Capitales financieros

Instrumentos
matemáticos para la
empresa (2/4)
1º GRADO DERECHO-ADE
CURSO 2011-2012.
Prof. Pedro Ortega Pulido
1. Matemática Financiera

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1.0. Introducción a la matemática financiera.
1.1. Capitales financieros
1.1.1. Interés
1.1.2. Capitalización simple
1.1.3. Descuento simple
1.1.4. Vencimientos común y medio
1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
1.1.6. Capitalización fraccionada
1.1.7. Tasas equivalentes
1.1.8. Capitalización continua
1.2. Rentas financieras
1.3. Valoración de inversiones
1.1. Capitales financieros

1.1.1. INTERÉS
Cuando una persona o entidad (PRESTAMISTA)
Presta un capital o dinero (CAPITAL PRINCIPAL)
A otra persona o entidad (PRESTATARIO)
El prestamista renuncia a su capacidad de consumo o de
inversión del CAPITAL PRINCIPAL por lo que COBRA al
PRESTATARIO uno INTERESES como pago.
 EL PRECIO DEL DINERO = INTERÉS
El interés se puede expresar en:
- Tanto por ciento:
3,5%
- En puntos básicos: 350 puntos básicos
- En puntos porcentuales: 3,5 p.p.
1.1. Capitales financieros

1.1.1. INTERÉS
Capital PRINCIPAL
PRESTAMISTA
PRESTATARIO
PRINCIPAL + INTERESES
Ejemplo 13
El Banco X nos presta 1.000€ a un interés simple del 5% anual a
devolver en 1 año. ¿qué interés nos cobra?
PRINCIPAL= 1.000€
INTERÉS = 1.000·0,05·1=50€
LOS INTERESES SE CALCULARÁN CON UNA LEY DE
CAPITALIZACIÓN DETERMINADA
1.1. Capitales financieros
 1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Es una de las leyes de capitalización basada en el interés simple, en la
que el cálculo de los intereses se realiza UNICAMENTE SOBRE EL
PRINCIPAL, los intereses que genera el capital son improductivos.
Ejemplo 14. La entidad financiera DERECHOSA nos presta 1.000€ a
un interés simple del 8% anual. ¿Cuánto dinero tendremos que
devolver si el vencimiento es a los 5 años?
PRINCIPAL = 1.000€
Intereses del 1er año = 1.000·0,08 = 80 €
Intereses del 2º año = 1.000·0,08 = 80€
Intereses del 3er año = 1.000·0,08 = 80 €
Intereses del 4º año = 1.000·0,08 = 80 €
Intereses del 5º año = 1.000·0,08 = 80 €
TOTAL INTERESES = 400 €
A devolver PRINCIPAL + INTERESES =MONTANTE = 1.400 €
1.1. Capitales financieros
 1.1.2. CAPITALIZACIÓN
DE FORMA GENERAL:
SIMPLE
Ct  C0  C0  r  t  C0  (1  r  t )
Ct  C0  (1  r  t )
I t  C0  r  t
Factor de capitalización simple 1  r  t
1.1. Capitales financieros
 1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 15. Calcula el interés que producen 500 € dentro de 9 años
a un interés simple del 12% anual y el montante final
¿qué ocurre si la unidad de medida de los periodos y del tipo
de interés son diferentes?
Ejemplo 16. Calcula el interés que producen 500 € dentro de 18
meses a un interés simple del 12% anual
Observación.
En las fórmulas de capitalización simple:
El tipo de interés r y t deben ser homogéneos, es decir, deben
expresarse en la misma unidad de tiempo.
1.1. Capitales financieros
 1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 17 Juan pide prestados 1.500 e a Ana a devolver dentro
de 20 meses. Si Ana le pide un interés simple del 7% semestral.
¿Cuánto tendrá que devolver Juan a Ana dentro de 20 meses?
En el proceso de HOMOGENEIZACIÓN de la unidades de tiempo
debemos tener en cuenta que:
- Nº de días del año comercial = 360
- Nº de días del año natural = 365
- Nº de día del año natural bisiesto = 366
- Nº de semanas del año = 52
Otra forma de expresar la fórmula del interés simple es:
con r (anual)
k=1 si t en años; k=2 si t semestres,
k=3 si t en cuatrimestres,….
1.1. Capitales financieros
 1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 18. Hemos recibido un préstamo de 6.000 € a devolver
dentro de 7 meses a un 12% de interés simple anual. ¿Cuánto
tendremos que pagar por los intereses del préstamo?
Ejemplo 19. Tenemos que pagar 5.000 € a un proveedor, y hemos
negociado retrasar el pago 75 días. El proveedor acepta el retraso
pero dice que tendremos que pagarle 93,7 € de intereses. ¿qué tipo
de interés simple nos cobra el proveedor?
Ejemplo 20 Tenemos una deuda de 5.000 € con el proveedor del
ejemplo anterior. Sabiendo que nos cobra el mismo tipo de interés.
¿Cuántos días podremos aplazar el pago si sólo deseamos pagar
75 e de intereses?
1.1. Capitales financieros

1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 21. Hemos invertido 10.000 € en unos fondos que ofrecen
un interés simple anual del 15%. ¿Cuál será el saldo de dicha
cuenta dentro de 8 meses?
Ejemplo 22. Un inversor retira 5.160 € de un fondo en el que colocó
3.000 €. Calcule el tiempo que ha durado la inversión si la
rentabilidad del fondo era de un 12% anual.
1.1. Capitales financieros
1.1.3. DESCUENTO SIMPLE
a) Descuento simple racional o matemático

La ley de capitalización simple viene dada por:
Por tanto para calcular el VALOR ACTUAL
Capital
basta despejar y obtenemos
de un
1
Factor de descuento simple
1  r·t
1.1. Capitales financieros

1.1.2. a) DESCUENTO SIMPLE RACIONAL
Ejemplo 23. Dentro de 10 meses tenemos que pagar 6.000 € de una
deuda pendiente. ¿Cuánto tendría que invertir en un fondo que nos
ofrece un 6% de interés simple anual para poder hacer frente a
dicho pago?
Ejemplo 24. Dentro de 4 años queremos regalar a nuestros padres un
viaje valorado en 2.640 € (suponiendo que el importe del viaje no
varia a lo largo del tiempo). Para ello decidimos invertir en un
depósito que nos garantiza obtener dicho importe si aportamos hoy
2.000 € ¿cuál es el tipo de interés simple que nos ofrece el
depósito?
1.1. Capitales financieros
 1.1.3. b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
LETRAS DE CAMBIO.
En ocasiones para ejecutar los pagos entre empresas se suelen
extender letras de cambio donde el LIBRADOR (el que presta o
realiza la venta) cobrará al LIBRADO (el prestatario o comprador)
un cierto importe NOMINAL en un plazo de devolución
VENCIMIENTO.
Ejemplo 25. Nuestra empresa vende a JUAN S.A. unos productos por
80.000 €. Para ello deciden extender una letra de 80.000 € a pagar
en 60 días. Determina en esta operación
LIBRADOR -- LIBRADO --- NOMINAL --- VENCIMIENTO
1.1. Capitales financieros
 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
VENTA DE LETRAS DE CAMBIO
Las letras de cambio en si mismas no tienen LIQUIDEZ, pero pueden
ser vendidas por el LIBRADOR a un banco que se convierte ahora
en el TENEDOR de la letra. El Banco nos dará liquides a la letra y
para ello
cobrará al LIBRADOR unos intereses (DESCUENTO COMERCIAL)
Y luego cobrará al LIBRADO el NOMINAL al VENCIMIENTO.
El banco cobrará intereses sobre un CAPITAL FUTURO (a diferencia
del descuento racional) y el LIQUIDO que obtenemos es:
Es el denominado DESCUENTO COMERCIAL
1.1. Capitales financieros

1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
Ejemplo 25. Si negociamos la letra de 80.000 € con el banco ¿cuál
será el importe líquido que recibiremos?
OBSERVACIONES:
 Si al vencimiento el LIBRADO no pagase el NOMINAL al banco
entonces lo tendría que pagar el LIBRADOR.
 El importe de la contraprestación, es decir, el valor de la letra se
llama NOMINAL
,lo que el banco nos da es la prestación es el
LÍQUIDO
: LIQUIDO = NOMINAL – DTO. COMERCIAL
 En el DESCUENTO COMERCIAL el interés se calcula sobre el
capital final, mientras que en el DESCUENTO RACIONAL el interés
se calcula sobre el capital inicial
1.1. Capitales financieros

1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
Ejemplo 26. La empresa MOVILES S.A. ha vendido a la distribuidora
JJONE una partida de teléfonos móviles por un importe de 50.000€.
Para ello ha extendido un efecto a 90 días. MOVILES S.A. necesita
liquidez por lo que negocia la letra con el BANCO-H que le aplica
un descuento del 10%.
a)
Calcula el importe líquido que recibe MOVILES S.A.
b)
Dibuja el gráfico de flujo de fondos
c)
Determina el interés que resultaría de este descuento si fuese
descuento racional (interés vencido)
d)
¿qué relación guardan el descuento comercial d=0,1 (interés
anticipado) y el descuento racional r (interés vendido
1.1. Capitales financieros
 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
RELACIÓN ENTRE DESCUENTO COMERCIAL Y RACIONAL
El tipo de interés que aplica el descuento racional r se llama INTERÉS
VENCIDO ya que se aplica sobre el capital inicial
El tipo de interés que aplica el descuento comercial d se llama
INTERÉS ANTICIPADO ya que se aplica sobre el capital final.
Demostrar que
1.1. Capitales financieros

1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
Ejemplo 28. Un cliente debe pagar 35.000€ dentro de 45 días a la
empresa tecnológica ORDENA S.A. Para ello se extiende una letra
de cambio por dicho importe. La empresa vende la letra al BANCOMMH y este aplica un 12% de descuento.
a)
Determina LIBRADOR, LIBRADO, NOMINAL, TENEDOR de la
letra de cambio.
b)
¿Cuál es el importe LÍQUIDO que recibe la empresa a través de
BANCO-MMH?
c)
¿Cuál es el tipo de interés vendido de la financiación?
(realiza este apartado por 2 métodos)
1.1. Capitales financieros

1.1.4. Vencimientos común y medio
Es muy frecuente que el vencimiento de un capital o de un
conjunto de capitales con distintos capitales requiera
efectuar sobre el modificaciones.
Estas modificaciones pueden dar lugar a dos tipos de
vencimientos común y medio.
VENCIMIENTO MEDIO
Cuando un conjunto de capitales con distintos
vencimientos puede SUSTITUIRSE por un SOLO
CAPITAL que es SUMA de los capitales anteriores en
un vencimiento único, a dicho vencimiento le
denominamos VENCIMIENTO MEDIO
a)
1.1. Capitales financieros
 1.1.4. Vencimientos común y medio
Ejemplo 28 La empresa A debe a un proveedor 3 capitales de 3.000€,
2.000€ y 1.000€ que vencen a 30, 60 y 90 días. ¿En qué fecha
podría pagar la empresa A los 3 capitales juntos sin ningún tipo de
interés?
¿Cómo se calcula el VENCIMIENTO MEDIO?
Calcularlo para el ejemplo anterior.
Es decir, el vencimiento medio es la MEDIA PONDERADA de los
vencimientos de varios capitales.
1.1. Capitales financieros
 1.1.4. Vencimientos común y medio
Ejemplo 29 Un cliente debe 50.000€ a 30 días y 100.000€ a 120 días
y quiere hacer un único pago de 150.000€ ¿cuándo será dicho
pago?
b) VENCIMIENTO COMÚN
Ejemplo 30 Un cliente debe 50.000€ a 30 días y 100.000€ a 120 días
y quiere hacer un único pago el día 100 ¿Cuánto deberá pagar si se
pacta un interés del 12%?
OBSERVACIONES:
1) En el ejemplo anterior 150.500€ NO es la suma de los capitales.
2) El VENCIMIENTO MEDIO es 90 días
3) Como el vencimiento deseado es 100 días , no coincidente con VM
el capital sustituto no es suma de capitales.
1.1. Capitales financieros

1.1.4. Vencimientos común y medio
Ejemplo 31. Debemos pagar a un proveedor 8.000€ a 30 días, 1.000€
a 60 días y 1.000€ a 90 días. Se quiere hacer un único pago el día
80. ¿cuánto se debe pagar en dicha fecha si se pacta un 9% de
interés simple anual? (RESOLVER 2 MÉTODOS)
Ejemplo 32. Mi empresa debe a un proveedor 3 capitales de 8.000€,
1.000€ y 1.000€ que vencen a 30, 60 y 90 días respectivamente.
Hemos pedido al proveedor que agrupe esos pagos en 85 días. El
proveedor acepta la propuesta si le pagamos 10.230€ en esa fehca
¿qué interés pagamos al proveedor?
1.1. Capitales financieros
1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
a) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
En la ley de capitalización compuesta, los intereses se
vuelven productivos de tal forma que en un periodo se
capitaliza el capital y los intereses generados en el
periodo anterior:

Año
Intereses
0
0
Capital acumulado
1
2
3
…
t
…
…
1.1. Capitales financieros

1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
Capitalización compuesta:
se denomina factor de capitalización compuesta.
Ejemplo 33. Juan ingresó 1.200€ en la supercuenta del BancoM
que ofrece un interés anual compuesto del 10%.
¿Cuánto dinero tendrá Juan en esa cuenta dentro de 1 años?
¿Y dentro de 2 años?
¿Y dentro de 3 años?
¿Y dentro de t-años?
1.1. Capitales financieros
1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
b) Descuento compuesto.
La fórmula para ACTUALIZAR un capital que ha sufrido
un interés compuesto es:

Ejemplo 34. María se graduará en la univesidad dentro de dos
años. Su madre quiere regalarla un reloj y supone que para
dentro de dos años necesitará 238€ para poderlo adquirir.
¿Cuánto tendrá que ingresar la madre de María en una cuenta
de ahorro que le produce un 14% de interés compuesto anual?
1.1. Capitales financieros

1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
Ejemplo 35. ¿Cuánto tiempo deberemos invertir 5.000€ en una
cuenta que nos ofrece un interés del 13% de interés compuesto
anual para obtener 8.152,37€?
Ejemplo 36. María presta 100 € a Ana al 12% de interés
compuesto anual. ¿Después de cuántos años Ana deberá
devolver a María 157,35€?
Ejemplo 37. Verónica compró dólares por un importe de 1.000€ y
tres años los vendió por 1.331€. ¿Cuál fue la rentabilidad de la
inversión si aplicó interés compuesto?
1.1. Capitales financieros
1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
c) Capital y descuento compuesto en periodos en los
que varía el tipo de interés

¿qué ocurre cuando el tipo de interés varía a lo largo de la
operación financiera?
Ejemplo 38. Hace 5 años ingresé 1.000€ en una cuenta que
ofrecía un interés variable en régimen de capitalización
compuesta anual.
a)
Calcular el saldo dentro de 5 años si los 2 primeros años el
interés fue del 8% ;los años 3º y 4º del 11% y el 5º año del 12%.
b) Calcular la rentabilidad global de la inversión durante estos 5
años.
1.1. Capitales financieros
1.1.5. Capitalización y descuento compuestos
En general, si tenemos un capital inicial
al que se
le aplica un r1% durante t1 periodos, luego un r2%
durante t2,…, rk% durante tk, el capital final será:

Y por tanto:
1.1. Capitales financieros

1.1.5. Capitalización y descuento compuestos.
Ejemplo 39. Mi madre quiere tener ahorrados 12.000 € dentro de
4 años para celebrar sus bodas de oro. Una cuenta le ofrece
un 12% de interés compuesto anual los dos primeros años y
luego un 9%. ¿Qué cantidad debe depositar en la cuenta?
1.1. Capitales financieros

1.1.6. Capitalización fraccionada
Hasta ahora la capitalización compuesta se realizaba con
periodos anuales, pero puede ocurrir que los intereses se
CAPITALICEN: mensualmente, trimestralmente,
semestralmente, semanalmente, diariamente o en cualquier
otro periodo. A este tipo de capitalización la llamaremos
CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA: los intereses se capitalizan
en FRACCIONES DE AÑO incorporándose al principal para
producir nuevos intereses.
Ejemplo 41. Verónica, Ana, María, Carlos y Pedro invierten cada
uno 500€ en 5 bancos distintos con un interés compuesto
anual del 9% pero con distintos periodos de capitalización.
¿Cuál será el saldo en sus cuentas durante un 1 año si Verónica
utiliza capitalización anual, Ana semestral, María trimestral,
Carlos mensual y Pedro diaria?
•
1.1. Capitales financieros
1.1.6. Capitalización fraccionada
Observación Si
es el TIPO EFECTIVO
que se aplica a una operación financiera y es
CAPITALIZABLE n-veces al año, cada periodo se
infresarán la n-ésima parte del tipo nominal:
Tenemos dos TASAS.
TASA NOMINAL: la que se pagará durante un periodo
de inversión sin tener en cuenta la acumulación de
intereses.
TASA EFECTIVA: la que realmente se aplica a la
operación financiera y que refleja cuándo se
capitalizan los intereses.

1.1. Capitales financieros

1.1.6. Capitalización fraccionada
Ejemplo En el ejemplo 41 9% es la TASA NOMINAL, y:
- cuando la capitalización es semestral la TASA EFECTIVA ES
9/2 %
- Cuando la capitalización es mensual la TASA EFECTIVA es
9/12 %
Si el tipo de interés NOMINAL es r, capitalizable n-veces al año
cada periodo ofrece una tasa EFECTIVA:
Así:
Y si invertimos t-años
1.1. Capitales financieros

1.1.6. Capitalización fraccionada
Ejemplo 43. El Banco Amarillo ha lanzado dos cuentas que
ofrecen:
1ª) Interés semestral del 3%
2ª) Interés semanal del 0,2%
Si María ingresa 3.000€ en la cuenta 1 y Ana la misma cantidad en
la cuenta 2.
a)¿Qué importe tienen cada una de ellas después de 2 años?
b) ¿Cuál de las dos cuentas es más rentable?
Ejemplo 44. Supongamos que voy a comprar un coche de
segunda mano a través de una entidad financiera que me
permite pagarlo al contado por 5.800€ o dentro de un año por
6.200€. Podría pagarlo al contado, pero tengo dinero en una
cuenta que me está rentando un 6% de interés cuatrimestral.
¿Qué opción es más interesante?
1.1. Capitales financieros

1.1.6. Capitalización fraccionada
Ejemplo 45. Tenemos un capital de 5.000€ en una cuenta que nos
renta un 13% de interés nominal anual capitalizable
mensualmente. ¿Cuánto habremos acumulado dentro de 3
meses?
Ejemplo 46. Un cliente me debe 3.200€ pero no puede pagarme
hoy y me propone posponer el pago 6 meses por 3.300€.
Actualmente yo podría invertir mi dinero en una letras del
tesoro que ofrecen un 7% de interés anual. ¿Conviene aplazar
el pago?
1.1. Capitales financieros

1.1.7. Tasas equivalentes.
Definición: Las tasas o tipos equivalentes son aquellos que
referidos a DISTINTA UNIDAD DE TIEMPO pero aplicados sobre
el MISMO CAPITAL INICIAL y durante EL MISMO PERIODO de
tiempo producen el MISMO CAPITAL FINAL (Se refiere a
capitalizaciones distintas)
Ejemplo 47. Comprobar que dados 10.000 € invertidos a un año
con un 11,66% de interés anual con capitalización semestral es
equivalente a 11,387% de interés anual con capitalización
mensual y a su vez es equivalente a un 12% de interés anual
con capitalización anual.
1.1. Capitales financieros
1.1.7. Tasas equivalentes.
OBSERVACIÓN: esa equivalencia de tasas es
INDEPENDIENTE del capital inicial.

Ejemplo 48. Calcular cual es la tasa anual equivalente (tasa anual
y capitalización anual) que ofrece un TIPO NOMINAL del 12%
capitalizable mensualmente.
GENERALIZANDO:
Si
es un tipo de interés anual capitalizable n-veces al año
Y
es el tipo interés nominal capitalizable k-veces al año se
verifica:
1.1. Capitales financieros

1.1.7. Tasas equivalentes.
Ejemplo 49. Calcular el tipo de interés capitalizable
semestralmente equivalente al 10% de interés capitalizable
bimensualmente.
TASA ANUAL EQUIVALENTE (T.A.E.) es la anualización del tipo
de interés efectivo realizado en una operación financiera.
Una operación financiera que ofrece un
anual capitalizable nveces al año tiene un T.A.E.
1.1. Capitales financieros

1.1.7. Tasas equivalentes.
Ejemplo 50. Hemos recibido una herencia de 40.000€ y tenemos
distintas alternativas de inversión:
a)
Ingresarlo en la entidad A que ofrece un 8% de interés nominal
capitalizable semestralmente.
b) Ingresarlo en la entidad B que ofrece un 8,6% de interés
nominal capitalizable mensualmente.
c)
Ingresarlo en la entidad C que ofrece un 8,4% de interés
nominal capitalizable bimensualmente.
1)
Calcula el capital final después de un año de cada entidad.
2)
Calcula la T.A.E. de cada operación
¿qué entidad ofrece una mayor rentabilidad?
3)
1.1. Capitales financieros

1.1.7. Tasas equivalentes.
¿Cómo afectan las comisiones y los gastos a los intereses?
Ejemplo 51. Juan desea realizar obras en su casa por un importe
de 6.000 €. Le ofrecen financiar dichas obras con las siguientes
condiciones:
Entrada 1.500€
6 pagos mensuales de 825€ cada uno.
Calcular la TAE de esta financiación.
1.1. Capitales financieros

1.1.8. Capitalización continua.
Recordemos la fórmula de la capitalización fraccionada:
Siendo
el capital inicial; r el interés nominal
Capitalizable n-veces al año durante t años.
Ejemplo 52. Calcular el valor futuro de 12.000€ dentro de tres
años a un tupo anual del 10%
a) Capitalizable anualmente
b) capitalizable semestralmente
c) Capitalizable trimestralmente d) capitalizable mensualmente
e) Capitalizable semanalmente f) capitalizable diariamente
g) Capitalizable CADA HORA
h) capitalizable cada minuto
1.1. Capitales financieros
 1.1.8. Capitalización continua.
a)
ANUALMENTE:
b)
SEMESTRALMENTE
c)
TRIMESTRALMENTE
d)
MENSUALMENTE
e)
SEMANALMENTE
f)
DIARIAMENTE
g)
CADA HORA
h)
CADA MINUTO
1.1. Capitales financieros

1.1.8. Capitalización continua.
Si hacemos que n tienda a infinito, el número de veces que se
capitaliza es muy grande y por consiguiente el periodo de
capitalización es casi “INSTANTÁNEO” en cuyo caso:
Y como :
Entonces:
Cuando se invierte un capital durante cierto tiempo t en años a
una tasa anual del r % con CAPITALIZACIÓN CONTINUA
1.1. Capitales financieros

1.1.8. Capitalización continua.
En el ejemplo 52 si invertimos con capitalización CONTINUA:
Ejemplo 53. El Banco H acaba de lanzar un novedoso producto
financiero en la red. Se trata de una cuenta que ofrece un
interés anual del 8% en capitalización continua, ingreso mínimo
20.000€. Si ingresamos 25.000€ en esta cuenta, calcular el
saldo de la cuenta en 5 años.
Ejemplo 54. Un amigo nos pregunta por la cuenta del ejemplo 53:
¿Cuánto tendré que ingresar hoy en la cuenta si quiero
disponer de 30.000€ dentro de 6 años?