Estática del sólido rígido

EU
AT
4.1.
LIC
AD
Estática del sólido rı́gido
AI
I-
Capı́tulo 4
Introducción
TO
.
FIS
I
CA
AP
La estática del sólido rı́gido es un tema central dentro del programa de la
asignatura de Fundamentos Fı́sicos de la Arquitectura Técnica. Empezaremos
recordando qué conceptos de los que vamos a manejar han sido introducidos
en capı́tulos anteriores.
En el capı́tulo 2 admitı́amos que las fuerzas se comportan como vectores.
Enunciábamos las leyes de Newton y las condiciones de equilibrio de un punto
material libre. Introducı́amos el concepto de ligadura y el principio de liberación,
que nos facilitaba el estudio del equilibrio de sistemas de puntos materiales
sometidos a ligaduras. También allı́ aparecı́an por vez primera los conceptos de
configuración y grados de libertad de un sistema mecánico.
En el capı́tulo 3 definı́amos sólido rı́gido como es un sistema de puntos
materiales en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellos no cambia ante
la acción de un sistema de fuerzas. Veı́amos que las fuerzas aplicadas a sólidos
rı́gidos se comportan como vectores deslizantes (principio de transmisibilidad).
Mostrábamos que cualquier sistema de fuerzas aplicadas sobre un sólido rı́gido
siempre se puede reducir a una fuerza y un par.
Equilibrio del sólido rı́gido libre
4.2.1.
Sólido rı́gido libre
DP
4.2.
Un sólido rı́gido libre es aquél que no está sometido a ligaduras externas,
es decir, vı́nculos que lo liguen a otros cuerpos. Debe notarse que entre las
partı́culas del sólido rı́gido sı́ existen ligaduras (internas).
101
sólido rı́gido libre
Estática del sólido rı́gido
F1
F2
Fn
AI
y
O
x
O
Fi
fij
j
y
x
Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio
LIC
4.2.2.
F3
AD
FIGURA 4.1: Sólido rı́gido inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial y sobre
el que actúa un conjunto de n fuer2 , . . . , F
n (izda.).
1 , F
zas exteriores F
Algunas de las fuerzas que actúan
sobre la partı́cula i del sólido rı́gido
(dcha.).
i
z
I-
z
EU
AT
102
AP
Iniciaremos el estudio de la estática del sólido rı́gido discutiendo las condiciones que deben satisfacerse para garantizar el equilibrio del sólido rı́gido libre
en el espacio. En el capı́tulo 2 decı́amos que un punto material se encuentra
en equilibrio si su posición respecto a un sistema de referencia inercial elegido
permanece invariable a lo largo del tiempo. Para que ası́ fuese, mostramos que
es necesario y suficiente con que:
El punto material esté inicialmente en reposo respecto del sistema de
referencia inercial elegido.
CA
La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material sea
nula.
FIS
I
Basándonos en este hecho, introduciremos a continuación las condiciones que
se requieren para mantener en equilibrio un sólido rı́gido.
DP
TO
.
Condiciones necesarias de equilibrio
Supongamos un sólido rı́gido que está inicialmente en reposo respecto a un
sistema de referencia inercial y sobre el que actúa un conjunto de n fuerzas exteriores F1 , F2 , . . . , Fn (fig. 4.1 izda.). Consideremos las fuerzas que actúan sobre
una cualquiera de las N partı́culas que forman ese sólido rı́gido, la partı́cula i.
Sobre ésta actúan dos tipos de fuerzas (fig. 4.1 dcha.):
Las fuerzas externas, que son aquéllas debidas a la presencia de campos
externos (gravitatorio, eléctrico, magnético) o al contacto con cuerpos
adyacentes o con otras partı́culas que no forman parte del sólido rı́gido.
i a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre
Llamaremos F
la partı́cula i.
Las fuerzas internas, que son aquéllas que ejercen sobre una partı́cula
del sólido rı́gido las restantes partı́culas que lo forman. En el caso de
un sólido rı́gido las fuerzas internas son las que mantienen unidas y a
distancia invariable las partı́culas del sólido rı́gido. Denotaremos por fij
103
la fuerza que la j-ésima partı́cula ejerce sobre la i-ésima, y por fi la
resultante de todas las fuerzas internas sobre la partı́cula i,
fi =
N
fij .
(4.1)
I-
j=1
(j=i)
Si la partı́cula i está en equilibrio, por la primera ley de Newton,
i + fi = 0.
F
AI
(4.2)
Al aplicar la primera ley de Newton a las demás partı́culas obtendremos
ecuaciones similares. Sumándolas todas ellas, obtendremos
i +
F
i=1
N
fi = 0.
AD
N
(4.3)
i=1
LIC
Además, por la tercera ley de Newton sabemos que las fuerzas internas en el
sólido rı́gido ocurren en pares de la misma magnitud y de sentidos opuestos,
es decir, fij = −fji . Por tanto la resultante de las fuerzas internas ha de ser el
vector nulo,
N
(4.4)
fi = 0.
i=1
FIS
I
CA
AP
El sistema de fuerzas externas que actúan sobre el sólido rı́gido es equi i de las fuerzas externas que actúan
valente al formado por las resultantes F
sobre los N puntos materiales que forman el sólido rı́gido. Sin embargo, no es
ésta la forma usual de describir un sistema de fuerzas externas cuando se estudia un problema real de Estática del sólido rı́gido. Lo habitual es considerar
que el sólido es un único objeto extenso sobre el que actúa un conjunto de
fuerzas externas, discretas y continuas (que reducimos a discretas), las Fj que
introducı́amos al principio, varias de las cuales podrı́an actuar sobre la misma
partı́cula. Teniendo en cuenta que la suma extendida a todas las partı́culas de
las fuerzas externas que se ejercen sobre cada una de ellas no es más que la
suma de las n fuerzas externas que actúan sobre el sólido rı́gido,
N
i =
F
i=1
n
Fj .
(4.5)
j=1
TO
.
Por tanto, usando además las ecs. (4.3) y (4.4), la primera condición que debe
satisfacer un sólido rı́gido en equilibrio:
n
Fi = 0,
(4.6)
i=1
es decir, que la suma de las fuerzas externas sea el vector nulo.
Otra condición necesaria para el equilibrio del sólido rı́gido es la que se
deduce del siguiente razonamiento. Consideremos ahora los momentos de las
fuerzas que actúan sobre la partı́cula i en un punto arbitrario O. Utilizando la
ec. (4.2) y la propiedad distributiva del producto vectorial obtenemos:
i + fi = ri × F
i + ri × fi = 0.
ri × F
(4.7)
DP
AT
Equilibrio del sólido rı́gido libre
EU
4.2
Estática del sólido rı́gido
AT
104
N
i +
ri × F
i=1
N
i=1
EU
Podemos obtener ecuaciones análogas para las restantes partı́culas del sólido
rı́gido. Sumándolas todas, tenemos:
ri × fi = 0.
(4.8)
I-
El segundo término es nulo puesto que las fuerzas internas ocurren en pares
colineales, iguales en módulo pero de sentidos opuestos, y el momento de cada
uno de estos pares en el punto O es nulo. De ahı́ que utilizando la notación
AI
O (F
i ) = ri × F
i ,
M
(4.9)
podemos escribir la ec. (4.8) como
O (F
i ) = 0,
M
AD
N
(4.10)
i=1
LIC
j es equivalente al que forman
o, recordando que el sistema que forman las F
las Fi , como
n
O (Fi ) = 0,
M
(4.11)
i=1
es decir, que la suma de los momentos de las fuerzas externas sea el vector nulo.
AP
Condiciones suficientes de equilibrio
DP
TO
.
FIS
I
CA
Hasta ahora, todo lo que hemos dicho es aplicable no sólo a un sólido rı́gido
sino también a un sistema de puntos materiales que no formen un sólido rı́gido.
Es decir, las ecs. (4.6) y (4.11) son condiciones necesarias para el equilibrio, no
sólo de un sólido rı́gido, sino también para el de cualquier sistema de puntos
materiales. Ahora vamos a demostrar que las ecs. (4.6) y (4.11) son condiciones
suficientes para garantizar el equilibrio del sólido rı́gido (pero no de un sistema
arbitrario de puntos materiales).
Por reducción al absurdo. Supongamos que se verifican las ecs. (4.6) y (4.11)
y que el sólido rı́gido está inicialmente en reposo pero no en equilibrio. Aceptemos además que para conseguir que un sólido rı́gido que no está en equilibrio
pase a estar en equilibrio basta con aplicar una fuerza F y un momento M
adicionales. Obsérvese que esta suposición no es válida en general para un sistema de puntos que no sea un sólido rı́gido, ya que entonces las fuerzas aplicadas
no se pueden representar por vectores deslizantes (sino por vectores ligados).
Por el mismo razonamiento seguido antes, en el equilibrio se debe cumplir que:
F +
+
M
n
n
Fi = 0,
(4.12)
O (Fi ) = 0.
M
(4.13)
i=1
i=1
Pero si se han de cumplir estas dos ecuaciones y se cumplı́an las ecs. (4.6)
y (4.11), ello quiere decir que:
F = 0,
= 0.
M
(4.14)
(4.15)
105
Por tanto, si el sistema de fuerzas que habrı́a que añadir es nulo, es que las
condiciones (4.6) y (4.11), por sı́ solas, garantizaban el equilibrio.
Resumen
Un sólido rı́gido libre estará en equilibrio siempre y cuando:
AT
Equilibrio del sólido rı́gido libre
EU
4.2
I-
Todas las partı́culas del sólido estén inicialmente en reposo respecto del
sistema de referencia inercial.
AI
La resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rı́gido sea
nula.
AD
La suma de los momentos de todas las fuerzas externas en un punto sea
nula.
Las ecs. (4.6) y (4.11) son dos ecuaciones vectoriales que podemos escribir como
6 ecuaciones escalares. Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas:
i=1
n
Fxi = 0,
LIC
i=1
n
Fyi = 0,
Fzi = 0,
i=1
AP
n
(4.16)
(4.17)
(4.18)
n
i=1
n
MOx (Fi ) = 0,
(4.19)
MOy (Fi ) = 0,
(4.20)
FIS
I
i=1
n
CA
donde Fxi es la componente según la dirección x de la fuerza externa Fi , etc.,
y
MOz (Fi ) = 0,
(4.21)
i=1
Equilibrio del sólido rı́gido en el plano
DP
4.2.3.
TO
.
donde MOx (Fi ) es la componente según la dirección x del momento de la fuerza
externa Fi en el punto O, MO (Fi ), etc. Las ecs. (4.16)–(4.18) garantizan que
no se altera el equilibrio por movimientos de traslación, y las ecs. (4.19)–(4.21)
que no lo hace por movimientos de rotación. Otras elecciones de coordenadas
conducirı́an a expresiones diferentes para las ecuaciones de equilibrio.
Importancia del caso plano
En este texto nos vamos a limitar al estudio del sólido rı́gido plano por su
mayor sencillez. Además, en muchos casos es posible estudiar la Estática de
un sistema espacial analizando la estática de un sólido rı́gido plano sometido
a un sistema de fuerzas contenido en ese mismo plano. Esto ocurre cuando el
Estática del sólido rı́gido
AT
106
EU
sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido rı́gido espacial puede reducirse a
un sistema de fuerzas coplanario, por ejemplo:
(a) Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el sólido rı́gido están contenidas en un plano.
I-
(b) Cuando la disposición de fuerzas que actúan sobre el sólido rı́gido sea
simétrica respecto de un plano.
AI
(c) Cuando la distribución de fuerzas que actúan sobre el sólido rı́gido tenga
simetrı́a traslacional.
(d) Cuando se estudien las fuerzas del sólido sobre un plano dado1 .
LIC
AD
Numerosos problemas en Arquitectura Técnica caen en alguno de esos casos,
de ahı́ que dediquemos especial atención al equilibrio de sólidos rı́gidos planos
sometidos a sistemas de fuerzas contenidos en ese mismo plano. Por otro lado,
el estudio de los sistemas planos también es útil en la medida que sirve de
introducción al estudio de la estática de los sistemas espaciales.
Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio del sólido rı́gido en el plano
Fzi = 0,
MOx (Fi ) = 0,
MOy (Fi ) = 0,
(4.22)
(4.23)
(4.24)
CA
AP
Las condiciones establecidas antes para el equilibrio de un sólido rı́gido se
simplifican considerablemente en el caso de un plano. Eligiendo los ejes x e y
en el plano del sólido, se tiene
DP
TO
.
FIS
I
para cada una de las fuerzas exteriores aplicadas al sólido. Nótese que las
ecs. (4.23) y (4.24) son ciertas siempre que el punto O sea un punto del plano
del sólido (mientras que en las ecs. (4.19) y (4.20) eran ciertas en un punto
arbitrario del espacio).
Las 6 ecuaciones de equilibrio (4.16)–(4.21) se reducen, por tanto, a 3 ecuaciones:
n
Fxi = 0,
(4.25)
Fyi = 0,
(4.26)
MOz (Fi ) = 0.
(4.27)
i=1
n
n
i=1
i=1
El punto O es un punto arbitrario del plano del sólido.
En resumen, las condiciones necesarias y suficientes de equilibrio para un
sólido rı́gido plano son:
1 En este último caso, las condiciones de equilibrio plano que se enunciarán a continuación
para un sólido plano son necesarias pero no suficientes para garantizar el equilibrio del sólido
espacial. En los tres casos anteriores son necesarias y suficientes.
107
Que todas las partı́culas del sólido estén inicialmente en reposo respecto
del sistema de referencia inercial.
I-
Que el sistema de fuerzas exteriores que actúan sobre él sea equivalente
a un sistema nulo, esto es, que su resultante sea nula (que se verifiquen
las ecs. (4.25) y (4.26)) y que su momento sea nulo (que se verifique la
ec. (4.27)).
AT
Equilibrio del sólido rı́gido libre
EU
4.2
i=1
n
MAz (Fi ) = 0,
MBz (Fi ) = 0,
MCz (Fi ) = 0.
LIC
i=1
n
AP
n
AD
AI
Las ecs. (4.25) y (4.26) dan las condiciones bajo las cuales el sólido no experimenta traslaciones según el eje x ni según el eje y, respectivamente. La
ec. (4.27) da la condición bajo la cual el sólido no experimenta rotaciones en el
plano x-y en torno al punto O.
Se puede demostrar que en el caso del sólido rı́gido plano, las condiciones
necesarias y suficientes de equilibrio del sólido rı́gido pueden expresarse, alternativamente, exigiendo que la suma de los momentos en tres puntos del plano
no alineados, A, B y C, sea nula. Esto da lugar nuevamente a 3 ecuaciones
independientes de equilibrio:
i=1
Teorema de las tres fuerzas
(4.28)
(4.29)
(4.30)
CA
Presentaremos ahora un resultado que será de utilidad en numerosos problemas de Estática:
FIS
I
Si un sólido rı́gido se encuentra en equilibrio, sometido a la acción de
tres fuerzas coplanarias y no paralelas, las rectas de acción de éstas se
intersecan en un mismo punto.
DP
TO
.
En efecto, supongamos que un sólido rı́gido se encuentra en equilibrio bajo
la acción de tres fuerzas coplanarias, F1 , F2 y F3 , aplicadas, respectivamente,
en los puntos A1 , A2 y A3 (fig. 4.2). Calculemos los momentos de las tres
fuerzas en el punto de intersección O de las rectas de acción de dos de ellas,
O (F1 ) = M
O (F2 ) = 0. Para que un sólido
por ejemplo F1 y F2 . En ese punto, M
rı́gido esté en equilibrio la suma de todos los momentos debe ser el vector nulo,
O (F3 ) = 0. Por tanto, la recta de
por tanto también debe de ocurrir que M
acción de F3 también debe pasar por O.
Nota 1: La concurrencia de tres fuerzas en un mismo punto implica que la
ecuación de equilibrio de los momentos se satisface en dicho punto. Sin embargo,
no necesariamente ha de satisfacerse la ecuación de equilibrio de las fuerzas.
Nota 2: Un sistema de fuerzas formado por 3 sistemas de fuerzas cada uno
concurrente en un punto diferente puede reducirse a un sistema de tres fuerzas,
cada una de ellas aplicada en uno de esos puntos.
Nota 3: También puede haber equilibrio si las tres fuerzas son paralelas
(intersecan en el infinito) puesto que en esa circunstancia sı́ podrı́a verificarse
la ecuación de momentos.
F1
F2
A1
A2
O
A3
F3
FIGURA 4.2: Sistema de tres fuerzas
coplanarias que actúan sobre un sólido rı́gido.
Estática del sólido rı́gido
AT
108
I-
EU
Nota 4: El adjetivo “coplanarias” puede omitirse en las condiciones del teorema de las tres fuerzas ya que, si un sistema de tres fuerzas está en equilibrio,
estas fuerzas necesariamente han de ser coplanarias.
En efecto, consideremos tres fuerzas F1 , F2 , F3 —no necesariamente coplanarias—, tomemos un punto arbitrario P sobre la recta de acción de F3 . De
la segunda condición de equilibrio (que la suma de los momentos en cualquier
punto debe ser el vector nulo)
AI
P = M
P (F1 ) + M
P (F2 ) = 0,
M
es decir, obtendremos
P (F1 ) = −M
P (F2 ).
M
(4.31)
(4.32)
Grados de libertad de un sólido rı́gido libre en el espacio
CA
4.3.1.
Grados de libertad del sólido rı́gido libre
AP
4.3.
LIC
AD
P (F1 ) y M
P (F2 ) han de estar sobre la misma recta
Por tanto, los vectores M
y tener sentidos opuestos. Recordando la definición de momento de una fuerza
(como producto vectorial del vector posición del punto de aplicación de la fuerza
por el vector fuerza) se puede concluir que el plano subtendido por el vector
F1 y el punto P debe coincidir con el plano subtendido por el vector F2 y el
punto P . Por tanto, F1 , F2 y P están en el mismo plano. Como P es un punto
arbitrario de la recta de acción de F3 , la misma demostración es válida para
cualquier otro punto de la recta de acción de F3 . Por tanto, concluimos que F1 ,
F2 y F3 están en el mismo plano.
TO
.
FIS
I
Como vimos en el capı́tulo 2, el número de grados de libertad de un sistema es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar
completamente su configuración.
Vamos a calcular cuántos grados de libertad tiene un sólido rı́gido libre
en el espacio. Recordemos que un sólido rı́gido es un sistema formado por N
partı́culas tal que la distancia entre dos cualesquiera de esas partı́culas permanece constante. Para ver cuántos grados de libertad tiene un sólido rı́gido
podemos usar el siguiente razonamiento. Para determinar la posición de un
punto A del sólido rı́gido son necesarias tres coordenadas. Conocida la posición
de A, para determinar la posición de un segundo punto B del sólido rı́gido sólo
hacen falta dos coordenadas adicionales, puesto que B está sobre una superficie:
la esfera con centro en A y radio la distancia entre A y B, dAB , que sabemos
que es constante (fig. 4.3 arriba). Finalmente, conocidas las posiciones de A
y B, para determinar la posición de un tercer punto C necesitamos sólo una
nueva coordenada, puesto que C está sobre una curva: la circunferencia que
se obtiene al intersecar la esfera con centro en A y radio dAC con otra esfera
con centro en B y radio dBC (fig. 4.3 abajo). Si A, B y C no están alineados,
cualquier otro punto del sólido rı́gido quedará determinado por las distancias
(fijas y conocidas) entre él y estos tres puntos2 .
DP
FIGURA 4.3: Conocido un punto de
un sólido rı́gido, un segundo punto
está necesariamente sobre una esfera con centro en el primero (arriba).
Conocidos dos puntos, un tercer punto está necesariamente sobre una circunferencia (abajo).
2 El sistema de posicionamiento global (GPS) se basa precisamente en la unicidad de esta
triangulación: las distancias del receptor de GPS a tres satélites emisores de señales de radio
que están en posiciones conocidas permiten determinar la posición del primero.
109
4.3.2.
AP
LIC
AD
AI
I-
Otro razonamiento equivalente es el siguiente: Cuando sólo haya un punto material, su número máximo de grados de libertad será tres. Al añadir un
segundo punto, se podrı́an introducir otros tres grados de libertad, pero si se
encuentra rı́gidamente unido al primero (separación constante) habrá una ecuación de vı́nculo que reducirá estos tres grados de libertad a dos. Ası́ pues, un
cuerpo rı́gido de “dos puntos” podrá tener como máximo cinco grados de libertad. Un tercer punto podrı́a introducir tres más, pero si estuviera fijo respecto
a los otros dos, las dos ecuaciones de vı́nculo reducirı́an estos tres a uno, dando
un total de seis grados de libertad para el cuerpo rı́gido de “tres puntos”. Un
cuarto punto fijo respecto a los tres primeros tendrı́a tres ecuaciones de vı́nculo
que expresaran este hecho, por lo que no introducirá nuevos grados de libertad.
Un quinto punto tendrı́a cuatro ecuaciones de vı́nculo, pero es posible demostrar que sólo tres de ellas son independientes y, por tanto, tampoco introducirı́a
nuevos grados de libertad. Análogamente sucederı́a al añadir los demás puntos
materiales que componen el sólido rı́gido.
En resumen, un sólido rı́gido libre en el espacio tiene seis grados de libertad. La elección de coordenadas independientes no es única. Puede ser, por
ejemplo, las tres coordenadas cartesianas de uno de los puntos, y tres ángulos
que determinen la orientación del sólido en el espacio. Por otro lado, podemos
interpretar los seis grados de libertad de un sólido rı́gido como, por ejemplo,
la posibilidad de desplazamientos según los tres ejes coordenados y rotaciones
respecto de dichos ejes.
AT
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
EU
4.4
Grados de libertad de un sólido rı́gido libre en el plano
TO
.
FIS
I
CA
Vamos a ver cuántos grados de libertad tiene un sólido rı́gido libre en el
plano. Para especificar la configuración de un sólido rı́gido basta conocer la
posición de dos puntos del sólido. Si se tratase de puntos libres en el plano,
para especificar su configuración serı́an necesarias cuatro coordenadas. Como
son puntos de un sólido rı́gido, su distancia es constante. Luego el número de
coordenadas independientes necesario para especificar la configuración de un
sólido rı́gido plano libre es tres. Tres son pues los grados de libertad del sólido
rı́gido plano libre. Podemos, por ejemplo, elegir como coordenadas independientes las dos coordenadas cartesianas de un punto y el ángulo que forma
el segmento que une dos puntos del sólido con la horizontal. Los grados de
libertad se pueden entender entonces como la posibilidad de desplazamientos
según las direcciones de los dos ejes coordenados y la rotación respecto a un
eje perpendicular al plano que contiene al cuerpo.
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
4.4.1.
Condiciones de equilibrio
DP
4.4.
Un sólido rı́gido ligado es aquél que está sometido a ligaduras externas.
En el capı́tulo 2 introdujimos el principio de liberación según el cual cualquier ligadura podı́a sustituirse por un sistema de fuerzas. En el capı́tulo 3
vimos que un sistema de fuerzas siempre se puede reducir a otro equivalente
formado por una fuerza y un par. Por tanto, la acción de una ligadura puede
sólido rı́gido ligado
Estática del sólido rı́gido
AT
110
Fi +
i=1
n
O (Fi )+
M
j=1
m
j = 0,
φ
j ) +
O (φ
M
j=1
AI
i=1
m
I-
n
EU
representarse por una fuerza y un momento, que llamaremos fuerza y momento
de reacción vincular.
Supongamos un sólido sometido a m ligaduras. Las ecuaciones de equilibrio (4.6) y (4.11) que obtenı́amos para el caso libre se convierten en:
m
µj = 0,
(4.33)
(4.34)
j=1
AD
O (Fi ) sus momentos en un punto arbidonde, Fi son las fuerzas exteriores, M
j ) sus momentos en O,
O (φ
trario fijo O, φj las fuerzas de reacción vincular, M
y
µj los momentos de reacción vincular (recuérdese que el momento de un par
es independiente del punto de reducción).
En el caso plano y usando coordenadas cartesianas, las ecuaciones vectoriales (4.33) y (4.34) dan lugar a las siguientes ecuaciones escalares:
LIC
n
AP
i=1
n
n
i=1
Fxi +
Fyi +
i=1
MOz (Fi )+
m
j=1
m
j=1
m
φxj = 0,
(4.35)
φyj = 0,
(4.36)
j ) +
MOz (φ
j=1
m
µzj = 0.
(4.37)
j=1
CA
Dependiendo del vı́nculo de que se trate podrán ser cero una o más de las
3 incógnitas de reacción vincular φxj , φyj y µzj asociadas al vı́nculo j.
4.4.2.
Tipos de ligaduras en el plano
FIS
I
Clasificación atendiendo al número de coacciones
DP
TO
.
coacciones
El objetivo de esta sección es clasificar las ligaduras posibles de un sólido rı́gido plano, atendiendo a las limitaciones elementales de movimiento que
producen.
Se denominan coacciones a las limitaciones elementales de movimiento originadas por cada ligadura.
Las coacciones son tı́picamente impedimentos de traslaciones y/o giros. Una
coacción, por consiguiente, equivale a la cancelación de un grado de libertad.
Las fuerzas y momentos de reacción vincular que sustituyen a una ligadura
introducen incógnitas de reacción vincular en el problema, en número igual al
de coacciones.
Según el número de coacciones que ejercen, las ligaduras las clasificamos en:
Simples: son aquéllas que ejercen una única coacción. Las hay de dos
tipos:
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido rı́gido a permanecer sobre
una curva dada o a que una curva del sólido rı́gido (por ejemplo su
contorno) permanezca en contacto con un punto fijo. Estas ligaduras
111
se sustituyen por una única fuerza de reacción vincular de dirección
conocida (perpendicular a la curva) y módulo y sentido desconocidos. Son ligaduras que introducen, por tanto, una sola incógnita de
reacción vincular (que se suele identificar con el módulo y sentido
de la fuerza desconocida). Ejemplos de este tipo de ligaduras son el
apoyo simple, la biela y el cable.
AI
I-
• Aquéllas que impiden la rotación del sólido rı́gido pero no las traslaciones. Estas ligaduras se sustituyen por un par cuyo momento de
reacción vincular tiene dirección conocida (perpendicular al plano
del sólido rı́gido) y módulo y sentido desconocidos. En este texto no
veremos ejemplos de este tipo de ligaduras.
AT
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
EU
4.4
Dobles: son aquéllas que ejercen dos coacciones. Las hay de dos tipos:
LIC
AD
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido rı́gido a permanecer fijo.
Estas ligaduras se sustituyen por una fuerza de reacción vincular con
módulo, dirección y sentido desconocidos. Son ligaduras que introducen, por tanto, dos incógnitas de reacción vincular (que se suele
identificar con las dos componentes cartesianas de dicha fuerza).
Ejemplo de este tipo es la articulación.
AP
• Aquéllas que obligan a un punto del sólido rı́gido a permanecer sobre
una curva e impiden además su rotación. Estas ligaduras se sustituyen por una fuerza con dirección conocida pero módulo y sentido
desconocidos, y un par cuyo momento es de módulo y sentido desconocidos. Introducen dos incógnitas de reacción vincular (que se suele
identificar con los módulos y sentidos de la fuerza y el momento).
Ejemplo de este tipo es la deslizadera rı́gida.
FIS
I
CA
Triples: son aquéllas que ejercen tres coacciones. Inmovilizan completamente el sólido rı́gido. Estas ligaduras se sustituyen por una fuerza con
módulo, dirección y sentido desconocidos y un par cuyo momento es de
módulo y sentido desconocidos. Por tanto, introducen tres incógnitas de
reacción vincular (las dos componentes de la fuerza y el módulo y sentido
del momento). Ejemplo de este tipo de ligaduras es el empotramiento.
Pasamos a estudiar en detalle algunas ligaduras.
Apoyo simple
DP
TO
.
Un apoyo simple (apoyo sin rozamiento o apoyo móvil ) es un contacto puntual sin rozamiento, directo o mediante un dispositivo intermediario, del sólido
rı́gido con una curva de apoyo. Es una ligadura simple, ya que ejerce una sola
coacción sobre el sólido rı́gido al impedir su traslación en la dirección perpendicular a la de desplazamiento sobre la curva de apoyo. Permite la traslación
en la dirección de desplazamiento de la curva de apoyo y el giro alrededor del
punto de apoyo. Su acción se sustituye por una fuerza de dirección conocida y
módulo y sentido desconocidos.
La dirección de esta fuerza es la perpendicular a la tangente en el punto de
apoyo de la lı́nea sobre la que se apoya o desliza. En el caso de que el punto de
apoyo no tenga tangente bien definida (por ejemplo, cuando tenemos un apoyo
simple sobre un escalón) la dirección será la perpendicular a la tangente en el
punto de apoyo de la lı́nea que describe el borde del sólido rı́gido.
Estática del sólido rı́gido
EU
AT
112
AI
I-
FIGURA 4.4: Diversos modos en
que un sólido rı́gido puede estar apoyado y fuerzas de reacción vincular
correspondientes.
LIC
AD
En el caso de los apoyos simples unilaterales el sentido de la fuerza de
reacción vincular va del apoyo al sólido apoyado. En el caso de los apoyos
de doble efecto o bilaterales el sentido no se puede determinar a priori puesto
que depende del sistema de fuerzas externas que actúa sobre el sólido y de la
disposición del resto de los vı́nculos.
En la fig. 4.4 se ilustran diversos modos en que un sólido rı́gido puede estar
apoyado directamente sobre distintas paredes y se ilustran las direcciones y
sentidos de las correspondientes fuerzas de reacción vincular.
Dispositivos también permiten implementar apoyos simples son:
Rodillo, fig. 4.5 (a).
Rueda, fig. 4.5 (b).
AP
Soporte de rodillos, fig. 4.5 (c).
DP
TO
.
FIS
I
CA
Balancı́n, fig. 4.5 (d).
FIGURA 4.5: Diversas maneras de
construir apoyos simples: (a) rodillo,
(b) rueda, (c) soporte de rodillos, (d)
balancı́n circular.
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
113
AI
I-
EU
AT
4.4
Apoyos simples bilaterales o de doble efecto son:
El pasador en ranura lisa, fig. 4.6 (a).
LIC
La deslizadera o collar sobre árbol liso, fig. 4.6 (b).
AD
FIGURA 4.6: (a) Pasador en ranura
lisa y (b) deslizadera sobre árbol liso.
AP
Nótese que mientras que en las ligaduras de las figs. 4.4 y 4.5 un movimiento
del sólido puede hacer que esa ligadura desaparezca (al perderse el contacto),
tal cosa no puede suceder en un apoyo simple de doble efecto.
Comentario: tres apoyos simples adecuadamente dispuestos inmovilizan completamente al sólido rı́gido plano (donde “adecuadamente dispuestos” quiere
decir evitando las situaciones de ligadura impropia que describiremos más adelante).
CA
Biela
Cable
FIGURA 4.7: Biela.
TO
.
FIS
I
Una biela consiste en un sólido rı́gido articulado en dos puntos y sobre el
que no actúa ninguna fuerza con componentes normales al eje de la biela. El eje
de la biela es la recta que une las dos articulaciones. En particular, el peso de la
biela debe ser despreciable frente a las fuerzas que actúan sobre el sólido rı́gido.
La biela es una ligadura simple, ya que ejerce una única coacción sobre el sólido
rı́gido al impedir su traslación en la dirección del eje de la barra, permitiendo su
traslación en la dirección perpendicular. Su acción se sustituye por una fuerza
de reacción vincular cuya dirección coincide con el eje de la biela, y de módulo
y sentido desconocidos. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.7.
DP
El cable (tenso) es un hilo inextensible de peso despreciable. Es una ligadura simple que se sustituye por una única a la fuerza de reacción vincular de
dirección conocida (la del cable) y módulo desconocido. Esta fuerza de reacción
vincular se llama tensión, pues coincide con la tensión del cable. Esta ligadura
se ilustra en la fig. 4.8. El sentido de la fuerza de reacción vincular que sustituye a un cable tenso es siempre hacia fuera del sólido, mientras que en la biela
puede tener ambos sentidos.
Es importante saber distinguir cuando un cable aplicado a un sólido rı́gido
actúa como una ligadura (cuando limita las posibles posiciones del sólido) y
cuando actúa como un transmisor de una fuerza activa.
FIGURA 4.8: Cable tenso.
Estática del sólido rı́gido
AI
I-
EU
AT
114
AD
FIGURA 4.9: Ligaduras dobles: (a)
Articulación y (b) deslizadera rı́gida.
Articulación
AP
LIC
Una articulación. (apoyo fijo, apoyo doble, perno liso o bisagra) impide
las dos posibles traslaciones del sólido rı́gido y le permite sólo girar alrededor
del punto de articulación. Es una ligadura doble, ejerce dos coacciones sobre
el sólido rı́gido. Su acción se sustituye por una fuerza de reacción vincular
de módulo, dirección y sentido desconocidos. Las dos incógnitas de reacción
vincular son, por ejemplo, las dos componentes de esta fuerza según un sistema
de ejes cualesquiera con origen en la articulación. Esta ligadura se ilustra en la
fig. 4.9 (a).
Deslizadera rı́gida
FIS
I
CA
La deslizadera rı́gida impide el giro y la traslación en la dirección perpendicular al eje de deslizamiento de la deslizadera. Es una ligadura doble.
La deslizadera rı́gida ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribuidas
paralelas y coplanarias (con el plano que contiene al sólido rı́gido). Dicho siste perpendicular el eje
ma puede ser reducido a una fuerza de reacción vincular R
de deslizamiento y a un par de momento M perpendicular al plano del sólido.
Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.9 (b). Una deslizadera rı́gida es equivalente
a dos apoyos simples cuyas rectas de acción sean paralelas.
DP
TO
.
Empotramiento y soldadura
FIGURA 4.10: Empotramiento.
El empotramiento (nudo rı́gido o apoyo triple) impide cualquier movimiento
del sólido rı́gido. Es una ligadura triple, ejerce tres coacciones sobre el sólido
rı́gido. El empotramiento ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribuidas coplanarias (con el plano que contiene al sólido rı́gido). Dicho sistema puede
de dirección desconocida y a
ser reducido a una fuerza de reacción vincular R
perpendicular al plano del sólido. Las tres incógnitas de
un par de momento M
y las dos componentes
reacción vincular son las magnitudes del momento M
según un sistema de ejes cualesquiera con origen en G. Esta ligadura se
de R,
ilustra en la fig. 4.10.
Cuando el empotramiento actúa como vı́nculo interno (entre sólidos de un
sistema de sólidos) se le denomina expresamente nudo rı́gido y los sistemas
cuyos vı́nculos internos son nudos rı́gidos, se les llama sistemas continuos.
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
115
AD
AI
I-
EU
AT
4.4
FIGURA 4.11: Ligaduras impropias
en un sólido rı́gido plano individual:
(a) G = 1, puede trasladarse; (b)
G = 1, puede girar.
LIC
Una ligadura de caracterı́sticas similares a las del empotramiento es la soldadura.
Ligaduras propias y ligaduras impropias
CA
AP
Se define como ligadura propia a la que impide el movimiento del sistema coartando el movimiento para el que se establece. Se dice que un sistema
está propia o correctamente ligado, cuando los ligaduras están dispuestos de
tal modo que son capaces de impedir los movimientos para los que están pensados. En caso contrario diremos que la ligadura es impropia y que el sistema
está impropia o incorrectamente ligado.
Un sistema plano puede estar impropiamente ligado en los siguientes casos:
FIS
I
Si las rectas de acción de tres o más de las fuerzas de reacción vincular son
paralelas, ya que entonces (en ausencia de otras ligaduras) hay posibilidad
de traslación a lo largo de una dirección perpendicular, fig. 4.11 (a).
Si tres o más de las rectas de acción de las fuerzas de reacción vincular se
cortan en un mismo punto O, entonces (en ausencia de otras ligaduras)
se puede producir un giro alrededor de O, fig. 4.11 (b).
4.4.3.
Grados de libertad del sólido rı́gido plano ligado
TO
.
Sólidos isostáticos, hiperestáticos e inestables
DP
Un sistema mecánico estable es aquél que no se puede mover sea cual sea
el sistema de fuerzas externas que actúe sobre él. Equivalentemente, que no le
quedan grados de libertad. Un sistema estable siempre está en equilibrio. Un
sistema puede ser inestable y estar en equilibrio bajo la acción de un sistema
de fuerzas concreto.
En esta sección vamos clasificar los sólidos rı́gidos atendiendo a su estabilidad. Esta clasificación se extenderá en el capı́tulo 5 a los sistemas de varios
sólidos rı́gidos.
Al detenernos en la, relativamente sencilla, clasificación en el caso de un solo
sólido rı́gido pretendemos que el estudiante se concentre en el concepto fı́sico de
sistema mecánico estable
Estática del sólido rı́gido
CA
FIS
I
FIGURA 4.12: Clasificación de los
sólidos rı́gidos individuales atendiendo a su estabilidad: (a) isostático, (b) hiperestático, (c) mecanismo, (d) pseudoisostático. La estabilidad del sólido rı́gido no depende de
qué sistema de fuerzas externas aplique el monigote. Los apoyos simples
se suponen bilaterales.
AP
LIC
AD
AI
I-
EU
AT
116
DP
TO
.
la estabilidad sin dejarse distraer por la extensa casuı́stica que encontraremos
en el capı́tulo 5.
Para impedir cualquier movimiento posible del sólido rı́gido es preciso que
las ligaduras externas ejerzan al menos tantas coacciones como grados de libertad tenga el sistema. En el caso de un sólido rı́gido plano, las ligaduras estrictamente necesarias para impedir cualquier movimiento han de ejercer tres coacciones (adecuadamente dispuestas, véase lo dicho sobre ligaduras impropias).
Cada una de ellas queda definida por un parámetro o incógnita de reacción
vincular. Si eso sucede, ante cualquier sistema de fuerzas el sólido permanecerá en equilibrio, será estable; si no, será inestable. Si el número de coacciones
es exactamente el necesario para lograr la estabilidad entonces, conocido el sistema de fuerzas externas, las ecuaciones de equilibrio permitirán determinar
las incógnitas de reacción vincular. Si el número de coacciones es superior entonces las ecuaciones de la Estática no serán suficientes (salvo simetrı́as) para
117
determinar todas las incógnitas de reacción vincular. Atendiendo a esta idea,
los sistemas mecánicos formados por un sólido rı́gido ligado se clasifican en:
Isostáticos.
Hiperestáticos.
I-
Inestables o mecanismos.
AT
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
EU
4.4
sistemas isostáticos
sistemas hiperestáticos
FIS
I
CA
AP
LIC
AD
AI
Los sistemas isostáticos son aquéllos en los que el número coacciones independientes (C) es exactamente igual al de grados de libertad del sistema libre
(Gl ), por tanto, el número de grados de libertad del sistema ligado (que se
calcula como G = Gl − C) es cero. Conocido el sistema de fuerzas externas
que actúa, las ecuaciones de equilibrio por sı́ solas permiten resolver todas las
incógnitas de reacción vincular, ası́ se dice que los sistemas isostáticos están
estáticamente determinados. Son estables, pero si se elimina una ligadura dejan
de serlo. Se presenta un ejemplo en la fig. 4.12 (a).
Los sistemas hiperestáticos son aquéllos en los que C es estrictamente mayor
que Gl (se dice entonces que las incógnitas de reacción vincular son superabundantes). Se dice que tienen grado de hiperestaticidad o grado de indeterminación
estática H = C − Gl (y G = 0). Las ecuaciones de equilibrio por sı́ solas no
permiten resolver todas las incógnitas de reacción vincular, por ello se dice
que los sistemas hiperestáticos están estáticamente indeterminados. Para su
determinación es preciso abandonar el modelo de sólido rı́gido, adoptar el modelo de sólido deformable y aplicar, además de las ecuaciones de la Estática,
métodos propios de la Elasticidad. Son estables y pueden seguir siéndolo eliminando H incógnitas de reacción vincular independientes. Hay un ejemplo en la
fig. 4.12 (b).
Los sistemas inestables o mecanismos son aquéllos en los que C es estrictamente menor que Gl , por tanto G es positivo. Basta con un subconjunto de las
ecuaciones de equilibrio para resolver todas las incógnitas de reacción vincular.
Las restantes G ecuaciones pueden usarse para averiguar los valores concretos de las G coordenadas generalizadas cuando el sólido se haya en equilibrio
sometido a un sistema particular de fuerzas externas conocidas, o para averiguar qué fuerzas exteriores son necesarias para que el sistema se encuentre en
equilibrio en determinada configuración.
Estos sólidos son inestables y sólo se hacen estables si se añaden vı́nculos
que introduzcan G (o más) incógnitas independientes de reacción vincular. Un
ejemplo de este tipo aparece en la fig. 4.12 (c).
TO
.
Sólidos con ligaduras impropias
DP
En el caso de que entre las ligaduras a las que está sometido el sólido
aparezcan ligaduras impropias, el número “aparente” de grados de libertad,
que es el que se obtiene al sustraer del número de grados de libertad del sistema
libre el número de incógnitas de reacción vincular sin tener en cuenta si éstas
son impropias (no independientes), no coincide con el número real de grados
de libertad, que es el que se obtiene teniendo en cuenta qué grados de libertad
eliminan realmente las ligaduras. Ası́, por ejemplo, tendremos sólidos en los
que aparentemente el número de incógnitas de reacción vincular es igual al de
grados de libertad del sistema libre, con lo cual el sistema es aparentemente
isostático (o pseudo-isostático) aunque en realidad se trata de un mecanismo.
Hay un ejemplo en la fig. 4.12 (d).
sistemas inestables o mecanismos
Estática del sólido rı́gido
AT
118
EU
PROBLEMA RESUELTO 4.1:
I-
El sólido rı́gido de la figura es de peso P = 10 kp, homogéneo y con vástagos o
brazos de grosor despreciable. Está sometido a la acción de tres fuerzas activas de
módulos |F1 | = 100 N, |F2 | = 500 N y |F3 | = 500 N, y está vinculado al exterior
mediante una articulación en el punto A y un apoyo simple en el punto B.
AI
(a) Determina en qué punto del vástago horizontal habrı́a que aplicar una fuerza
única cuyo efecto mecánico sea equivalente al de las tres fuerzas activas F1 ,
F2 , F3 . ¿Qué valor tendrá dicha fuerza?
(b) ¿Es posible aplicar una fuerza equivalente a las tres fuerzas en algún punto
del vástago vertical? En caso afirmativo halla el punto y el valor de la fuerza.
LIC
AD
(c) Determina los vectores fuerza de reacción vincular en los puntos A y B en
el equilibrio.
AP
0,6 m
←
F2
←
0,6 m
F3
1,2 m
0,9 m
CA
Solución:
0,6 m
B
A
PROBLEMA RESUELTO 4.1
←
F1
FIS
I
(a) La fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas F1 , F2 , F3 será una fuerza
aplicada sobre un punto Q del sólido rı́gido, tal que su
única igual a la resultante R
momento en un punto cualquiera sea el mismo que el momento total del sistema
en dicho punto. Eligiendo los ejes horizontal y vertical como ejes coordenados,
= (100, 0) +
tenemos: F1 = (100, 0) N; F2 = (0, −500) N; F3 = (500, 0) N. R
(0, −500) + (500, 0) = (600, −500) N.
y
←
fA
fA y
←
fB
Q'
G
B
A
+
DP
TO
.
Tomemos como centro de reducción O la intersección de los brazos de la cruz;
O = −210 k N m
resulta: MO = −0,6 100 − 0,9 500 + 0,6 500 = −210 N m; M
fA x
0,6 m
0,35 m
Q
x
O
←
R
1,49 m
2,22 m
FIGURA P1a: Resolución del apartado (c).
Si Q está situado en el vástago horizontal sus coordenadas son (x, 0), de donde:
O = −210k = OQ
×R
= (x, 0) × (600, −500) = −500x k y, por tanto,
M
x = 0,42 m.
Aunque no lo piden, es útil saber que entonces el eje central es la recta paralela
que contiene al punto Q(0,42, 0) m: x−0,42 = y−0 ; y =
a la dirección de R
600
−500
−0,83x + 0,35 m.
(b) Será posible aplicar la fuerza única equivalente sobre el vástago vertical si
el eje central lo interseca en algún punto Q . Ası́, para x = 0 obtenemos y =
en el punto Q (0, 0,35) m.
0,35 m < 0,6 m, luego sı́ es posible aplicar la fuerza R
También podrı́amos obtener este punto repitiendo el cálculo del apartado (a) para
el punto (0, y).
119
I-
(c) Por comodidad de cálculo, en el diagrama de fuerzas que actúan sobre el sólido
previarı́gido (fig. P1a) sustituimos las tres fuerzas activas por su equivalente R
mente calculada (aplicada en Q, aunque serı́a indiferente considerarla aplicada en
Q ), y colocamos la cuarta fuerza activa que actúa sobre el sólido rı́gido, el peso,
en el centro de masa G del sólido rı́gido. Completamos el diagrama con las fuerzas
de reacción en los vı́nculos A (articulación) y B (apoyo simple).
A , φ
B , R,
P .
Fuerzas que actúan: φ
A = (φAx , φAy ).
Articulación en A: φ
AI
B = (0, φB ).
Apoyo simple en B: φ
AD
Para conocer el punto de aplicación de la fuerza peso P = (0, −10) kp ≈ (0, −100) N,
determinamos previamente la posición del centro de masa G del conjunto de ambos
vástagos:
Entonces, finalmente, las ecuaciones de equilibrio son:
Fx = 0 :
(P1.1)
φAy + φB − 500 − 100 = 0,
(P1.2)
0,6 φB − 1,49 100 − 500 2,22 = 0,
(P1.3)
AP
φAx + 600 = 0,
Fy = 0 :
MA = 0 :
CA
LIC
Por simetrı́a y ser el sólido homogéneo, G se encuentra sobre el vástago horizontal,
de modo que yG = 0. Desde el extremo A calculamos la coordenada xG . La
posición del centro de masa de la barra horizontal es xH = 2,7
2 m. En la barra
vertical directamente observamos xV = 1,8 m. La posición del centro masa es la
H +lV xV
del centroide por ser homogéneo: xG = lH xlH
= 1,49 m.
+lV
de donde obtenemos:
(P1.4)
φB = 2098 N,
(P1.5)
φAy = −1498 N,
(P1.6)
FIS
I
φAx = −600 N,
TO
.
donde el signo menos de φAx significa que el sentido se esa componente es contrario
al que elegimos en el diagrama de fuerzas.
A = (−600, −1498) N y φ
B = (0, 2098) N.
Luego φ
PROBLEMA RESUELTO 4.2:
DP
AT
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
EU
4.4
El extremo A de la barra homogénea AB de la figura puede deslizar por un riel
vertical. La superficie esférica sobre la que se apoya AB tiene 5 cm de radio. Calcula:
(a) La longitud AB de la barra para que en su posición de equilibrio forme 60◦
con la vertical. Hacerlo analı́tica y geométricamente.
Estática del sólido rı́gido
A
60o
O
5m
AD
PROBLEMA RESUELTO 4.2
B
AI
I-
C
EU
AT
120
(b) Las fuerzas de reacción vincular en A y en C si la masa de la barra es 30 kg.
LIC
Nota: Desprecia los rozamientos en la deslizadera y el apoyo.
Solución:
AP
(a) Que la barra esté en equilibrio en esa configuración significa que la suma de
fuerzas sobre la barra y la suma de sus momentos en cualquier punto deben ser
nulas, teniendo en cuenta las fuerzas que aparecen en el siguiente diagrama de
sólido libre con la configuración dada:
φA
A
60o
←
5m
φC
G
60o
B
←
P
+
5m
DP
O
C
TO
.
←
y
FIS
I
CA
Comenzamos resolviendo el apartado (a) de manera analı́tica (planteando las ecuaciones de equilibrio). Teniendo en cuenta los ejes coordenados elegidos en la
fig. P2a, y tomando momentos en el punto A, resultan las siguientes condiciones de equilibrio:
Fx = 0 :
x
FIGURA P2a: Resolución analı́tica
del apartado (a).
φA + φC cos 60◦ = 0,
(P2.1)
−P + φC sen 60◦ = 0,
(P2.2)
Fy = 0 :
MAz = 0 :
−P
AB
2
sen 60◦ + φC AC = 0.
(P2.3)
Tenemos ası́ 3 ecuaciones escalares con parece que cinco incógnitas: φA , φC , P, AB, AC,
de las cuales nos interesa en este apartado la longitud AB de la barra. Pero volviendo a la fig. P2a, si observamos el triángulo ACO vemos que tan 60◦ = 5/AC ⇒
AC = √53 2,89 m, y el peso P lo vamos a considerar como un parámetro (el
valor numérico de 30 kp es para el apartado (b)), de modo que realmente tenemos
3 ecuaciones con las tres incógnitas φA , φC y AB.
Resolviendo el sistema resulta:
2
φC = √ P 1,15 P,
3
1
φA = − √ P −0,58 P,
3
(P2.4)
(P2.5)
121
√
40 3
20 φC
=
7,70 m.
(P2.6)
AB =
3 P
9
Para terminar este apartado (a), debemos resolverlo de forma geométrica. Eso
significa usar la trigonometrı́a en el diagrama de fuerzas, tras haber aplicado en él
la condición necesaria de equilibrio que proporciona el teorema de las tres fuerzas.
A
AD
Ası́, construimos un nuevo diagrama de fuerzas en el que explı́citamente se ven
concurrir en un punto I las lı́neas de acción de las tres fuerzas (ya coplanarias; de
partida se ve que no pueden ser paralelas):
AIG: sen 60◦ = AI/AG; AG =
AIC: sen 60◦ = AC/AI; AI =
ACO: tan 60◦ = 5/AC;
√2 AI;
3
√2 AC;
3
AC =
√5 ;
3
LIC
De los triángulos rectángulos AIG, AIC y ACO vamos a deducir el valor AB que
nos interesa, usando que AB es el doble de AG, y que AG es la hipotenusa del
primer triángulo:
AC 2,89 m,
√ 3,85 m, y finalmente:
3,33 m y AG = 320
3
√
40 3
7,70 m,
(P2.7)
AB = 2AG =
9
10
3
AP
de donde obtenemos AI =
CA
como antes.
(b) Si mAB = 30 kg, entonces el peso de la barra es P = 30 kp, de forma que
sustituyendo en las soluciones (P2.4) y (P2.5) obtenemos las fuerzas de reacción
pedidas:
FIS
I
60
φC = √ 34,64 kp,
3
30
φA = − √ −17,32 kp,
3
(P2.8)
(P2.9)
donde el signo menos de φA significa que esta reacción va a tener sentido contrario
al que nosotros elegimos en el diagrama de fuerzas.
TO
.
Y finalmente expresamos las fuerzas de reacción en forma vectorial:
30
C = ( √
, 30) kp,
φ
3
30
A = (0, − √
φ
) kp,
3
(P2.10)
(P2.11)
DP
donde hemos usado que φCx = φC cos 60◦ , φCy = φC sen 60◦ , y que el signo
menos de φA cambiarı́a el sentido del vector en el diagrama P2a, quedando ası́ en
el sistema coordenado elegido con la componente horizontal negativa.
60o
60o
I
C 60
o
G
B
5m
AI
I-
Esto es ası́ porque del diagrama P2a observamos que la barra tiene justamente
aplicadas tres fuerzas (una activa —el peso— y dos de reacción vincular), y además
suponemos que la barra está en equilibrio en la configuración dada; cumpliéndose
entonces necesariamente la conclusión del teorema de las tres fuerzas: las tres
fuerzas han de ser coplanarias y, o bien concurrentes en un punto o bien paralelas.
AT
Equilibrio del sólido rı́gido plano ligado
EU
4.4
O
FIGURA P2b: Resolución geométrica
del apartado (a).
Estática del sólido rı́gido
Rozamiento
4.5.1.
Introducción
EU
4.5.
AT
122
AP
LIC
AD
AI
I-
Un sólido rı́gido en contacto con una superficie sufre un sistema de fuerzas S
distribuido sobre la superficie de contacto. Ese sistema se puede reducir en un
punto P a una fuerza deslizante con las mismas componentes que la resultante
de S y un par de momento igual al momento en P de S.
En el caso de un sólido rı́gido plano, S es un sistema de fuerzas coplanario;
con
por tanto, S siempre se puede reducir a una única fuerza deslizante, R,
las mismas componentes que la resultante de S aplicada en un punto del eje
central de S. Como S es un sistema de fuerzas distribuido cuyo sentido es
siempre desde la superficie de apoyo hacia el sólido rı́gido, el punto donde se
ha de aplicar esta fuerza está comprendido entre los extremos que limitan la
superficie de contacto.
tiene dos componentes: una perpendicular a la suLa fuerza resultante R
, y una
perficie de contacto, que se llama fuerza normal y se representa por N
tangente a C, que se llama fuerza de rozamiento y se denota por FR . En un
,
problema de rozamiento siempre suele haber tres incógnitas: el módulo de N
el módulo de FR y el valor de la coordenada que indica el punto Q donde se
(o equivalentemente, donde se han de colocar N
y FR ). Como
ha de colocar R
se ha señalado antes, este punto debe estar comprendido entre los extremos
que limitan a la superficie de contacto. No obstante, ha de recordarse que una
y FR exactamente sobre Q, ya que N
vez conocido Q, no hace falta colocar N
y FR se describen mediante vectores deslizantes puesto que son fuerzas sobre
un sólido rı́gido.
Aún en nuestros dı́as no existe una teorı́a capaz de abarcar todos los aspectos de rozamiento. Para la mayor parte de las aplicaciones en el ámbito
de la Arquitectura basta con estudiar lo que se llama el rozamiento estático o
rozamiento seco, que es el que existe mientras hay equilibrio. Este equilibrio se
puede romper bien por deslizamiento, bien por vuelco. Fuera del equilibrio se
habla de rozamiento dinámico. El estudio experimental del rozamiento estático
y del rozamiento dinámico en deslizamiento se debe a Amontons y Coulomb.
Una situación tı́pica es la siguiente: Supongamos un sólido rı́gido plano,
homogéneo de peso P de forma rectangular que se encuentra sobre una superficie horizontal. Sobre el vértice superior derecho de este cuerpo tira una fuerza
horizontal F de módulo creciente (e inicialmente cero). Para un cierto rango de
valores del módulo de F el sólido permanece en equilibrio. Cuando el módulo
de F alcanza un cierto valor crı́tico, el sólido pierde el equilibrio y empieza a
deslizar hacia la derecha.
Experimentalmente se puede encontrar una relación entre F y FR similar
a la que se ilustra en la fig. 4.13. De ese estudio experimental se deducen las
siguientes leyes aproximadas:
FIS
I
Guillaume Amontons (Parı́s,
1663; Parı́s, 1705): Estudió experimentalmente el rozamiento
y supuso, por vez primera, la
existencia del cero absoluto de
temperatura.
Leyes de Amontons-Coulomb del rozamiento estático
y en deslizamiento
CA
4.5.2.
DP
TO
.
Charles Augustin de Coulomb
(Angoulême, 1736; Parı́s, 1806):
Estudió el rozamiento y la torsión
y descubrió la ley de Coulomb de
la electrostática (1795).
1. La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en
contacto.
123
acero sobre acero
aluminio sobre acero
cobre sobre acero
caucho sobre hormigón
madera sobre madera
vidrio sobre vidrio
madera encerada sobre nieve mojada
madera encerada sobre nieve seca
metal sobre metal (lubricado)
hielo sobre hielo
teflón sobre teflón
0,74
0,61
0,53
1,0
0,25–0,5
0,94
0,14
–
0,15
0,1
0,04
µd
EU
µe
0,57
0,47
0,36
0,8
0,2
0,4
0,1
0,04
0,06
0,03
0,04
AI
I-
Superficies en contacto
AT
Rozamiento
AD
4.5
TABLA 4.1: Coeficientes de rozamiento estático µe y dinámico µd . para diferentes superficies en contacto. Los valores dependen
del grado de pulimento de las superficies y de la temperatura.
AP
|,
|FR max | = µe |N
LIC
2. Cuando el cuerpo está en reposo, el módulo de la fuerza de rozamiento
está comprendido entre 0 y un cierto valor máximo. Dicho valor máximo
es directamente proporcional al módulo de la fuerza normal. Esta relación
de proporcionalidad se expresa de la siguiente manera:
(4.38)
CA
donde µe es una constante adimensional que se llama coeficiente de rozamiento estático, cuyo valor depende de la naturaleza de las superficies
en contacto (véase la tabla 4.1). Cuando la fuerza de rozamiento alcanza
su valor máximo se dice que el sólido se encuentra en estado de deslizamiento inminente. Mientras que el sólido permanece en reposo, la fuerza
de rozamiento que experimenta se llama fuerza de rozamiento estático.
FIS
I
3. Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento es prácticamente constante e independiente de la velocidad relativa de los cuerpos
en contacto. Se llama entonces fuerza de rozamiento dinámico y se denota por FR d . Su módulo es proporcional al de la normal. Esta relación de
proporcionalidad se expresa:
|,
|FR d | = µd |N
(4.39)
DP
TO
.
donde µd es una constante adimensional que se llama coeficiente de rozamiento dinámico o cinético, cuyo valor depende de la naturaleza de las
superficies de contacto (véase la tabla 4.1). Se cumple que
|FR max | ≥ |FR d |,
(4.40)
µe ≥ µd .
(4.41)
o, equivalentemente, que
En adelante denotaremos simplemente por µ el coeficiente de rozamiento estático µe .
FR
FR máx
FRd
O
F
FIGURA 4.13: Relación aproximada
R .
entre F y F
Estática del sólido rı́gido
4.6.
y
AT
124
Deslizamiento y vuelco inminentes
P
N
(b)
x
FR
x
(a) F = 0 N.
(b) F = 2 N.
P
y
(c) F = 4 N.
N
F
(d) F = 6 N.
FR
O
x
x
(c)
P
y
N
FR
O
x
(d)
x
TO
.
P
FIGURA 4.14: Diagramas de fuerzas
correspondientes a los casos (a)–(d).
En el caso (d) no hay equilibrio: el
bloque desliza.
DP
Nuestro objetivo es estudiar si el bloque está o no en equilibrio, y averiguar FR
y N en cada uno de los casos (a)–(d). Si no hay equilibrio, también nos interesará saber cuál de las 3 ecuaciones de equilibrio es la que no se verifica.
Empezaremos dibujando los diagramas de fuerzas correspondientes a cada caso (fig. 4.14). Luego elegiremos un sistema de referencia y expresaremos
vectorialmente las fuerzas que intervienen (nótese que la recta de acción de la
fuerza normal suele ser una incógnita). Hecho esto, escribiremos las ecuaciones
escalares del equilibrio. En este caso, dichas ecuaciones son:
FIS
I
F
AP
O
Consideremos un bloque rectangular homogéneo de 2 m de base, 1 m de
altura y peso 10 N, inicialmente en equilibrio sobre una superficie horizontal.
El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie horizontal
es µ = 0,4. Sobre el vértice superior derecho del rectángulo hay aplicada una
fuerza horizontal hacia la derecha de, respectivamente,
AD
F
CA
y
Deslizamiento de un bloque rectangular sobre un plano
horizontal
AI
4.6.1.
LIC
(a)
Nos limitaremos a estudiar el deslizamiento y el vuelco de un bloque rectangular homogéneo situado sobre un plano y sometido a un sistema particular
de fuerzas externas. El estudio del deslizamiento y el vuelco de sólidos rı́gidos
homogéneos con otras formas geométricas y otros sistemas de fuerzas externas
es similar.
I-
x
O
EU
N
F − FR = 0,
(4.42)
N − P = 0,
N x − F h = 0,
(4.43)
(4.44)
donde h es la altura del bloque. La ec. (4.44) se obtiene al calcular los momentos
en el punto O.
Resolviendo ese sistema de ecuaciones usando los datos conocidos obtene debe estar aplicada, respectimos que, para que el sólido esté en equilibrio, N
vamente, en
(a) x = 0 m.
(b) x = 0,2 m.
(c) x = 0,4 m.
(d) x = 0,6 m < 1 m = xmax .
vale 10 N, mientras que el módulo de FR
En todos los casos, el módulo de N
deberı́a valer, respectivamente,
Deslizamiento y vuelco inminentes
125
AT
4.6
y
EU
(a) FR = 0 N.
(b) FR = 2 N.
(c) FR = 4 N = FR max .
(d) FR = 6 N > 4 N = FR max .
I-
En los casos (a), (b) y (c) el bloque está en equilibrio pues FR ≤ FR max . En
el caso (c) el bloque está en la situación de deslizamiento inminente hacia la
derecha, puesto que FR alcanza su valor máximo. En el caso (d), como la fuerza
de rozamiento real no puede ser mayor que FR max , no se podrá satisfacer la
primera ecuación de equilibrio, la ec. (4.42), resultando entonces que
Fix > 0.
(4.45)
AI
Por tanto, el bloque desliza hacia la derecha.
F
y
N
P
Consideremos un bloque rectangular homogéneo de 1 m de base, 2 m de
altura y peso 8 N, inicialmente en equilibrio sobre una superficie horizontal.
El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie horizontal
es µ = 0,5. Sobre el vértice superior derecho del rectángulo hay aplicada una
fuerza horizontal hacia la derecha de, respectivamente,
O
(b)
CA
(b) F = 1 N.
(c) F = 2 N.
(d) F = 3 N.
DP
TO
.
FIS
I
Nuestro objetivo es estudiar si el bloque está o no en equilibrio, y averiguar FR
y N en cada uno de los casos (a)–(d). Si no hay equilibrio, también nos interesará saber cuál de las 3 ecuaciones de equilibrio es la que no se verifica.
Empezaremos dibujando los diagramas de fuerzas correspondientes a cada caso (fig. 4.15). Luego elegiremos un sistema de referencia y expresaremos
vectorialmente las fuerzas que intervienen (nótese que la recta de acción de la
fuerza normal suele ser una incógnita). Hecho esto, escribiremos las ecuaciones
escalares del equilibrio. En este caso, las ecuaciones son las mismas que antes,
(4.42)–(4.44).
Resolviendo ese sistema de ecuaciones usando los datos conocidos obte deberı́a estar aplicada,
nemos que, para que el sólido esté en equilibrio, N
respectivamente, en
(b) x = 0,25 m.
(c) x = 0,5 m = xmax .
(d) x = 0,75 m > 0,5 m = xmax .
x
FR
x
F
y
AP
(a) F = 0 N.
(a) x = 0 m.
x
O
Vuelco de un bloque rectangular sobre un plano horizontal
LIC
4.6.2.
P
(a)
AD
i=1
N
N
P
O
(c)
FR
x
x
F
y
N
P
O
(d)
FR
x
x
FIGURA 4.15: Diagramas de fuerzas
correspondientes a los casos (a)–(d).
En el caso (d) no hay equilibrio: el
bloque vuelca.
Estática del sólido rı́gido
AT
126
EU
vale 8 N, mientras que el módulo de FR
En todos los casos el módulo de N
debe valer, respectivamente,
(a) FR = 0 N.
(b) FR = 1 N.
I-
(c) FR = 2 N.
(d) FR = 3 N < 4 N = FR max .
LIC
AD
AI
En los casos (a), (b) y (c) el bloque está en equilibrio pues x ≤ xmax . En el
caso (c) el bloque está en la situación de vuelco inminente en sentido horario,
debe estar
puesto que para que se satisfagan la tercera ecuación de equilibrio, N
aplicada justo en la frontera derecha de la superficie de contacto entre el bloque
no puede estar aplicada fuera de
y el plano, x = xmax . En el caso (d), como N
la superficie de contacto entre el bloque y el plano, no se podrá satisfacer la
tercera ecuación de equilibrio, la ec. (4.44), resultando que
Mi < 0.
(4.46)
i=1
y
N
x
F
a
4.6.3.
R
x
a
Consideremos un sólido rı́gido homogéneo rectangular de base b, altura h y
peso P , apoyado con rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α respecto
a la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el sólido y el plano
es µ.
Nuestro objetivo es averiguar bajo qué condiciones el sólido perderá el equilibrio por deslizamiento (hacia la izquierda) y bajo qué condiciones perderá el
equilibrio por vuelco (giro antihorario). Para ello supongamos que el sólido
está en equilibrio. Eligiendo el sistema de referencia de la fig. 4.16 y si x es la
distancia que hay entre la normal y el punto O, las ecuaciones de equilibrio
son:
FIS
I
P
Deslizamiento y vuelco de un bloque rectangular sobre
un plano inclinado
CA
O
AP
Por tanto, el bloque vuelca girando en sentido horario.
En general, lo que nos interesará es conocer cuándo y cómo pierde el equilibrio el sólido rı́gido. Para ello deberemos estudiar independientemente cuándo
desliza hacia la derecha, cuándo desliza hacia la izquierda, cuándo vuelca horariamente y cuándo vuelca antihorariamente.
DP
TO
.
FIGURA 4.16: Bloque rectangular en
equilibrio sobre un plano inclinado
con rozamiento. Nótese que el senR
tido de la fuerza de rozamiento F
se ha elegido de manera que se oponga al deslizamiento hacia la izquierda. Análogamente, el punto de apli se ha elegicación de la normal N
do de manera que el momento de N
en O se oponga al giro antihorario entorno a O.
−P sen α + FR = 0,
(4.47)
N − P cos α = 0,
h
−N x + P sen α = 0.
2
(4.48)
(4.49)
Para averiguar cuándo deslizará hacia la izquierda supondremos que nos
encontramos en la situación de deslizamiento inminente, es decir, justo cuando
la fuerza de rozamiento alcanza el valor máximo permitido por la naturaleza.
Es decir supondremos que
FR = FR max = µ N.
(4.50)
Deslizamiento y vuelco inminentes
127
AT
4.6
FR = P sen α.
(4.51)
N = P cos α.
(4.52)
De la ec. (4.48),
I-
Sustituyendo las ecs. (4.51) y (4.52) en la ec. (4.50), se llega a que, en la
situación de deslizamiento inminente
(4.53)
AI
tan α = µ.
Es decir, el bloque deslizará hacia la izquierda si
tan α > µ.
(4.54)
De la ec. (4.49),
AP
h P sen α
.
2N
LIC
AD
El estudio del vuelco es completamente independiente del estudio del deslizamiento. Para averiguar cuándo vuelca supondremos que nos encontramos en
la situación de vuelco inminente, que es justo cuando la normal está colocada
en el lı́mite de la superficie de contacto. En nuestro caso, la condición de vuelco
inminente corresponde a
b
(4.55)
x= .
2
x=
(4.56)
Sustituyendo la ec. (4.52) en la ec. (4.56) y el resultado en (4.55), se llega a
que, en la situación de vuelco inminente,
b
.
h
CA
tan α =
(4.57)
Es decir, el bloque volcará girando en sentido antihorario si
b
.
h
(4.58)
FIS
I
tan α >
TO
.
Sólo nos interesa determinar cómo se perderá el equilibrio y no lo que suceda una vez que se ha perdido el equilibrio. Si suponemos que el ángulo α es
inicialmente cero y va aumentando progesivamente, deberemos averiguar cómo
se pierde el equilibrio, es decir cuál de las dos cosas (deslizar o volcar) se produce antes. Si µ < hb el bloque perderá el equilibrio por deslizamiento. El sólido
deslizará cuando tan α > µ. Si µ > hb el bloque perderá el equilibrio por vuelco.
El sólido volcará cuando tan α > hb .
PROBLEMA RESUELTO 4.3:
DP
EU
Entonces, de la ec. (4.47),
Un bloque de piedra de 5000 kg de masa es arrastrado por un suelo rugoso con la
ayuda de una cuerda que forma un ángulo de 30◦ con la horizontal.
(a) ¿Cuál es la fuerza mı́nima con la que debe tirarse de la cuerda para poder
deslizar el bloque?
Estática del sólido rı́gido
EU
AT
128
30o
l
PROBLEMA RESUELTO 4.3
AI
I-
l/2
l/4
AD
(b) El suelo está interrumpido en un tramo de longitud l/4. Si los obreros tiran
con la fuerza antes calculada y el bloque se desplazara cuasiestáticamente,
¿podrán salvar esta separación o por el contrario el bloque volcará antes?
LIC
Dato adicional: coeficiente de rozamiento µ = 14 .
Solución:
AP
(a) La fuerza mı́nima para que el bloque deslice es igual a la fuerza que ha de
aplicarse en la situación de deslizamiento inminente. La condición de deslizamiento
inminente se da cuando la fuerza de rozamiento en el apoyo rugoso alcanza su
valor máximo:
CA
A
FIS
I
G
30o
←
←
P
←
T=F
l/2
←
l/2
(P3.1)
Además, contamos con las tres condiciones escalares de equilibrio del sólido rı́gido
plano:
y
O
FR = FR max = µN.
FR
+
B
x
←
TO
.
N
x
DP
FIGURA P3a: Resolución del apartado (a).
Fx = 0,
(P3.2)
Fy = 0,
(P3.3)
MOz = 0.
(P3.4)
Las fuerzas que actúan sobre el bloque de piedra las indicamos en el diagrama de
sólido libre de ligaduras (sólo el apoyo rugoso, pues la cuerda en este caso es un
mero trasmisor de la fuerza —activa— de los obreros, horizontal inicialmente, a
una dirección de 30◦ respecto de la horizontal) de la fig. P3a:
Eligiendo los ejes coordenados y el punto O como en la fig. P3a, y teniendo en
cuenta que F = T = (F cos 30◦ , −F sen 30◦ ), las cuatro condiciones anteriores
se convierten en las siguientes 4 ecuaciones con 4 incógnitas (F, N, FR , x), de las
cuales nos interesa F = Fmax eq :
FR = µN,
F cos 30 − FR = 0,
◦
−F sen 30◦ − P + N = 0,
l
l
−F cos 30◦ − F sen 30◦ + N x = 0.
2
2
(P3.5)
(P3.6)
(P3.7)
(P3.8)
Deslizamiento y vuelco inminentes
129
AT
4.6
104
√
1,69 × 103 kp,
4 3−1
√
2 3 × 104
5,84 × 103 kp,
N = √
4 3−1
√
5 3 × 103
1,46 × 103 kp,
FR = √
4 3−1
√
l
3+1 l
√
0,4 ,
x =
2
4 3 2
(P3.9)
F =
I-
(P3.10)
EU
Resolviendo el sistema obtenemos los siguientes resultados:
(P3.11)
AI
(P3.12)
de los cuales, el que nos pedı́an en este apartado es F = Fmax eq = 1,69 × 103 kp.
AD
Podemos comprobar, de paso, que el bloque no ha llegado a la situación de vuelco
inminente, ya que − 2l < x < 2l y, por tanto, el punto de aplicación de la normal y
de la fuerza de rozamiento está dentro de la superficie de apoyo.
LIC
(b) Como la fuerza Fmax eq calculada anteriormente puede considerarse también
como la fuerza mı́nima para poner en movimiento al bloque, ahora vamos a suponer
que es eso lo que ocurre: los obreros han puesto en movimiento el bloque con la
menor fuerza posible, de modo que es un movimiento el del bloque sin aceleración
alguna, con velocidad constante.
AP
Entonces, desde un sistema de referencia que se moviera con la velocidad del
bloque, viéndolo ası́ en reposo en todo instante (es decir, en equilibrio) se cumplirán
las condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y suma de momentos iguales a
cero) que se usan desde un sistema de referencia solidario a la Tierra (sistema de
referencia inercial); y ello es válido porque el sistema móvil respecto de la Tierra
también es inercial por ser su velocidad constante.
CA
Nos preguntan si el bloque pasa por el hueco en el suelo, de longitud 4l , sin volcar
o, por el contrario, si volcarı́a antes.
FIS
I
Si el suelo no tuviera huecos, estarı́amos en cualquier instante en la situación
“cuasiestática” que modela el diagrama de fuerzas de la fig. P3a, de modo que a
la pregunta de si vuelca o no el bloque se contestarı́a negativamente, tal y como
se hace al final de la resolución del apartado (a).
Pero es que cuando el bloque va pasando por el hueco sucede que el bloque va
perdiendo apoyo, de forma que el punto de aplicación de la normal y de la fuerza
de rozamiento queda restringido a una superficie de apoyo menor.
TO
.
La situación más desfavorable para el punto de aplicación es cuando el bloque
sobresale respecto del borde izquierdo del hueco justo la misma longitud de éste,
l
4 (justo antes de tocar el borde derecho del hueco), como se ilustra en la fig. P3b:
DP
Es entonces, en esa situación más desfavorable, cuando debemos ver si el bloque
vuelca con la fuerza aplicada en el apartado (a) o si continúa sin volcar, en “cuasiequilibrio”, lográndose ası́ con seguridad (incluso en el caso más desfavorable)
salvar el hueco.
Vemos en la fig. P3b que ahora la condición de no-vuelco, es decir, que el punto
de aplicación de la normal y de la fuerza de rozamiento esté en la superficie de
apoyo, pasa a ser − 2l < x < 4l .
Como sigue siendo x 0,4 2l = 0,8 4l , pues no han variado respecto del apartado (a)
ninguna de las fuerzas activas aplicadas ni sus puntos de aplicación, comprobamos
G
A
30o
←
←
P
←
T=F
l/2
O
l/2
l/4
←
FR B
l/4
x
←
N
FIGURA P3b: Resolución del apartado (b).
Estática del sólido rı́gido
AT
130
DP
TO
.
FIS
I
CA
AP
LIC
AD
AI
I-
EU
que se cumple la condición de no-vuelco, y el bloque puede salvar el hueco en las
condiciones del enunciado.
131
AT
Problemas propuestos
EU
Problemas propuestos
O
I-
y
4.1. Un sólido rı́gido plano homogéneo de 10 N de peso y
forma cuadrada de 6 m de lado, se encuentra en equilibrio
bajo la acción de una fuerza horizontal hacia la izquierda de
módulo F aplicada en el vértice superior derecho del cuadrado. Supondremos que en el equilibrio el cuadrado tiene
dos lados completamente verticales. Calcula el número de
grados de libertad, el valor de F y las fuerzas y momentos
de reacción vincular en caso de que en el vértice inferior
izquierdo del cuadrado haya
B
AD
(b) una deslizadera rı́gida con guı́a horizontal.
x
b
C
AI
¬
F1
(a) una articulación.
¬
F2
PROBLEMA 4.2
4.3. El triángulo rectángulo de la figura representa un sólido rı́gido homogéneo y de peso P = 90 kp, que se apoya
sin rozamiento en los puntos A y C. Las fuerzas F1 y F2
están aplicadas en los puntos medios de los lados BC y
AB, respectivamente, y sus módulos son: F1 = 20 kp y
F2 = 50 kp.
LIC
(c) un empotramiento.
A
a
¿Qué sucede si
AP
(d) en el vértice inferior izquierdo hay un apoyo simple
sobre una base horizontal?
CA
(e) hay dos articulaciones, una en el vértice inferior izquierdo y otra en el vértice inferior derecho?
FIS
I
4.2. La marquesina de un establecimiento se modela por
una barra homogénea rı́gida de longitud l = OB = 1 m y
peso P = 230 N, vinculada a la fachada exterior mediante
una articulación en el punto O y una biela en el punto A,
según se muestra en la figura. Sobre la marquesina se ejercen además dos fuerzas activas F1 y F2 , que actúan sobre
los puntos C y B de la barra. En esas condiciones:
(a) Calcula el número de grados de libertad de la marquesina, y clasifı́cala según su estabilidad.
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema.
(b) Calcula la resultante y el momento en B del sistema
de fuerzas activas {F1 , F2 , P } que actúan sobre el sólido.
(c) Encuentra un punto Q del lado AB en el que dicho
sistema de fuerzas activas puede reducirse a una única
fuerza y calcula las componentes de dicha fuerza.
(d) Calcula la ecuación del eje central del sistema de fuerzas activas.
(e) ¿Estará el sólido rı́gido en equilibrio en las condiciones
del enunciado? Justifica la respuesta. En caso de responder negativamente, ¿es posible conseguir el equilibrio del
sólido rı́gido en dicha posición añadiendo una fuerza en B?
Datos adicionales: Considera cos 53◦ = 35 , sen 53◦ = 45 .
y
TO
.
37º
(b) Determina los vectores fuerza de reacción vincular en
el punto O y en el punto A.
Datos adicionales:
DP
OC = l/4, OA = l/3, α = 37◦ ;
|F1 | = 100 N, |F1x | = 60 N;
|F2x | = 20 N, tan β = 34 .
Nota: Usa
sen 37◦ =
3
5
cos 37◦ = 45 .
F2
A
B
F1
3m
C
O
x
6m
PROBLEMA 4.3
Estática del sólido rı́gido
AT
132
(d) La ecuación del eje central de ese sistema de fuerzas.
(e) Si es posible reducir el sistema de fuerzas activas a
una única fuerza en un punto del lado OB.
Datos adicionales: Considera: sen 53◦ = 45 , cos 53◦ = 35 .
AP
LIC
(f) El vector fuerza de reacción vincular en O y la tensión
del cable.
(g) El módulo y sentido de una fuerza vertical F3 que,
aplicada en A y añadida a las fuerzas activas indicadas,
permite eliminar el cable manteniendo el equilibrio del sólido en la posición indicada.
de la
(b) Calcula el valor mı́nimo del módulo del peso Q
plataforma para garantizar el equilibrio frente al deslizamiento y al vuelco.
AD
(c) En qué punto del lado OA es posible aplicar una única fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas y las
componentes de dicha fuerza única.
AI
I-
EU
4.4. Sobre el sólido rı́gido de la figura, homogéneo y de constante elástica k = 1000 N/m y alargado ∆l = 2 m,
peso P = 12 kp, actúan las fuerzas F1 y F2 , de módulos el cual está unido a un cable anclado al suelo. En estas
respectivos |F1 | = 8 kp y |F2 | = 10 kp. F2 está aplicada en condiciones:
el punto medio del lado AB. El sólido está articulado en O
(a) Reduce las fuerzas debidas al muelle y a la carga P
y del punto A parte un cable tenso, que forma 30◦ con la
a una fuerza única aplicada sobre el mástil, indicando el
horizontal. Calcula:
punto de aplicación sobre el mástil.
(a) El número de grados de libertad del sistema.
Si la plataforma tiene una base de 2 m de longitud y
(b) La resultante y el momento en O del sistema de fuer- está apoyada con rozamiento sobre una superficie horizonzas activas que actúan sobre el sólido.
tal, siendo el coeficiente de rozamiento µ = 0,5:
y
FIS
I
o
CA
Datos adicionales: OA = 6 m, OB = 2 m. Considera
cos 53◦ = 35 , sen 53◦ = 45 .
30
O
A
PROBLEMA 4.5
4.6. En la figura se muestra el mecanismo que regula la inclinación del toldo de un establecimiento comercial. La tela
del toldo descansa sobre la barra homogénea de aluminio
53o
AB, de peso 15 kp, que se encuentra vinculada a la pared
←
B
F2
vertical mediante la biela CD y un apoyo con rozamiento
en A. Para mantener en equilibrio el toldo, se dispone el
PROBLEMA 4.4
muelle AA , de longitud natural nula y constante elástica
k = 110 kp/m. El peso de la tela del toldo, de valor 20 kp,
4.5. La figura muestra un dispositivo elevador de carga que puede suponerse aplicado en el punto E.
consideraremos un sólido rı́gido, constituido por una plata(a) Enumera las fuerzas activas que actúan sobre el toldo.
forma, un mástil vertical y un brazo horizontal de espesores
despreciables. La plataforma tiene peso de módulo Q, mien- (b) Halla la resultante del sistema de fuerzas activas y su
tras que el mástil y el brazo tienen pesos despreciables. Del momento en el punto A.
brazo pende una carga P de módulo 1200 N. Para asegurar (c) Reduce el sistema de fuerzas activas a una fuerza úniel equilibrio, el punto medio del mástil está sujeto al suelo ca mecánicamente equivalente e indica a qué distancia del
por medio de un tensor inclinado 53◦ respecto del mástil. punto A, sobre la barra AB, habrá de aplicarse dicha fuerEl tensor consiste en un muelle de longitud natural nula, za.
←
DP
TO
.
F1
x
133
(d) Para la situación de equilibrio mostrada en la figura, determina los vectores fuerza de reacción vincular que
actúan sobre la barra en los puntos A y C.
3,05 m
37
(e) ¿Qué valor mı́nimo del coeficiente de rozamiento en
el contacto A garantiza este equilibrio?
3m
AD
PROBLEMA 4.7
37o
4.8. Un sólido rı́gido plano y homogéneo de peso P , con
forma de triángulo rectángulo está sobre un plano inclinado un ángulo α respecto a la horizontal, tal como se indica
en la figura. El coeficiente de rozamiento estático entre el
triángulo y el plano es µ = 32 . El triángulo está sometido
a una fuerza horizontal hacia la izquierda aplicada en el
vértice V , cuyo módulo es P/2.
A
LIC
53o
A'
C
AP
B
(a) Calcula a partir de qué valor de α el triángulo deslizarı́a hacia la izquierda.
(b) Calcula a partir de qué valor de α el triángulo volcarı́a.
(c) Explica razonadamente qué le pasarı́a al triángulo
(desliza, vuelca, o permanece en equilibrio) en los casos
α = 20◦ y α = 28◦ .
CA
PROBLEMA 4.6
Q
AI
D
Ex
o
I-
Datos adicionales: AB = 2 m, AC = 43 m, AE = 32 m,
AA = 12 m. Considera: sen 37◦ = cos 53◦ = 35 , cos 37◦ =
sen 53◦ = 45 .
EU
AT
Problemas propuestos
FIS
I
Sugerencia: Expresa todas las fuerzas en el sistema de re4.7. El sistema elevador de carga de un pozo está forma- ferencia indicado en la figura.
do por un motor pesado, apoyado con rozamiento sobre el
suelo, y unido mediante una cuerda a una plataforma que
y
sostiene la carga Q. En las condiciones indicadas, el motor
←
deslizarı́a por la acción de la carga, por lo que se ha disV
F
puesto un cable metálico que une la base del motor a un
3m
punto fijo de una pared. Cuando el sistema está en reposo:
x
O
(a) Determina el valor máximo de la carga Q que puede
6m
a
sostener el motor si la tensión de rotura del cable metálico
TO
.
es Tmax = 9 × 103 N.
PROBLEMA 4.8
(b) Para la situación del apartado (a), calcula el punto de
aplicación de la reacción del suelo sobre la base del motor.
DP
(c) Si se sustituye el cable anterior por otro mucho más
resistente, de forma que quede descartada su rotura, determina el valor máximo de la carga Q que puede sostener
el motor sin que éste vuelque.
Otros datos: Pmotor = 105 N, µ = 0,4. Usa
3
cos 37◦ = 45 .
5
sen 37◦ =
4.9. Una viga uniforme de peso P y espesor despreciable descansa sobre un soporte horizontal rugoso, según se
muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento entre la
viga y el soporte es µ = 0,388. Si se tira
√ desde el extremo con una fuerza de módulo W = P/ 3 y a un ángulo
0 ≤ θ ≤ 90◦ , determina el intervalo de ángulos θ para los
cuales la viga puede permanecer en equilibrio.
√
Recuerda: cos θ = 1 − sen2 θ.
Estática del sólido rı́gido
L/3
L/3
q
PROBLEMA 4.9
EU
L/3
AT
134
←
AI
I-
W
Cuestiones
(b) tenga invariante escalar nulo.
(c) tenga resultante nula e invariante escalar nulo.
AP
(d) tenga momento nulo.
AD
(a) sea nulo.
(d) El sólido con seguridad no está en equilibrio, dado que
no hay ninguna ligadura que lo inmovilice externamente.
4.4. Sobre un sistema de puntos materiales arbitrario actúa
un sistema de fuerzas exteriores e interiores. Supóngase que
se cumple que la resultante de las fuerzas exteriores es nu ext = 0, y que el momento de las fuerzas exteriores
la, R
ext = 0. Señala la opción
respecto a un punto Q es nulo, M
Q
correcta:
LIC
4.1. Para que un sólido rı́gido, que está inicialmente en reposo respecto de un sistema de referencia inercial, esté en
equilibrio es necesario y suficiente que el sistema de fuerzas
que actúa sobre él
4.2. Sea un sólido rı́gido rectangular ligado externamente
mediante tres apoyos simples bilaterales: dos de ellos sobre una misma superficie horizontal y el tercero sobre una
superficie vertical. Es correcto afirmar que el sólido
CA
(a) está en equilibrio, con seguridad.
(b) no puede estar en equilibrio porque no cumple el teorema de las tres fuerzas.
FIS
I
(c) únicamente estará en equilibrio si no está sometido a
ninguna fuerza activa.
(d) únicamente estará en equilibrio si también está sometido a fuerzas activas de resultante no nula.
TO
.
4.3. Sobre un sólido rı́gido libre actúa un sistema de fuerzas
activas coplanarias integrado sólo por tres fuerzas F1 , F2
y F3 . Las tres fuerzas son paralelas, y sus rectas de acción
no coincidentes: F1 y F2 tienen el mismo módulo (ambas
500 N) y el mismo sentido; F3 tiene de módulo 1000 N, y
sentido opuesto a las anteriores. Señala la opción correcta:
(a) El sólido rı́gido está necesariamente en equilibrio debido al paralelismo de las fuerzas, de acuerdo con el enunciado del teorema de las tres fuerzas.
(a) Tenemos la garantı́a de que el sistema de puntos materiales está en equilibrio.
(b) El sistema de puntos materiales estará en equilibrio
sólo si se trata de un sólido rı́gido, pero es seguro que no
lo estará en caso contrario.
(c) Si el sistema de puntos materiales es un sólido rı́gido,
el equilibrio está garantizado.
(d) Podemos afirmar que la suma de las fuerzas que
actúan sobre cualquier partı́cula del sistema es nula: las
interiores cancelarán a las exteriores en cada punto.
4.5. Las fuerzas y momentos de reacción vincular
(a) producen movimientos compatibles con los vı́nculos a
los que sustituyen.
(b) forman un sistema nulo si hay equilibrio.
(c) aseguran el equilibrio bajo cualquier sistema de fuerzas
aplicadas.
(d) ejercen las mismas funciones mecánicas que los vı́nculos a los que sustituyen.
DP
4.6. De las fuerzas de reacción vincular que se ejercen sobre
un
sólido rı́gido ligado siempre podemos afirmar que
(b) Con seguridad, el sólido rı́gido no está en equilibrio:
un sistema como éste equivale siempre a un par.
(a) independientemente de que esté en equilibrio o no, en
(c) El sólido estará en equilibrio sólo si la recta de acción
de F3 equidista de las rectas de acción de F1 y F2 .
general sus módulos, direcciones y sentidos dependen de
las fuerzas activas a las que el sólido está sometido.
135
AT
Cuestiones
(a) es una ligadura doble (ejerce dos coacciones).
(b) obliga a que un punto del sólido permanezca sobre
una lı́nea.
AI
4.7. El vı́nculo plano denominado deslizadera (o, con más
precisión, deslizadera móvil sobre árbol liso)
(b) La fuerza de rozamiento máxima es la fuerza que hay
que vencer para que dos superficies en contacto empiecen
a deslizar una respecto de otra.
(c) Para un contacto dado entre dos superficies, el coeficiente de rozamiento cinético o dinámico es menor que el
estático.
AD
resultante tiene el mismo módulo y dirección que la resultante de las fuerzas activas, pero sentido contrario.
I-
EU
(b) independientemente de que esté en equilibrio o no, (d) Se cumplirá que |FRA | > |FRB |.
sus módulos dependen de las fuerzas activas, no ası́ sus
direcciones, que siempre vienen determinadas por el tipo 4.10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
de ligadura.
(a) El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático
(c) si el sólido está en equilibrio, la suma de sus momentos es µN , donde µ es el coeficiente de rozamiento estátirespecto de un punto cualquiera es cero.
co y N es el módulo de la fuerza normal en el contacto
(d) independientemente de que esté en equilibrio o no, su considerado.
(d) Dos cuerpos en contacto empezarán a deslizar relativamente cuando la fuerza de rozamiento del contacto haya
disminuido hasta hacerse nula.
AP
LIC
(c) introduce dos incógnitas de reacción vincular que se
suelen identificar con las componentes cartesianas de la
4.11. Un bloque homogéneo de sección rectangular, con bafuerza de reacción vincular.
se b y altura h, está apoyado con rozamiento sobre una
(d) cancela tres grados de libertad.
superficie horizontal. Sobre el vértice superior se ejerce una
4.8. Sean dos sólidos rı́gidos en el plano que tienen un con- fuerza horizontal igual en módulo a su peso. Si el bloque
está en equilibrio podemos asegurar que
tacto extenso con rozamiento. Señala la opción falsa.
(a) El vı́nculo equivale a una fuerza igual a la resultante
del sistema de fuerzas distribuidas en la zona de contacto,
aplicada en un punto Q del contacto, y un par de momento
igual al momento de dicho sistema respecto a Q.
CA
(b) El vı́nculo se puede sustituir por una única fuerza igual
a la resultante del sistema de fuerzas distribuidas en la zona de contacto, en el punto donde el momento de dicho
sistema sea nulo.
(a) la altura h puede tomar cualquier valor menor o igual
que la base b.
(b) el coeficiente de rozamiento estático en el contacto es
menor que la unidad.
(c) la altura h es menor o igual que la mitad de la base.
(d) el coeficiente de rozamiento estático en el contacto
puede tomar cualquier valor mayor o igual que 0,5.
FIS
I
(c) El coeficiente de rozamiento estático tiene dimensio- 4.12. Sea un sólido rı́gido en equilibrio y dispuesto sobre una
superficie con la que tiene rozamiento.
nes de fuerza/longitud.
(a) En estado de deslizamiento inminente la fuerza de rozamiento se anula.
4.9. Dos cuerpos A y B de igual peso P , pero de distinto
material, están en equilibrio sobre un plano inclinado un
ángulo α. Sean µA y µB los coeficientes de rozamiento
estático respectivos con el plano. Si µA < µB ¿cómo serán
las fuerzas de rozamiento correspondientes FRA y FRB en
cada contacto?
(b) Tanto en el estado de deslizamiento inminente como
de vuelco inminente la fuerza de rozamiento adquiere su
valor máximo.
TO
.
(d) La fuerza de rozamiento estático puede ser menor que
la fuerza de rozamiento dinámica.
DP
(a) Serán nulas por estar en equilibrio ambos bloques.
(b) Serán iguales en módulo, |FRA | = |FRB |, y no nulas.
(c) Se cumplirá que |FRB | > |FRA |.
(c) En estado de vuelco inminente la reacción del contacto está aplicada en el extremo de la base de apoyo, y
en el estado de deslizamiento inminente la fuerza normal
está aplicada en el punto medio de la base.
(d) En la situación de vuelco inminente la fuerza de rozamiento adquiere un valor menor o igual que la fuerza de
rozamiento máxima.