Capítulo7. ARCOS - Instituto de Física del Plasma

Capítulo7. ARCOS
7.1 Características Generales
El arco puede definirse como una descarga auto-sostenida con una baja caída de
potencial en la región catódica (~ potencial de excitación o ionización de los átomos
~10 e V). Esto deriva de la existencia de mecanismos de emisión de electrones muy
eficientes (emisiones termoiónica, por campo o emisión termoiónica por campo) que
hacen innecesaria la ampliación de corriente operada en la caída catódica de una
descarga glow.
El arco está caracterizado por corrientes grandes (i ~ 1-105 A), con densidades
de corriente catódica en el rango 102-108 A/cm2 (de acuerdo con el modo de la
descarga). La caída de voltaje en el arco es baja (~20-30 V), y en muchos casos (pero no
siempre) la característica V - i es de tipo decreciente.
Los cátodos en el arco reciben grandes flujos de energía y alcanzan elevadas
temperaturas, a veces sobre toda la superficie catódica, a veces localmente (y por cortos
intervalos de tiempo). Como consecuencia, son erosionados y sufren vaporización. A
diferencia de la descarga glow, el espectro de emisión en las vecindades del cátodo
contiene líneas del vapor del material de los electrodos. Un caso extremo de esto es el
de los arcos en vacío (vacuum arcs), en el cual el plasma está completamente formado
por material metálico de los electrodos (primordialmente del cátodo). El plasma
formado por el arco puede estar en equilibrio (Te = T) o no, de acuerdo con la presión
del gas en la descarga.
7.2 Tipos de Arcos
Las clasificaciones de los arcos son arbitrarias, y están basadas en las
características del proceso de emisión catódica, el estado del plasma en la columna
positiva o el medio en el cual se sostiene la corriente.
a) Arco con cátodo caliente
En estos arcos la temperatura del cátodo es muy elevada (Tc ≥ 3000 oK), así que el
mecanismo de emisión es termoiónico. La corriente en el cátodo es difusa, con
densidades jc~102-104 A/cm2. El material del cátodo está compuesto de un metal
refractario, por ejemplo tungsteno (Tmelt ≈ 3700 oK, Tboil ≈ 5900 oK), molibdeno,
zirconio, tantalio. Se los emplea en dispositivos de larga vida útil, y que requieren de
baja erosión catódica (plasma spray, soldadura, etc.).
b) Arco con calentamiento catódico externo
Se trata de descargas no auto sostenidas, en donde el cátodo es calentado por una fuente
externa auxiliar. Un ejemplo típico son las válvulas electrónicas de potencia
(calentamiento por filamento). En general se los emplea en dispositivos de baja presión
y corriente.
c) Arcos con cátodo frío (spots)
En estos arcos, la corriente no es difusa en el cátodo, sino que se concentra en (uno o
varios) pequeños puntos muy calientes y brillantes (spots) que aparecen y desaparecen,
y se mueven rápidamente sobre la superficie. La densidad de corriente en el spot es muy
alta (jc ~ 106-108 A/cm2) y aún hoy su valor es motivo de controversia. El material en el
spot es calentado, evaporado e incluso ionizado. Los spots se forman siempre en
materiales de bajo punto de fusión, como cobre (Tmelt ≈ 2570 oK), hierro, plata,
mercurio líquido, etc. ya que éstos no pueden sostener la temperatura necesaria para
trabajar en el modo de cátodo caliente. A corrientes y presiones bajas aparecen también
en metales refractarios. El mecanismo de emisión en un spot parece ser emisión
termoiónica por campo.
d) Arco en vacío (Vacuum arc)
Se trata de un arco con spots catódicos, cuyo material está formado por un plasma
metálico del material del cátodo (principalmente). A corrientes muy elevadas (> 103 A)
el ánodo también puede eyectar material (spots anódicos). Se usan mucho como
interruptores de circuito en dispositivos eléctricos de alta potencia. También se los
emplea para producir recubrimientos.
e) Arcos de alta presión
Se designa con este nombre a arcos con p ~1.0-1 Atm (los que incluye los arcos en
aire). En estos arcos el plasma está en equilibrio térmico (Te ~ T ~ 6-12000 oK).
f) Arcos de muy alta presión
En este caso p ≥ 10Atm. Este modo es muy interesante, pues una fracción muy grande
del calor Joule (hasta~ 80%) se convierte en radiación. Se los emplea para lámparas de
alta presión (en vapores de Xe o Hg).
g) Arcos de baja presión
En este caso p ~ 10-3-1 Tom. El plasma no está en equilibrio térmico. Se parece a un
glow (Te >> T), pero con un grado de ionización mucho más alto, por la mayor
corriente.
Transición glow-arco : La transición de glow anormal a arco es causada por el
calentamiento del cátodo a medida que sube i. Con cátodos refractarios (termoiónicos)
la transición es más o menos suave. En cambio para metales de bajo punto de fusión
(cátodos fríos), la descarga glow se transforma bruscamente en un arco, y los spots
catódicos aparecen instantáneamente. En estos metales el arco se establece a corrientes
más bajas (0.1-1A) que en los refractarios (~10 A). En cierta forma, la transición brusca
representa un tipo de inestabilidad en la que la descarga evoluciona hacia un modo más
"económico"de provisión de cargas (a menor voltaje), ver figura 7.1.
Figura 7.1 Transición glow-arco para cátodo "frío".
Si la corriente se interrumpe, los arcos de cátodo caliente se "rearman" después
de un tiempo más o menos largo (~ 1s para electrodos de grafito) sin necesidad de poner
nuevamente los electrodos en contacto. En cambio, los arcos de cátodo frío no se
recuperan incluso luego de una interrupción muy corta.
7.3 Iniciación de un Arco
La forma más sencilla de iniciar un arco es conectar los electrodos a una fuente
de potencia capaz de proveer una corriente suficientemente alta, comenzar con los
electrodos en contacto, y luego separarlos. Los electrodos se encuentran muy calientes
en el punto de contacto y vaporizan parcialmente material metálico, de forma tal que al
separarse el arco se desarrolla en el vapor metálico (usualmente más fácil de ionizar que
el gas). El gas es subsecuentemente reemplazado por el gas. En este esquema, se usa a
veces un electrodo auxiliar que, interpuesto entre ambos electrodos, toca inicialmente el
cátodo y luego es retirado rápidamente.
Otra forma de iniciar un arco es aplicar un pulso de alta tensión capaz de
producir la ruptura dieléctrica del gas en el espacio inter-electródico. También puede
focalizarse sobre la superficie del cátodo un pulso láser intenso (con energías ≥ 10 mJ)
para producir una descarga auxiliar que “cortocircuita” el gap y desencadena la descarga
principal.
7.3 Procesos Catódicos en un Arco de Cátodo Caliente
En la capa catódica de una descarga glow, el No de pares de carga que se
producen es tal de asegurar su reproducción por el proceso de emisión secundaria
debido al flujo iónico hacia el cátodo. En el caso de un arco de cátodo caliente, los iones
producidos en la capa catódica deben proveer al cátodo de la energía necesaria como
para mantener la temperatura adecuada para reproducir las cargas (por emisión
termoiónica). Este método es mucho más eficiente que la emisión secundaria. Este
último produce γ ~ 10-3÷10-1 electrones por ión, por lo que la fracción iónica de
corriente en el cátodo es próxima a la unidad (1/(1+ γ)), mientras que la electrónica es
solamente γ /(1+ γ). En cambio, la emisión termoiónica provee S ≈ 0.7 ÷ 0.9 de la
corriente total, y entonces los iones transportan al cátodo 1-S (10 ÷ 30%) de la corriente
total. Entonces S/(1-S) (≈ 2 ÷ 9) electrones se emiten en el cálculo por ión.
La diferencia en la caída catódica VC entre el glow y el arco es, precisamente,
consecuencia de la gran diferencia entre los respectivos cocientes de corriente iónica y
electrónica. Recuérdese que en el plasma que sigue a la caída catódica, la corriente es
esencialmente electrónica. En el glow, se deben producir varias generaciones de
electrones (desde del cátodo hasta el plasma) para elevar la corriente electrónica desde
el valor γ /(1+ γ) hasta ≈ 1, y esto requiere un VC grande. En cambio, en el arco de
cátodo caliente la fracción electrónica debe elevarse sólo por el factor 1-S: ni siquiera se
requiere una generación adicional, y por eso VC es del orden (o algo menor) que el
potencial de ionización del gas. A su vez, la fracción de corriente iónica es amplificada
desde el plasma (donde vale µ+/µe ≈ 10-2) hasta 10 ÷ 30% del total en el cátodo, que es
lo que se requiere para calentarlo.
En resumen, la capa catódica del arco es la región donde se generan iones, y
donde ellos adquieren la energía cinética necesaria para transportarla al cátodo. El
cátodo recibe además el flujo térmico del plasma y la energía de neutralización de esos
mismos iones. En la figura 7.2 se muestran perfiles típicos de temperatura y campo
eléctrico en un arco. Nótese que la temperatura en el cátodo es, típicamente ≈ 1/2 (o
algo menor) de la del plasma.
Figura 7.2
7.5 Estructura de la Capa Catódica
Dada la elevada densidad de corriente en el cátodo, se forma en sus vecindades
una elevada densidad de carga positiva. Esto ocasiona una caída de campo y potencial
muy abrupta en una subcapa muy delgada cuyo espesor es del orden o menor que el
camino libre medio de iones y electrones. Esta subcapa consume una considerable
fracción de VC, y está separada de la columna positiva por otra lámina de transición
(más extendida) con un campo mucho más débil y donde ocurre el grueso de la
ionización por impacto electrónico. En la Fig. 7.3 se muestra la estructura de la capa
catódica.
Fig. 7.3
Consideremos la capa no-colisional, con el eje x dirigido de cátodo a ánodo. En
esta región las densidades de corriente electrónicas e iónicas son ≈ ctes. Supondremos
que VC está concentrado en esta capa. Entonces:
je ≈ cte = Sj = ene ve
j+ ≈ cte = (1-S) j = en+ v+
(7.1)
y las velocidades están dadas por :
ve = (2eV/m)1/2
v+= [2e(VC-V)/M]1/2
(7.2)
Si sustituimos (7.1) y (7.2) en la ecuación de Poisson:
- d2V/dx2 = 4πe (n+ - ne) = 4πj/(2e)1/2 [(1 - S) M1/2 / (Ve - V)1/2 - S m1/2 /V1/2]
(7.3)
usando que d2V/dx2 = -dE/dx = -(dE/dV) (dV/dx) = - 1/2 d(E2)/dV, se puede efectuar
una primera integral de (7.3), con la condición de contorno E ≈ 0 para V = VC .
Llamando E = EC al valor del campo en el cátodo (donde V = 0), éste resulta:
EC2 = 16πj / (2e)1/2 [(1-S)
M -S M1/2]
V
C
(7.4)
donde (1-S) M es la contribución iónica, y S M1/2 la contribución electrónica (mucho
más pequeña).
y además el espesor (h) de la capa es: h =
4
3
V
E
C
C
La (7.4) puede escribirse en forma numérica como:
EC (V/cm) = 5.7 103 A1/4 (1-S)1/2 VC1/4(V) j1/2(A/cm2)
(7.5)
en donde A es el No de masa atómico del ión.
Por ejemplo, si j = 3 103 A/cm2 , S = 0.8 , VC = 10 V , A = 28 (nitrógeno),
resulta EC = 5.7 105 V/cm y h = 2.3 10-5 cm ! Usando la fórmula de Schottky (ver
sección 3.6.1), este campo reduce la función trabajo por e ∆ϕ = 0.27 eV. Si T = 3000ºK,
la tasa de emisión termoiónica se incrementa por el factor exp(e ∆ϕ /kT) ≈ 3.
Veamos ahora el balance de energía en el cátodo, con el objeto de hallar S y la
corriente de emisión termoiónica. Es importante destacar que un cálculo preciso es muy
difícil de hacer, porque los procesos son numerosos y complejos y los datos sobre
parámetros importantes son incompletos. Por esta razón, los resultados que se obtendrán
deben considerarse como cualitativos. En particular, se puede obtener una razonable
estimación de S construyendo el balance de energía en forma simplificada.
Cada ión que llega al cátodo transporta la energía cinética adquirida en la caída
catódica, eVC. Una fracción de ella, β1, es transferida al cátodo por el impacto (β1 es
conocido como el "coeficiente de acomodamiento"). Cuando el ión es neutralizado, la
energía liberada es igual al potencial de ionización (eI) del átomo resultante, menos la
función trabajo (eϕ), que es gastada para remover el electrón neutralizante. Una parte de
toda esta energía , β2, es transferida al cátodo. Las fracciones (1- β1) y (1-β2) se las lleva
al átomo (que sale de la región catódica). En la práctica, puede considerarse β1≈β2≈1.
Por otra parte, por cada electrón emitido, el cátodo pierde eϕ (más la pequeña energía
térmica, ≈kTC, transportada por el electrón emitido).
Si se supone que la energía entregada por los iones es completamente gastada en
emisión de electrones, con β1 = β2 = 1, se tiene:
jeϕ=j+(VC+I-ϕ)
S= je/(je+j+) = (VC+I-ϕ)/(VC+I)
(7.6)
Por ejemplo, para I = 14 V , Vc = 10 V, ϕ = 4 V se tiene S = je/j = 0.83 (j+/j = 0.17), que
es un valor muy razonable.
Sin embargo, el balance de energía posee otros componentes. Por un lado, el
cátodo recibe un flujo térmico conductivo (QT) debido a la diferencia de temperatura
entre el plasma (6000-12000oK) y el cátodo (~ 3000º K). Recibe además un cierto flujo
radiante QRAD. A su vez, existe un flujo térmico desde la superficie del cátodo hacia su
interior (QH), porque la parte opuesta del cátodo se encuentra más fría (normalmente
esta parte es enfriada). Además el cátodo pierde energía por radiación (QRAD,C).
Las dimensiones de los Q son de flujo de energía. Dividiendo cada Q por la
densidad de corriente, tenemos una cantidad q=Q/j que tiene dimensiones de voltaje. Su
significado es la energía por carga electrónica transportada por la corriente eléctrica.
Entonces el balance de energía expresado por unidad de carga transportada se escribe:
Sϕ + qH+ qRAD,C = (1-S) (VC+I-ϕ) + qT+qRAD
(7.7)
Cálculos detallados basados en la última ecuación muestran que el valor obtenido para S
permanece substancialmente parecido al dado por (7.6). Además, se encuentra que si i
aumenta, j y TC aumentan, pero Vc, Ec y S se reducen. La característica Vc vs i es por
lo tanto de tipo decreciente.
Uno de los problemas más importantes de los cátodos calientes es la erosión.
Aunque esta cantidad se minimiza usando materiales refractarios y gases inertes,
siempre se pierde algo de material. Por ejemplo, para tungsteno (a presiones moderadas
o altas) la tasa de erosión es ≈10-7 g/c (se da en gramos por coulomb de carga
transportada por el arco), por lo que se pierde 0.1 g por hora a 300 A. A baja presión, el
problema es más grave pues aparecen spots catódicos incluso en materiales refractarios
(con una tasa de erosión mucho mayor); en estos casos se usa un "hollow cathode"
(cátodo hueco), que es simplemente un segmento de tubo, y el arco se desarrolla sobre
la superficie lateral interior. Haciendo "soplar" gas a través de este cátodo hueco, se han
obtenido tasas de erosión tan bajas como 10-9-10-10 g/c.
7.6 Spots Catódicos y "Vacuum Arc"
Los spots catódicos aparecen cuando, por una razón u otra, el cátodo no puede
sen calentado a la temperatura requerida para producir la emisión termoiónica de
electrones que demanda la descarga. Las razones más comunes son el bajo punto de
fusión del material, corrientes relativamente bajas (que sólo pueden causar la emisión
necesaria cuando se concentran en un área pequeña), o en baja presión ambiente.
Si i ≤ 1-10 A, p ≤ 1 Torr, los spots catódicos se forman incluso en materiales
refractarios, que en cambio se comportan como cátodos termoiónicos a presiones y
corrientes más elevadas. En cambio, para materiales catódicos de bajo punto de fusión,
los spots se forman a cualquier presión y corriente.
Algunas características de los spots
a) Evolución
En las primeras etapas de la descarga, aparecen pequeños spots (10-4-10-2 µm) y
moviéndose aleatoriamente y muy rápido (103-104 cm/s) sobre la superficie del cátodo.
Estos spots causan poca, o ninguna, erosión. La disposición de estos spots cambia en ~
10-4 s, fusionándose en spots más grandes y lentos (10-102 cm/s). La erosión comienza a
ser intensa, y es de naturaleza térmica (por el calentamiento y vaporización de
segmentos macroscópicos de la superficie catódica, a expensas de la energía inyectada
por la corriente iónica del plasma).
b) Corriente umbral y multiplicación de spots
Existe una corriente umbral (imin) que puede "soportar" spot. Se ha encontrado
empíricamente imin (A) ≈ 2.5 10-4 Tvap (oK) λ1/2 (W/cmoK) en donde λ es el coeficiente
de conducción térmica. En promedio, imin varía desde 1 A (en Hg) hasta 300 A (en W).
Si la corriente de descarga es mayor que imin, el número de spots crece. Como regla
general, los nuevos spots (al crecer i) no aparecen en sitios nuevos, sino que se
multiplican por "división".
c) Densidad de corriente
Si la corriente a través de un spot es ≈ 10 A y el radio del spot ≈ 10-3 cm,
entonces j ≈ 3106 A/cm2. Los datos reportados por diversos autores van de 104-108
A/cm2, lo que muestra que los datos sobre j son inciertos y a veces contradictorios. El
problema experimental es determinar el tamaño del spot; esto se ha hecho por vías
fotográficas (identificando el tamaño de la región luminosa) o analizando el tamaño de
la erosión una vez que la descarga ha terminado (identificando el tamaño del spot con el
tamaño del "cráter"), pero ambas identificaciones son inciertas (dan una cota inferior
para j). Esto trae problemas para el desarrollo de la teoría, ya que aquí un conocimiento
preciso de j es crucial.
d) Vaporización
Los spots emiten intensos jets de material vaporizado (con velocidades ~105-106
cm/s). La erosión es mucho más alta que en un cátodo caliente, y por ejemplo en Cu,
alcanza 10-4 g/C para i ≈ 100A.
e) Parámetros del plasma en un spot
Dado que el spot pude considerarse como un objeto casi puntual desde donde el
plasma se expande esféricamente, los valores de los parámetros del plasma son una
función muy fuerte de la distancia radial al spot. Daremos de todas maneras algunos
datos indicativos:
Temperatura del metal ~ 2000-4000oK (datos variables y contradictorios).
Concentración de neutros ~ 1016-1017 cm-3.
Densidad de plasma ~ (1-5)1017 cm-3 (grado de ionización muy alto)
Te ≈ 1-4 eV.
f) Caída catódica
Es del orden de 20 V, para corrientes ∼ 100 A. La presencia de un campo
magnético que restrinja el camino de los electrones hacia el ásnodo puede subir
considerablemente el voltaje del arco. La característica V-i es de tipo creciente (es decir
de comportamiento opuesto al arco de cátodo caliente), y no se ha encontrado aún una
explicación para esto.
g) Spot en un cuerpo magnético
Si se aplica un campo magnético tangencial a la superficie del cátodo, el spot se
mueve en dirección opuesta a la de la fuerza magnética jxB (no hay explicación
convincente de este comportamiento). Si existe gas residual en la cámara a presiones ∼
mbar, el movimiento del spot en presencia de B se revierte, y vuelve a ser en la
dirección de jxB.
No existe hasta el presente una teoría que explique satisfactoriamente los
fenómenos del spot catódico. Esta situación es debida a la enorme complejidad de este
fenómeno físico, en la cual hay presentes procesos de estado sólido, superficies,
interfaciales, de plasma, eléctricos y térmicos; y además todos fuertemente
interconectados. De todas maneras, puede decirse que lo que sucede en el área del spot
se parece al esquema general de un cátodo caliente: el spot recibe corriente iónica. La
energía cedida por los iones (energía cinética adquirida en la caída catódica, más
liberada en la neutralización) calienta localmente el metal, el cual produce emisión
termoiónica (ayudada por un fuerte campo eléctrico, ver 7.5) y parte es vaporizado. En
un gap en vacío, este vapor crea el medio que es a su vez ionizado por los electrones
emitidos y acelerados en la caída catódica. Este vapor ionizado constituye la fuente de
corriente iónica. El proceso de evaporación de un centro caliente localizado depende a
su vez de la tasa de pérdida de energía por conducción térmica hacia elementos
adyacentes, etc.
Un punto de crucial importancia en la teoría de spots es entender el mecanismo
de emisión. Teorías basadas en esquemas similares al cátodo caliente predicen que para
materiales de volatibilidad intermedia (cobre, etc.), con TC ≈ 3000-3500oK, ϕ ≈ 4eV, es
posible obtener j ≈ 106 A/cm2 por emisión termoiónica con campo (con E ≈ 107 V/cm) y
con valores razonables de 1-S= j+/j ≈ 0.3 - 0.4. Sin embargo, el problema aparece con
materiales muy volátiles o poco volátiles. Por ejemplo, para Tungsteno, se necesita TC ≈
6000oK, por lo que la emisión termoiónica pura sería enorme y entonces el campo
eléctrico muy bajo. En este caso, los electrones emitidos no serían "empujados" hacia
afuera de la lámina catódica, y se formaría una carga especial negativa que limitaría la
corriente emitida por el spot (similar a lo que ocurre en un diodo de vacío). Por otro
lado, en un metal como el Mercurio, TC ≈ 1700oK, con lo cual no había casi emisión
termoiónica y entonces se necesitarían campos gigantescos para explicar la emisión.
Un mecanismo interesante a mencionar, porque posee aspectos comunes con los
procesos del spot, es el llamado de emisión explosiva (descubierto en ~ 1966). Los
experimentos han demostrado que en la ruptura dieléctrica pulsada en un gap en vacío
en donde existe un electrodo con una punta muy delgada, si se aplica un voltaje elevado,
aparece una corriente con un cierto retardo. El establecimiento de esta corriente va
acompañada de una explosión de la punta y por lo tanto una eyección de una burbuja de
plasma. En una punta de Tungsteno con un radio de curvatura ~ 0.2 µm y un campo dc
~1.2 108 V/cm, el retardo es ~ 1ns. En un cátodo masivo, el campo en puntas
microscópicas (protrusiones del material) es amplificado por un factor ~100, así que el
mismo efecto es obtenido para un campo macroscópico ~ 106 V/cm. La densidad de
corriente en una punta es ~108-109 A/cm2 y la corriente es ~102 A en un área de ~10-6
cm2. El metal explota porque se libera una gran cantidad de calor (efecto Joule) en la
punta. Al principio la corriente es producida por emisión por campo, y se va
transformando en emisión termoiónica por campo a medida que la punta se calienta.
Cuando los electrones son eyectados de la superficie, son reemplazados por otros desde
adentro del metal, de forma tal que una enorme corriente pasa a través del metal en la
superficie emisora. Es esta corriente la que calienta la punta y produce la vaporización
explosiva (el retardo es el tiempo necesario para acumular la energía necesaria). En este
fenómeno, el No de electrones transportados en el pulso de corriente es mayor que el No
de átomos en el plasma por un factor 10-103, por lo que la ionización del material
evaporado no es crucial.
7.7 La Región Anódica
Al igual que en el caso del cátodo, la descarga puede ser: a) difusa, con jA ∼ 102
A/cm2, y poca erosión; b) con spots anódicos, se forma en este caso con ánodos
pequeños y la corriente es "forzada" a ocupar toda la superficie. A una cierta corriente,
la descarga se desestabiliza y se contrae. En este caso jA ∼ 104-105 A/cm2. Los spots
anódicos también emiten jets de vapor.
Caída de potencial anódica
La caída de potencial anódica está compuesta de dos partes: una parte refleja la
formación de una capa anódica con carga especial negativa (porque el ánodo repele
iones). Su magnitud es del orden del potencial de excitación (o ionización) del vapor o
átomos de gas, y debe su existencia a la necesidad de producir un suave incremento en
la corriente electrónica desde la región del plasma al ánodo. Existe además una segunda
parte que tiene un origen geométrico, y ocurre cuando el área del ánodo es menor que la
sección de la región de plasma. Para mantener i = ne µe E S ≈ cte, si S disminuye se
debe aumentar ne y E (ambos se incrementan juntos). En la Fig. 7.4 se muestra una
curva característica de un vacuum arc con ánodo grande y pequeño.
Fig. 7.4
La energía que recibe el ánodo en una descarga proviene, primariamente, de los
electrones. Esta energía corresponde a la energía cinética adquirida en la caída anódica
más la energía de ligadura liberada al recombinarse (la función trabajo ϕ).
Aproximadamente, esto corresponde a ~ 10 e V por electrón, suficiente para elevar la
temperatura del ánodo hasta varios miles de grados.
7.8 La Columna Positiva
Al igual que en el caso del glow, la fuente de energía en la columna positiva es
la disipación Joule E.j. Para mantenerse estacionaria, esta energía es disipada por
conducción térmica lateral (y radiación, a muy alta presión). El destino final de este
flujo térmico lateral depende de la configuración experimental: puede ir a las paredes
(que deben ser enfriadas) si el arco se produce en un recinto cerrado; muchas veces se
usa un flujo de gas lateral para enfriar. Si el arco se produce al aire libre, el calor se
disipa mediante flujos convectivos; etc. Si el arco es muy corto, el calor se disipa
principalmente en los electrodos, que deben enfriarse.
Un aspecto interesante a discutir es la posibilidad de existencia de equilibrio
térmico en la columna. Esto depende del gas, de la presión y de la corriente. Si p ≤ 0.1
Atm e i ∼ 1 A, no hay equilibrio térmico. Por el contrario, el plasma de aire, otros gases
moleculares y vapor metálico a p ≥ 1 Atm está en equilibrio a cualquier corriente. En
este último caso, el equilibrio se alcanza por el intercambio de energía entre electrones y
moléculas a través de excitación de rotaciones y vibraciones y por grandes secciones
eficaces de scattering elástico de los electrones con el vapor metálico. La separación de
temperaturas es mayor en gases inertes, debido a que las secciones eficaces de scattering
elástico de electrones por átomos son relativamente más pequeñas. Esta separación es
eliminada a corrientes elevadas, porque el grado de ionización es alto y la interacción
ión-electrón es más fuerte que la átomo-electrón. En la Fig. 7.5 se da un ejemplo para
Argón, a 1Atm de presión.
Fig. 7.5 Te: electrones, Ti: iones, Tg: gas, T*: gas excitado en niveles altos.
En un arco cilíndrico, las distribuciones de ne y T tienen un máximo en el eje de
la columna y caen hacia las paredes. Pero como la ionización en equilibrio es una
función muy fuerte de la temperatura (ne ∝ exp(-I/2kT)), ne cae mucho más fuerte hacia
fuera que T. A su vez la intensidad de emisión de luz sigue aproximadamente a ne2.
Como resultado, el arco se ve como brillante columna ocupando un canal relativamente
delgado sobre el eje. En la Fig. 7.6 se muestran perfiles típicos de T y ne pero un arco de
Argón a p=1Atm, i = 50 A. El radio de la cámara es de 6 mm.
Fig. 7.6
Nótese en la última figura que la abrupta caída de ne está enmascarado por la
escala logarítmica. A su vez el perfil de T depende del mecanismo de enfriamiento.
El campo eléctrico en la columna decrece con la corriente y crece con la presión.
Depende también del tipo de gas.
Las pérdidas radiativas dependen también del tipo de gas, presión y corriente. Si
bien hay que estudiarlos en cada caso, son aproximadamente proporcionales a ne2. Por
ejemplo en Nitrógeno y aire a p=1 Atm se pierde 1-5 % en radiación. En Argón, bajo las
mismas condiciones, las pérdidas son más grandes (~15%, para una potencia W > 150
W/cm). Las pérdidas radiativas son muy intensas para presiones muy elevadas (p ≥ 10
Atm), especialmente para Hg, Xe, Kr, y este hecho es aprovechado para iluminación.
Existen fórmulas empíricas para evaluar la potencia radiada:
Hg,
p ≥ 1 Atm → Wrad (W/cm) = 0.72 {W(W/cm)-10}
Xe,
p= 12 Atm → Wrad (W/cm) = 0.88 (W-24), para W > 35
Ar,
p= 1 Atm → Wrad (W/cm) = 0.52 (W-95), para W > 150.
El proceso de ionización en la columna es diferente del que ocurre en plasmas
débilmente ionizados. En este último caso las partículas son ionizadas por electrones
que han obtenido la energía adecuada directamente del campo eléctrico. En la
ionización térmica, el efecto del campo es "despersonalizado". El campo bombea
energía sobre el gas electrónico como un todo; los electrones se termalizan entre sí y es
la cola de alta energía de la distribución la responsable de la ionización.
Modelo de columna en equilibrio
Supongamos un arco cilíndrico en equilibrio (columna de radio R). Si
T≤12000oK, y la presión es moderada, no se necesitan considerar pérdidas radiativas.
La ecuación principal es la del balance de energía (deposición Joule vs. conducción
térmica).
Como ∇ x E = 0 ⇒ E es uniforme, además j= σ E (σ = σ (T)).
La potencia Joule depositada por unidad de volumen es j o E= σE2.A su vez, la
pérdida de energía por conducción térmica (por unidad de tiempo y volumen) está dada
.
por ∇ J, donde J = -λ(T) ∇T es el flujo térmico y λ(T) el coeficiente de conducción
térmica. Entonces la ecuación de la energía se escribe:
σ E2-
1 d
(r J) = 0
r dr
; J= -λ(T) dT/dr
(7.8)
y se suponen conocidas las funciones σ(T) y λ(T). (Es interesante mencionar que λ(T)
incluye energías potenciales de disociación e ionización).
Las condiciones de contorno son:
T(r=R) = TW≈0 y dT/dr)r=0 =0 (por simetría)
(7.9)
∫
R
y además i = E 0 2πrσdr
(7.10)
Con W = E i, la potencia por unidad de longitud entregada al arco.
En general, el sistema (7.8)-(7.9)-(7.10) debe resolverse numéricamente. Es
posible, sin embargo, obtener una solución analítica aproximada que visualiza los
aspectos esenciales del problema. Esta aproximación es conocida como el modelo del
canal de corriente (Steenbeck, 1932). La idea está ilustrada en la Fig. 7.7.
Fig. 7.7
La idea es aprovechar que σ(T) es una función fuerte de T, y aproximarla por
una función escalón del radio. Entonces i ≈ σMAXEπro2, y se puede integrar (7.8):
1 d
ro<r<R ⇒ (r J) = 0 ⇒ J= C/r
r dr
r
1 d
0<r<ro ⇒ (r J) + σMAX E2=0 → J= σMAX E2 =(W/2πro2) r
r dr
2
y como J debe ser continuo en ro → C=W/2π
Por lo tanto queda:
J = (W/2πro2) r
si r<ro
(7.11)
= (W/2π) 1/r
si R>r> ro
A su vez se introduce la función potencial de flujo térmico
∫
y entonces θMAX= 0
∫
TMAX
T
θ ≡ 0 λdT
λdT = - 0
∫
TMAX
Jdr (TMAX≈To)
θMAX ≈ θo =W/2π ln(R/ro) =f(TMAX ) (7.12)
y además
W = i E = i2/(π ro2 σMAX)
i = σMAX E π ro2
(7.13)
Suponiendo conocidos i y R, las (7.12) y (7.13) son dos ecuaciones con 3
incógnitas (E, ro, TMAX). Steenbeck sugirió usar el principio de mínima potencia: para i,
R dados, la distribución de temperatura en el tubo (y por lo tanto la temperatura del
plasma TMAX y el radio del canal ro) deben ajustarse para que W y E = W/i sean
mínimos. Los cálculos de arcos basados en este principio ajustan bastante bien los datos
experimentales, sin embargo la validez de este principio es aún hoy una cuestión
abierta.
Sin embargo, pueden hacerse otras cosas para resolver el problema. Lo primero
es considerar que TMAX y To, aunque próximas, son en realidad distintas. Si integramos
a θ en r< ro:
θ= θMAX - (θMAXE2/4) r2 = θMAX - (W/4πro2) r2
y entonces
∆θ≡θMAX - θo = W/4π
(7.14)
Si se observa sólo el canal de corriente (ver Fig. 7.8), en condiciones estacionarias, toda
la potencia W debe balancearse con el flujo térmico que sale a través de r=ro:
Fig. 7.8
W= - 2πro Jo = - 2πro λ(To) dT/dr)ro ≈ - 2πro λ(To) (To-TMAX)/ro
W≈ 2π λ(To) (TMAX-To)
y entonces (7.14) se escribe
∆θ ≈ λMAX ∆T con ≈λMAX = λ(To) y ∆T = (TMAX-To)
(7.15)
La nueva relación (7.15) introduce una nueva incógnita: ∆T.Para estimar a ∆T,
puede usarse el criterio sobre el que se apoya el modelo:
dσ/dT)r=0 ∆T ≈ σMAX
(7.16)
y entonces
W/4π=λMAX σMAX /(dσ/dT)r=0
(7.17)
Se suele usar además:
σ(T) = C esp (-I/2kT) (siendo I>>2kT)
(7.18)
Si el grado de ionización es bajo, la (7.18) es estrictamente cierta, pues σ(T) ∝
ne. Para grados de ionización grandes, se pone un I efectivo, Ieff. Reemplazando en
(7.17) se obtiene:
TMAX = [WI /(8πk λMAX)]1/2
∆T= W/(4π λMAX) ≈ 2TMAX (kTMAX/I)
(7.19)
Nótese que TMAX es independiente del radio del tubo (a W fijo) y tampoco
depende de las características térmicas del gas en la periferia del canal. TMAX alcanza un
valor tal que ∆T, relacionado con TMAX a través de (7.16), asegura el transporte de calor
fuera del canal de corriente. Puede concluirse también que TMAX es igualmente
insensible al método de enfriado del arco.
Todos los parámetros pueden escribirse en términos de i y R. Para poner de
manifiesto las dependencias, se aproxima λ ≈ cte. Entonces las ecuaciones quedan:
R
λ TMAX = i2/(2π2ro2 σMAX) ln  
 ro 
I 

σMAX = C exp  −

 2kTMAX 
TMAX2= i2I/(8π2k λro2 σMAX)
(7.20)
y se obtiene:
kTMAX
I 

2
1/2
exp  −
 = (k/8π λCI) i/R
I
2
kT
MAX


σMAX = (IC/8π2 λk TMAX2)1/2 i/R
I 

ro/R= (σMAX/C)1/2 = exp  −

 4kTMAX 
y se puede obtener también:
(7.21)
cte
(7.22)
 i  2
i[cte - ln  ]
R
En la Fig. 7.9 se ha graficado E vs. i (es decir, la curva característica del arco). La
característica es decreciente, aunque para corrientes grandes se hace positiva (ver línea
punteada) debido a las pérdidas radiativas que aquí no se han considerado.
E = (8π λk TMAX)/I
1
=
i
Fig. 7.9