/∂L
P M gL
= − ∂F
/∂K
P M gK
Calculemos la RTS para f (L, K) = 3L1/3 K 1/3
1
RT S(L,K) = − 31
3
3L−2/3 K 1/3
L−2/3 K 1/3
K
=
−
=−
L
L1/3 K −2/3
3L1/3 K −2/3
La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá
que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K
para mantener constante la producción.
3
2.
1/3
f (λL, λK) = 3 (λL)
(λK)
1/3
3
K /}3 = λ /3 f (K, L) < λf (K, L)
= λ /3 λ /3 |3L /{z
1
1
1
1
2
f (K,L)
La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.
3.
Las funciones de productividad marginal de L y K son:
P M gL =
∂F
2
1
= L− /3 K /3
∂L
P M gK =
∂F
1
2
= L /3 K − /3
∂K
Las funciones de productividad media de L y K son:
P M eL =
f (K, L)
3L1/3 K 1/3
1
2
=
= 3L− /3 K /3
L
L
P M eK =
f (K, L)
3L1/3 K 1/3
1
2
=
= 3L /3 K − /3
K
K
4.
El problema de maximización de benecios de la empresa es:
M ax{L,K} Π : p f (K, L) − wL − rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
2
1
= 0 → p L− /3 K /3 = w
∂L
∂Π
1
2
= 0 → p L /3 K − /3 = r
∂K
Cojo la segunda ecuación:
p L /3 K − /3 = r
1
2
4
L /3 =
rK 2/3
p
L /3 =
r2 K 4/3
p2
1
2
lo sustituyo en la primera ecuación:
pK 1/3
r 2 K 4/3
p2
=w
p3
=w
r2 K
K(w, r, p) =
p3
r2 w
Entonces:
L /3 =
2
r3
L(w, r, p) =
r2
p3
r2 w
p3
r2 w
4/3
p2
2
=
p3
r 3 p6
r 4 p3 w 2
5.
K(2, 1, 2) =
23
=4
12 2
L(2, 1, 2) =
23
=2
22
Cantidad ofrecida de producto:
f (2, 4) = 3 · (2) /3 (4) /3 = 6
1
5
1
=
p3
rw2
8.3
1.
Calculemos la RTS para f (L, K) = 4L1/4 K 1/4
1
RT S(L,K) = − 41
4
4L−3/4 K 1/4
K
L−3/4 K 1/4
=−
=
−
L
L1/4 K −3/4
4L1/4 K −3/4
La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá
que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K
para mantener constante la producción.
2.
1/4
f (λL, λK) = 4 (λL)
(λK)
1/4
/2
/4
/4
= λ /4 λ /4 4L
| {zK } = λ f (K, L) < λf (K, L)
1
1
1
1
1
f (K,L)
La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.
3.
Las funciones de productividad marginal de L y K son:
P M gL =
∂F
1
−3
= L /4 K /4
∂L
P M gK =
∂F
1
−3
= L /4 K /4
∂K
Las funciones de productividad media de L y K son:
P M eL =
f (K, L)
4L1/4 K 1/4
3
1
=
= 4L− /4 K /4
L
L
P M eK =
f (K, L)
4L1/4 K 1/4
1
3
=
= 4L /4 K − /4
K
K
6
4.
El problema de maximización de benecios de la empresa es:
M ax{L,K} Π : p f (K, L) − wL − rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
−3
1
= 0 → p L /4 K /4 = w
∂L
∂Π
1
−3
= 0 → p L /4 K /4 = r
∂K
Cojo la segunda ecuación:
p L /4 K
1
−3/4
=r
L /4 =
rK 3/4
p
L /4 =
r3 K 9/4
p3
1
3
lo sustituyo en la primera ecuación:
pK 1/4
r 3 K 9/4
p3
p4
=w
=w
r3 K 2
K(w, r, p) =
p2
r w1/2
3/2
Entonces:
L /4 =
3
r4
L(w, r, p) =
r3
p2
9/4
p2
r 3/2 w1/2
p3
3
r 3/2 w1/2
=
p4
7
r 4 p6
p2
= 1/2 3/2
3/2
4
r p w
r w
9/2
5.
K(4, 4, 4) =
42
=1
4 41/2
L(4, 4, 4) =
42
=1
41/2 43/2
3/2
Cantidad ofrecida de producto:
f (1, 1) = 4 · (1) /4 (1) /4 = 4
1
8
1
8.4
(a)
1.
2.
M ax{L,K} Π : p L /4 K
1
1/2
− wL − rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
1 −3
1
= 0 → p − L /4 K /2 = w
∂L
4
∂Π
1 1
−1
= 0 → p − L /4 K /2 = r
∂K
2
9
De la segunda ecuación saco:
p L /4 K − /2 = 2r
1
1
2r
pL1/4
K − /2 =
1
K
1/2
pL1/4
2r
=
Sustituyo en la primera ecuación:
1 −3
p − L /4
4
pL1/4
2r
=w
p2 L−1/2
=w
8r
8rw
p2
L− /2 =
1
p2
8rw
L /2 =
1
p4
(8wr)2
L(w, r, p) =
Entonces:
K
1/2
p
=
p4
(8wr)2
1/4
2r
p
=
K(w, r, p) =
p
(8wr)1/2
2r
p4
4r2 8rw
=
=
p2
2r(8wr)1/2
p4
32r3 w
Oferta de producto:
Y (w, r, p) =
p4
(8wr)2
1/4 p4
32r3 w
1/2
=
p
(8rw)
·
1/2
p2
p3
=
1
1
321/2 r3/2 w1/2
8| /2{z
32 /}2 r2 w
16
10
3.
M in{L,K} CT : wL + rK
s.a. L /4 K
1
1/2
=Y
Usaremos el método lagrangiano:
L(L, K, λ) = wL + rK − λ(L /4 K
1
1/2
−Y)
Las tres condiciones de primer orden son:

∂L
1
−3/4 1/2

K =0
 ∂L = 0 → w − 4 λL
1
∂L
1
/4 −1/2
=0
∂K = 0 → r − 2 λL K

 ∂L
1/4
1/2
=
0
→
L
K
−
Y
=
0
∂λ
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K :
wL =
1 −3/4
1
1
λL
L K /2 = λY
4 | {z }
4
L1/4
|
{z
}
Y
rK =
1 1/4 −1/2
1
λL |K {z K} = λY
2
2
K 1/2
|
{z
}
Y
Entonces:
L=λ
Y
4w
K=λ
Y
2r
Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:
Y
λ
4w
λ( /4+ /2) Y
1
λ /4 =
1
1/4
Y
3
Y
1/4
(4w) −1/4 Y 1/2
1/4 Y
λ
2r
(4w) − /4 Y
1
=Y
1/2
(2r) − /2 = Y
= Y Y − /4 (4w)
1
(2r) −1/2
1/2
11
1
1/4
Y − /2 (2r)
1
1/2
=Y
1/4
(4w)
1/4
(2r)
1/2
4/3
1
2
1
1
1
1
= Y /3 (4w) /3 (2r) /3
λ = Y /4 (4w) /4 (2r) /2
Sustituyo λ en L y K :
Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3 Y
Y 4/3 (2r) 2/3
=
=
4w
(4w) 2/3
L(w, r, Y ) =
K(w, r, Y ) =
2/3 4/3 2/3
1
Y r
2
w2/3
4/3
Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3 Y
w1/3
Y 4/3 (4w) 1/3
1/3 Y
=
2
=
2r
(2r) 1/3
r1/3
La función de costes a largo plazo será:
CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )
2/3 4/3 2/3
4/3
1
Y r
w1/3
1/3 Y
+
r
2
2
w2/3
r1/3
2/3
1
1
1
4
2
1
2
4
=
Y /3 r /3 w /3 + 2 /3 Y /3 r /3 w /3
2
=w
Sacamos factor común:
CTlp (w, r, Y ) =
!
2/3
2/3
1
1 + 21/3 22/3
3
1/3
4
2
1
4/3 2/3
1/3
4
2
1
+2
Y /3 r /3 w /3 =
Y
r
w
=
Y /3 r /3 w /3
2
22/3
22/3
4.
Función de oferta:
M ax{L,K} Π : p Y −
3
22/3
|
c.p.o =
p−
Y /3 r /3 w /3
{z
}
4
CT
∂Π
=0
∂Y
4 3 1/3 2/3 1/3
Y r w =0
3 22/3
Y
1/3
=
p
4
22/3
12
r
2/3
w1/3
2
1
Y (w, r, p) =
p3
16 r2 w
Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.
5.
Nos esta hablando de la elasticidad:
4CT/CT
εCTlp ,w =
εCTlp ,w =
1
3
4w/w
=
4CT w
4w CT
3
Y 4/3 r2/3 w−2/3 w
1
=
4/3 2/3
1/3
3
3
Y r w
22/3
22/3
Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades
se incrementa en 1/3%.
6.
A corto plazo el capital es jo:
M inCT = wL + rK
s.a. L /4 K
1
1/2
=Y
Aislamos L en la restricción:
L=K
−2
Y4
la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a
corto plazo:
CTcp (w, r, Y ) = w Y 4 K
−2
+ rK
7.
CTcp (1, 1, Y ) = CTlp (1, 1, Y )
4 −2
1Y 1
+1=
3
22/3
13
Y
4/3
1 /3 1 /3
2
1
(b)
1)
2.
M ax{L,K} Π : p L /3 K
1
2/3
− wL − rK
las condiciones de primer orden son:
∂Π
1 −2
2
= 0 → p − L /3 K /3 = w
∂L
3
2 1
∂Π
−1
= 0 → p − L /3 K /3 = r
∂K
3
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K :
14
1 −2
2
p |L {z/3 L}K /3 = wL
3
L1/3
2 1
−1/3
p L /3 K
| {z K} = rK
3
K 2/3
Suponiendo que Y = L1/3 K 2/3 reformulamos estas expresiones:
1
p Y = wL
3
2
p Y = rK
3
Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:
L=
pY
3w
K=
2pY
3r
Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción:
L /3 K
1
pY
3w
1/3 2/3
=Y
2pY
3r
2/3
=Y
Sacamos factor común:
Y
1/3+2/3
p 1/3 2p 2/3
=Y
3w
3r
p 1/3 2p 2/3
=0
3w
3r
¾Que problema hay? Cuando la empresa tiene redimientos constantes de
escala la función de oferta no está bien denida. Esta empresa es indeferente en
cuanto a su nivel de producción.
15
(c).
1.
2.
M ax{L,K} Π : p L /4 K
3
3/4
− wL − rK
las condiciones de primer orden son:
3 −1
∂Π
3
= 0 → p − L /4 K /4 = w
∂L
4
3 3
∂Π
−1
= 0 → p − L /4 K /4 = r
∂K
4
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K :
16
3 −1
3
p |L {z/4 L}K /4 = wL
4
L3/4
3 3
−1/4
p L /4 K
| {z K} = rK
4
K 3/4
Suponiendo que Y = L3/4 K 3/4 reformulamos estas expresiones:
3
p Y = wL
4
3
p Y = rK
4
Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:
L=
3 pY
4 w
K=
3 pY
4 r
Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción:
L /4 K
3
Y
3 pY
4 w
3/4 3/4+3/4
3 p
4 w
Y − /2 =
1
Y
1/2
=
Y (w, r, p) =
3/4
3 pY
4 r
3/4 3 p
4 w
3 p
4 w
3 p
4 w
=Y
3/4
=Y
3 p
4 r
3/4 −3/4 −3/2 17
3/4
3 p
4 r
3 p
4 r
3 p
4 r
=Y
3/4
−3/4
−3/2
3/2
=
(w r)
3
3
4 p
3.
M in{L,K} CT : wL + rK
s.a. L /4 K
3
3/4
=Y
Usaremos el método lagrangiano:
L(L, K, λ) = wL + rK − λ(L /4 K
3
3/4
−Y)
Las tres condiciones de primer orden son:

∂L
3
−1/4 3/4

K =0
 ∂L = 0 → w − 4 λL
3
∂L
3
/4 −1/4
=0
∂K = 0 → r − 4 λL K

 ∂L
3/4
3/4
=
0
→
L
K
−
Y
=
0
∂λ
Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K :
wL =
3 −1/4
3
3
λL
L K /4 = λY
4 | {z }
4
L3/4
|
{z
}
Y
rK =
3 3/4 −1/4
3
λL |K {z K} = λY
4
4
K 3/4
|
{z
}
Y
Entonces:
L=λ
3Y
4w
K=λ
3Y
4 r
Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:
3/2
λ
3Y
λ
4w
3Y
λ
4r
3/4
=Y
3/2
3
3
3
3
Y /2 w− /4 r− /4 = Y
4
3/2
λ
3/4 −3/2
3
1
3
3
=
Y − /2 w /4 r /4
4
18
−1
3
1
1
1
Y − /3 w /2 r /2
λ=
4
Sustituyo λ en L y K :
−1
3
3Y
1
1
1
2
1
1
Y − /3 w /2 r /2
= Y /3 w− /2 r /2
4
4w
−1
3Y
3
1
1
1
2
1
1
Y − /3 w /2 r /2
K(w, r, Y ) =
= Y /3 w /2 r− /2
4
4 r
L(w, r, Y ) =
La función de costes a largo plazo será:
CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )
=wY
2/3
w− /2 r /2 + r Y
1
1
2/3
w /2 r− /2 = 2Y
1
1
2/3
w /2 r /2
1
1
4.
Función de oferta:
M ax{L,K} Π : p Y − |2Y
c.p.o =
p=
Y
1/3
2/3
/2 /2
w
{z r }
1
1
CT
∂Π
=0
∂Y
4 −1/3 1/2 1/2
w r
Y
3
=
4 1/2 1/2 −1
w r p
3
3/2
Y (w, r, p) =
(w r)
3
3
4 p
Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.
19
5.
Nos esta hablando de la elasticidad:
1
2
εCTlp ,w =
2Y 2/3 w−1/2 r1/2 w
1
=
2/3
1/2 1/2
2
2Y w r
Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades
se incrementa en 1/2%.
6.
A corto plazo el capital es jo:
M inCT = wL + rK
s.a. L /4 K
3
3/4
=Y
Aislamos L en la restricción:
L=K
−1
Y
4/3
la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a
corto plazo:
CTcp (w, r, Y ) = w K
−1
Y
4/3
+ rK
7.
CTcp (1, 1, Y ) = CTlp (1, 1, Y )
Y
Y
4/3
4/3
+ 1 = 2Y
− 2Y
2/3
2/3
+1=0
Tenemos una ecuación de segundo grado:
∗
Y =
2±
p
4 − 4(1)(1)
=1
2
20
(d)
1.
2.
La empresa tiene rendimientos constantes de escala.
21
(e)
1.
2.
La empresa tiene rendimientos constantes de escala.
8.5
M ax{L} Π : pL /2 K
1
c.p.o :
1/2
− wL − rK
∂Π
=0
∂L
1/2
1/2 pL−1/2 K
22
−w =0
2w
L− /2 =
1
pK
1/2
1/2
L /2 =
1
pK
2w
L(w, p) =
p2 K
(2w)2
Función de oferta:
Y (w, p) =
p2 K
(2w)2
1/2
K
1/2
=
pK
1/2
K
2w
1/2
=
pK
2w
• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del factor trabajo w en la oferta ?
pK
∂Y
=−
∂w
2
p y K son positivos por lo tanto un aumento de w disminuye la producción.
• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del producto p en la oferta ?
∂Y
K
=
∂p
2w
w y K son positivos por lo tanto un aumento de p aumenta la producción.
8.6
M ax{Y } Π : pY − Y 3 + 7Y 2 − 17Y − 66
c.p.o :
∂Π
=0
∂Y
Entonces:
p − 3Y 2 + 14Y − 17 = 0
Reescribimos:
23
−3Y 2 + 14Y − (17 − p) = 0
Tenemos una ecuación de segundo grado:
Y =
−14 ±
p
√
142 − 4(−3)(−17 + p)
14 + 12p − 8
=
, para p ≥ 2/3
2(−3)
6
Gráco:
8.7
1.
f (λL) = (λL)α = λα Lα
Es una función homogénea de grado α.
2.
Y = Lα
24
L=Y
1/α
CT = w Y
1/α
3.
CM g =
1
(1−α)/α
wY
α
4.
CM e =
w Y 1/α
(1−α)/α
= wY
Y
Sí es cierto.
8.8
1.
M in{L,K} 2L + K
s.a. 27L2 K = Y
Utilizamos el lagrangiano:
L(L, K, λ) = 2L + K − λ(27L2 K − Y )
Condiciones de primer orden:
2 − 2λ27LK = 0 → 27LK =
1 − λ27L2 = 0 → 27L2 =
1
λ
1
λ
27L2 K − Y = 0 → 27L2 K = Y
Igualamos la primera y segunda ecuación:
27LK = 27L2
25
K=L
Sustituimos en la tercera ecuación:
27L2 L = Y
L=
Y
27
K=
1/3
Y
27
1/3
Costes Totales:
CT = 2
Y
27
1/3
+
Y
27
26
1/3
=3
Y
27
1/3
2.
CM e = 3
CM g =
1
27
1
27
1/3
1/3
Y − /3
Y − /3
3.
M in{L,K} 2L + K
s.a. 27L2 K = Y
Aislamos K en la restricción:
K=
Y
27L2
27
2
2
y lo sustituimos en la función objetivo:
2L +
Y
27L2
Derivamos con respecto a L e igualamos a zero:
2−
2Y
=0
27L
Y
27
L=
Costes Totales:
CT =
2
Y +1
27
4.
CM e =
2
1
+
27 Y
28
CM g =
29
2
27