Investigación de Operaciones II

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
CADENAS DE MARKOV
CADENAS DE MARKOV ERGODICAS
CADENA REGULAR
DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE
MÉTODO ANALÍTICO
CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES
TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA
INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA )
INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA )
CREDITOS
INICIO
CADENAS DE MARKOV
Cada proceso suceso individual se denomina un “estado”. Habrá tantos estados como procesos o sucesos
posibles. Para propósitos de notación utilizaremos “Si” que significa el i-ésimo estado de un total de “m”
estados posibles: α>m>=2.
Cada vez que se produce un nuevo resultado, se dice que el proceso ha avanzado un “paso”, Utilizaremos una
“n” para indicar el número de pasos: n=0 nos indica el presente; n=1 representa el suceso posible en la siguiente
selección; n=2 representa 2 pasos después, etc.
Cuando n → α se dice que el proceso se ha estabilizado y se encuentra en condiciones de estado estable.
Los periodos de tiempo que identifican a “un paso”, son diferentes de acuerdo al sistema de que se trate.
EJEMPLO:
Tres fabricantes de automóviles tienen los siguientes datos con respecto a las compras de los clientes:
Estados posibles
n=0 posee
actualmente
n=1 porcentajeen
decimales de que
compre un Ford
N=1 porcentajeen
decimales de que
compre un Chevrolet
N=2 porcentajeen
decimales de que
compre un Nissan
S1
Ford
40
30
30
S2
Chevrolet
20
50
30
S3
Nissan
25
25
50
INICIO
SIGUIENTE
Representación de la Matriz de Transición
1) Definir los estados: Por extensión (S1, S2, S3) y por comprensión: S1=Comprara un Ford,
S2=compra un Chevrolet, S3Compra un Nissan.
2) Definir los renglones y las columnas. La "componente permanente" o retenciones (grupos que no
cambian) aparecen como valores en la diagonal principal y la " componente de
intercambio" (grupos que si cambian) aparecen como pérdidas en valores de renglones y las ganancias en
columnas Todo lo anterior se resume de la manera siguiente:
S1
S2 S3
S1
0.40 0.30 0.30
Permanencia
P= S2
0.20 0.50 0.30
y
S3
0.25 0.25 0.50
Ganancia
Permanencia y pérdida
La permanencia, cambio o ganancia de clientes de cada marca puede observarse mediante la siguiente gráfica,
donde los estados son nodos y los cambios son vectores:
0.40
S1
0.30
0.25
0.30
0.20
0.50
INICIO
S2
0.25
0.30
ANTERIOR
S3
0.50
SIGUIENTE
¿Cual es la probabilidad de que el propietario de un Nissan compre un Ford en la siguiente ocasión?
Esto es en n=0, el estado es S3, y se desea saber en n=1 la probabilidad de compra de un Ford (S1).
Respuesta: La probabilidad es 0.25
Características de una matriz de transición:
1.- Cada elemento debe ser una probabilidad o sea que debe tener valores entre cero y uno inclusive. No puede
haber probabilidades negativas ni mayores a uno.
2.- Los elementos de cada renglón deben sumar exactamente uno.
3.- La matriz de transición siempre es cuadrada.
P=
S1
S2.......Sm
S1
P11
P12.........P1m
∑=1
donde 0<=Pij<=1
S2
P21
P22.........P2m
∑=1
n
.
.
.
.
.
.
Sm
PM1
PM2
.
∑ Pij=1 donde i=1,2,3 ,m
.
J=1
PMN
∑=1
Un renglón de la matriz de transición representa a un vector Vi cuyas dimensiones son 1 *m.
V1 = [0.40 0.30 0.30]
Habrá tantos vectores como estados existan, para el ejemplo anterior se tienen 3 vectores
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
S1 = V1 = [0.40 0.30 0.30]
S2 = V2 = [0.20 0.50 0.30]
S3 = V3 = [0.25 0.25 0.50]
Ejemplo:
Para conocer las probabilidades de compra de una persona que posee ahora un Ford dos pasos después comprara
un Chevrolet, lo ilustraremos por medio de un diagrama de árbol de probabilidades.
0.4 F
0.3 Ch
Ford
Chevrolet (%)
0.4*0.3=0.12
0.3 N
Ford
0.4 F
0.2 F
0.3 Ch
0.5 Ch
0.3 N
0.3 N
0.3*0.5=0.15
0.2 F
0.25 Ch
0.3*0.25=0.075
0.5 N
n=0
n=1
n=2
0.345
Por lo tanto, la probabilidad de que el propietario de un Ford (S1) en n=0, compre un Chevrolet (S2), 2 pasos
después, es igual a 0.345 .
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
Utilizando la técnica facilitada por Cadenas de Markov, resolveremos el ejemplo anterior:
La pregunta se escribe así: Vi2 que al desglosarlo queda: V12 = (V11) (P1)
Para propósitos de notación general,el subíndice indica el vector Vi y el superíndice indica “n” pasos después.
0.40 0.30 0.30
V12= [ 0.40 0.30 0.30 ]
S1
0..20 0.50 0.30
S2
S3
= [ 0.295 0.345 0.360] = S1 = Ford
0.25 0.25 0.50
1x3
3x3
Ejemplo:
Teniendo un Nissan (S3) en n = 0, encontrar las probabilidades de comprar un Ford en n = 3.
V33 = (V31) (P2) = (V32) (P1)
V31
P2
0.295 0.345 0.360
V33 = [ 0.25 0.25 0.50 ]
0.255 0.385 0.360
S1
S2
S3
= [ 0.2750 0.3450 0.3800 ]
0.275 0.325 0.400
Otra forma de resolverlo: V33 = ( V32) (P1) Verificando
Solución: Primero calculamos V32
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
V32
0.40 0.30 0.30
V32 = [ 0.25 0.25 0.50 ]
0.20 0.50 0.30
= [ 0.275 0.325 0.340 ]
0.25 0.25 0.50
V33 = (V32) (P1)
V33 =[ 0.2750 0.3450 0.3800 ]
De acuerdo a la notación utilizada, queda demostrado lo siguiente:
Vi0= [Pi1 Pi2 Pi3 Pim ], donde Pii=1
Lo anterior significa que en n = 0, se conoce exactamente cual es el estado, por lo tanto la probabilidad de que
exista es igual a 1. V10 = [S1], V20 = [S2], V30 = [S3].
Demostración:
Un paso después: n = 1
Vi1= Vi0 P1
Dos pasos después: n = 2
Vi2= Vi1 P1= ( Vi0 P1 ) P1 = Vi0 P2
Tres pasos después: n = 3
Vi3= Vi2 P1= ( Vi0 P2 ) P1 = Vi0 P3
“n” pasos después
Vin = Vin-1 P1= ( Vi1 Pn-2 ) P1 = Vi0 Pn
Donde cada igualdad es un método distinto de solución, (a, b y c)
Por lo tanto, las probabilidades de los sucesos después de n pasos a partir de ahora, pueden determinarse
utilizando el vector de probabilidad Vi y alguna potencia de la matriz de transición P. En forma general n pasos,
llamado también condiciones de estado estable o a largo plazo, se utiliza la siguiente expresión:
Vin = Pn
Condiciones de estado estable ; Vi0 =1
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
CADENAS DE MARKOV ERGODICAS
Para asegurar la obtención de condiciones de estado estable, la cadena debe ser ergodica (también llamada
irreducible). Una cadena ergodica describe matemáticamente un proceso en el cual es posible avanzar desde un
estado “i” hasta cualquier estado "j”. No es necesario que esto se logre en un solo paso pero debe ser posible
para que cualquier resultado sea logrado independientemente del estado presente.
Por ejemplo: Analicemos un sector de la ciudad compuesto por nueve esquinas. Consideremos a una esquina
como un estado, por lo tanto habrá nueve estados posibles.
7
8
9
4
5
6
1
2
3
Cada vez que el conductor llega a una esquina, 2,4, 6 y 8 puede dar vuelta a la izquierda o derecha ó seguir de
frente con igual probabilidad de 1/3. Si se encuentra en la esquina 5 tiene 4 posibilidades de avanzar con
probabilidad de ¼ . Si esta en la esquina 1, 3, 7 o 9, solo tiene dos posibilidades con probabilidad de ½ .
Con la información anterior se elabora la matriz de transición:
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
S1
S1
P=
S2
0
∑=1
S3
½
S4
0
S5
S6
½
S2
1/3
0
1/3
0
1/3
S3
0
½
0
0
S4
1/3
0
0
S5
0
¼
S6
0
S7
S7
0
S8
0
S9
0
0
0
0
0
0
0
½
0
0
0
0
1/3
0
1/3
0
0
0
¼
0
¼
0
¼
0
0
1/3
0
0
1/3
0
0
1/3
0
0
0
½
0
0
0
½
0
S8
0
0
0
0
1/3
0
1/3
0
1/3
S9
0
0
0
0
0
½
0
½
0
0
La manera más sencilla de verificar si una matriz de transición es ergodica, es elaborando una gráfica, como se
vio anteriormente. Nos colocamos en cualquier estado y si a partir de éste se puede llegar a todos los demás, no
importa que sea en uno o más pasos, entonces es una matriz ergodica. Ejemplo: Verifique si la siguiente matriz
de transición es ergodica.
S1
P=
S2
S3
S4
S5
S1
X
X
0
X
X
S2
0
X
X
0
X
S3
0
0
0
X
X
S4
X
0
X
0
X
S5
X
X
0
0
0
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
Sea X igual a algún valor positivo “p” entre 0 y 1.
Por inspección se observa que puedo ir directamente desde S1 a S2, S4 y S5 pero no a S3
Con lo anterior queda demostrado que es posible llegar desde cualquier estado hasta el estado S1 y esto implica
que es posible ir a los demás estados. Por lo que se concluye que es una matriz ergodica.
CADENA REGULAR
Un caso más restringido de cadena ergodica, es una cadena regular. Una cadena regular se define como una
cadena que tiene una matriz de transición P, que contiene elementos igual a cero y para la cual alguna potencia
de P, únicamente tendrá elementos positivos de probabilidad (diferentes a cero. Todas las cadenas regulares
pueden ser ergodicas, pero no todas las ergodicas son regulares).
Cuando desaparecen los ceros si elevo la matriz de transición a una potencia, es regular y si puedo ir de uno de
los estados a todos los demás, es ergodica.
Ejemplo:
S1
P=
S2
S3
S1
X
X
0
S2
X
0
X
S3
0
X
X
P3 =
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Al multiplicar la matriz se busca tener elementos únicamente positivos.
∴ Es una matriz regular, por que al elevar P al cuadrado desaparecen los ceros.
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE
La existencia de condiciones de estado estable en una cadena ergodica regular, se encuentran elevando la matriz
de transición “n” veces, también se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones que se desprende de la
matriz de transición. A esta cadena de Markov se le conoce como de alto orden y nos indica los cambios futuros
en las preferencias de los clientes.
A medida que aumenta el valor de n, los valores Pij tienden hacia un limite fijo y cada vector de probabilidad V
tiende a ser igual para todos tos valores de j.
1)Para un valor de "n" suficientemente grande, el vector de probabilidad Vin se hace igual para todas las i-es y no
cambia para otros valores mayores a “n” dados.
2)Puesto que V1n+1 = Vin P y Vin+1 = Vin, existe un vector V* = (V*)(P)
El vector asterisco contiene las probabilidades que existen en condiciones de estado estable.
Utilizando la matriz de transición del ejemplo de los automóviles, se obtienen los siguientes resultados de P para
diferentes valores de n:
Valores de P
0.4
0.3
0.3
0.27343744 0.35156352 0.37499904
0.5
0.3
P8 = 0.27343488 0.35156608 0.37499904
0.25 0.25 0.5
0.27344000 0.35155840 0.37500160
P3 = 0.2
V* =[ 0.273 0.352 0.375 ]
Los elementos de cada columna tienden a ser iguales, cuando esto sucede, se les llama condiciones de estado
estable, donde V* es el vector de estado estable. (Considere un mínimo de 5 decimales con calculadora)
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
MÉTODO ANALÍTICO
Siguiendo con el mismo ejemplo, la matriz de transición es:
0.4
P3 = 0.2
0.3
0.3
0.5
0.3
0.25 0.25 0.5
Transformando renglones por columnas:
0.4 V1 + 0.2 V2 +0.25 V3 = V1
0.3 V1 + 0.5 V2 +0.25 V3 = V2
V1 +
Igualando a cero
0.3 V1 + 0.3 V2 + 0.50 V3= V3
V1 +
V2 +
V2 +
V3 = 1
-0.6 V1 + 0.2 V2+ 0.25 V3 = 0
0.3 V1 - 0.5 V2 + 0.25 V3 = 0
V3= 1
0.3 V1 + 0.3 V2 - 0.50 V3 = 0
Utilizando el método analítico para resolver el sistema de ecuaciones o utilizando un programa de
calculadora, se llega a las probabilidades de estado estable.
V1 = 0.2734375
V2 = 0.3515625
V3 = 0.375
Condiciones de estado estable o de equilibrio a largo plazo
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES
Los estados absorbentes describen procesos que terminan o finalizan después de alcanzar determinadas
condiciones y dan como resultado un caso especial de cadenas de Markov, algunos ejemplos son:
1.- En control de calidad, después de encontrar un número predeterminado de partes que pueden ser aceptadas
o rechazadas, se suspende la inspección secuencial.
2.- Después de “x” horas de funcionamiento, una máquina se detiene para repararla o reemplazarla.
3.- Después de que una persona ha trabajado en una empresa, puede jubilarse o recontratarse.
4.- Después del seguimiento que se hace a una cuenta bancaria esta se paga o se considera perdida
CARACTERÍSTICAS.
a)
Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o sea que una
vez comenzado es imposible dejarlo y el proceso se detiene completamente o se detiene para luego
comenzar a partir de algún otro estado.
b) Una cadena de Markov es absorbente si:
1) Tiene por lo menos un estado absorbente.
2) Es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es
necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario alcanzar cada estado absorbente a
partir de cualquier estado no absorbente.
INICIO
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SIGUIENTE
EJEMPLO. 1
Los alumnos de una escuela técnica, cursan 4 años para terminar su carrera. De los que ingresan a primer año,
80% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los que están en segundo año, 85% aprueba, 10%
reprueba y el resto deserta. De los de tercer año, 80% aprueba, 15% reprueba y resto deserta. Los que
están en el último grado, 85% se gradúa, 5% deserta y el resto reprueba.
a)
¿ Cuántos años se espera que un alumno pase como estudiante?
b)
¿ Cual es la probabilidad de que un estudiante se gradúe?
Solución: Encontrar cuántos y cuales son los estados y modelar la matriz de transición.
S0=Ingreso
N
S1
S2
S3
S4
S5
S6
0.10
0.80
0
0
0.10
0
S1 =Primer año
S1
S2 =Segundo año
S2
0
0.10
0.85 0
0.05
0
S3
0
0
0.15 0.80 0.05
0
S4 =Cuarto año
S4
0
0
0
0.10 0.05
0.85
S5 =Deserta
S5
0
0
0
0
1
0
S6 =Se gradúa
S6
0
0
0
0
0
1
S3 =Tercer año
P=
O
A
“n”
“a”
I
a=Estados absorventes
n=Estados no absorventes
INICIO
“n”
“a”
ANTERIOR
m=a+n
SIGUIENTE
Una vez alcanzados los estados absorbentes S5 y S6, la probabilidad de que el proceso permanezca en el
respectivo estado es 1. Por lo tanto es imposible (probabilidad cero) ir desde cualquiera de estos estados hasta
cualquier otro. En realidad esto se debe a que el alumno tomó la decisión de dejar la escuela voluntariamente o
decidió graduarse.
A partir del análisis de cadenas de Markov absorbentes, se obtiene la siguiente información:
1.- El número de pasos antes de que el proceso sea absorbido, utilizando (I – N-1) Para el ejemplo los pasos
serían años.
2.- El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado no absorbente. Para el ejemplo, sería
el número de años que el alumno permanece en cada grado.
3.- La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado, por medio de la siguiente expresión
(I-N)-1*A.
Para realizar los cálculos anteriores, la matriz de transición se subdivide en cuatro matrices y son los estados
absorbentes los quedan la pauta para dicha subdivisión, (regresar al ejemplo)
Donde N e I son opuestos por el vértice.
Estas matrices más pequeñas contienen elementos de probabilidad que nos originan "a” estados absorbentes y
"n" no absorbentes que en total serían a + n = m estados.
Matriz I: Es una matriz identidad de dimensiones a*a y representa las probabilidades de permanecer dentro de
un estado absorbente.
Matriz O: Es una matriz cero de a*n y nos indica las probabilidades de ir desde un estado absorbente hasta un
estado absorbente.
Matriz A: Es una matriz de n*a y contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un
estado absorbente.
INICIO
ANTERIOR
SIGUIENTE
Matriz N: Es una matriz de n*n que contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un
estado no absorbente.
Continúa la solución.:Calcular (I-N ) –1
NOTA: La matriz N que se utiliza en esta expresión, debe ser de las mismas dimensiones de I.
I
N
(I-N) -1
I-N
1 0 0 0
0.10 0.8 0
0
0 1 0 0
0
0.1 0.85 0
0 01 0
0
0
0 0 01
0
0
0.9 -0.8 0
=
0
1.11
0.99
0.99
0.88
0.99
0
0.9 -0.85 0
0
1.11
1.11
0.15 0.8
0
0
0.85 -0.8
0
0
1.18 1.05
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.9
(I-N) –1 = Al número esperado de pasos antes de que el sistema o proceso se detenga
(I-N) –1
1.11
0.99
(I-N) –1 A
A
0.99
0.88
0.10
0
0.25
0.75
0
1.11 1.11
0.99
0.05
0
0.16
0.84
0
0
1.18
1.05
0.05
0
0.11
0.89
0
0
0
1.11
0.05
0.85
0.06 0.94
=
(I-N) –1 A = Probabilidad
INICIO
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SIGUIENTE
1.11
TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA
La teoría de colas es la técnica de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícil aplicar
debido a que el modelo utilizado, con frecuencia muy poco se ajusta a la realidad. Muchas de estas dificultades
se pueden superar combinando la teoría con la experiencia del investigador.
Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela y hospitales grandes y pequeños, todos en algún momento
tienen problemas de "colas”.
Algunas veces las máquinas permanecen ociosas y en otros momentos, los clientes deben esperar. En algunas
ocasiones los inventarios son excesivos y en otros momentos hay pedidos que no se satisfacen. A veces la
industria funciona a media capacidad, los trabajadores sufren desempleo y los capitales permanecen ociosos. En
otras ocasiones la capacidad de producción se aprovecha al máximo, la mano de obra escasea los abastecedores
tienen grandes listas de pedidos en espera de ser atendidos. Ninguno de estos extremos es conveniente y hay una
decisión administrativa básica que implica un equilibrio entre los recursos humanos, económicos y materiales.
Para tomar decisiones al respecto, deben conocerse los siguientes puntos:
•
Longitud de las colas.
•
Porcentaje de utilización de las instalaciones de servicio
•
Tiempo total que toma al usuario formarse y recibir el servicio.
•
Disponibilidad de personal.
Ejemplo: Lavado de autos “Daytona”
Para lavar cada auto en las instalaciones, se requieren dos minutos. Hay una sola maquina de lavar que es
atendida por una sola persona y sólo se puede acomodar un auto a la vez. Si los clientes llegan exactamente a
intervalos de dos minutos, el funcionamiento del negocio carecería de incertidumbre.
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SIGUIENTE
Si el sistema compuesto por la máquina de lavado y los clientes que esperan entrar a ella inician operaciones con
seis clientes en su interior es posible que durante el día haya clientes siempre esperando. Si el sistema inicia las
operaciones cuando esta vacío, el primer cliente que llega será atendido inmediatamente y no habrá automóviles
en la cola. La mañana del día 1 de junio, cuando Pedro abrió las puertas a las 9:00 lloras, no había ningún cliente
en el sistema de lavado. El primero llegó un minuto después de iniciadas las operaciones. Los tiempos de
llagada de los primeros seis clientes se muestran a continuación:
Número de cliente
tiempo de
tiempo desde la
tiempo de entrada
llegada
llegada anterior
a la máquina de
tiempo de salida
tiempo total
en el sistema
lavado
1
9:01
9;:0l
9:03
0:02
2
9:04
0:03
9:04
9:06
0:02
3
9:06
0;02
9:06
9:08
0:02
4
9:09
0:03
9:09
9:11
002
5
9:10
0:01
9:11
9:13
0:03
6
9:11
0:01
9:13
9:15
0:04
∑=10
∑ =15
Promedio de llegadas = 0:03 + 0:02 + 0:03 + 0:01 + 0: 01 = 0:10
10 min./5 eventos = promedio de llegada de 2 min.
Promedio de tiempo total en el sistema = (0:02 + 0:02 + 0:02 + 0:03 + 0:04) / 6 = 2.5 min.
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SIGUIENTE
Tasa de Servicio (cuanto dura el servicio) = 2 min.
Tasa de llegada en los primeros 11 minutos == 1 coche cada 2 minutos.
Tasa de servicio en el sistema = 2.5 min.
Tiempo ocioso en el sistema = 3 min.
ELEMENTOS PRINCIPALES EN UNA LÍNEA DE ESPERA:
Entrada (población infinita o finita).
Fila (línea de espera).
Servidores (unidad de servicio)
Sistema
Salida
Servidor
Finita
Entrada
Población
Infinita
Linea de Espera
Unico o multiple
CLIENTE: Unidad que llega requiriendo algún servicio. Pueden ser personas, máquinas, refacciones, etc.
COLA (línea de espera) : Es el numero de clientes que esperan ser atendidos (la cola no incluye al cliente que
esta siendo atendido).
UNIDAD DE SERVICIO: Es el proceso, sistema o persona que esta efectuando el servicio al cliente, éste puede
ser simple ó múltiple. Se identificará con la letra “k”.
INICIO
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SIGUIENTE
EJEMPLOS:
Los aficionados a un encuentro de fútbol son los clientes y el (los) empleado(s) que vende(n) los boletos son las
unidades de servicio.
En un estacionamiento los automóviles son los clientes y tos espacios de estacionamiento las unidades de
servicio.
Las tarjetas de crédito serían los clientes y las cajas automáticas de los bancos serian las unidades de servicio.
TASA DE LLEGADA (clientes por periodo de tiempo). (λ): Es la tasa a la cual tos clientes llegan para ser
atendidos. Se supondrá en la mayoría de los problemas que esta tasa corresponde a una distribución aleatoria de
Poisson.
TASA DE SERVICIO (clientes por período de tiempo) (µ): Es la tasa a la cual una unidad de servicio
proporciona el servicio a un cliente y puede alcanzarse cuando la unidad de servicio está siempre ocupada.
Supondremos que esta tasa está aleatoriamente distribuida según una distribución de Poisson.
PRIORIDAD: Esta suposición consiste en que el primero que llega es el primero en ser atendido. Esta
suposición afecta la deducción de las ecuaciones utilizada en el análisis.
TAMAÑO DE LA POBLACIÓN: Cuando el número de clientes potenciales es mayor a 30 se considera una
población es infinita; cuando es menor a 30, será una población finita.
DISTRIBUCIÓN DE TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO: La suposición más frecuente para estos casos,
es la distribución de Poisson, donde se considera que ambas tasas deban ser completamente independientes y
que permanezcan constantes con el tiempo, aunque esto último puede no ser verdadero debido a un cambio
temporal de la tasa de servicio.
INICIO
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POBLACIÓN INFINITA
PARAMETRO
K=1
K>1
Probabilidad de hallar el sistema
ocioso o desocupado (P0)
Probabilidad de hallar ocupado o
trabajando el sistema ( ρ )
Probabilidad de hallar k clientes o
más en el sistema
Probabilidad de que haya n
clientes en la cola
Número esperado de clientes en la
cola.
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POBLACIÓN INFINITA
PARAMETRO
K=1
K>1
Número esperado de
clientes en el sistema
Tiempo esperado en la
cola
Tiempo esperado en el
sistema
Probabilidad de que un
cliente permanezca
más de “t” unidades de
tiempo en el sistema
Probabilidad de que un
cliente permanezca
mas “t” unidades de
tiempo en la linea de
espera
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POBLACIÓN FINITA
PARAMETRO
K=1
K>1
Probabilidad de hallar
el sistema ocioso o
desocupado (P0)
Probabilidad de que
haya n clientes en la
cola
Número esperado de
clientes en la cola.
Número esperado de
clientes en el sistema
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SIGUIENTE
POBLACIÓN FINITA
PARAMETRO
K=1
K>1
Tasa de llegada
promedio
Tiempo esperado en la
cola
Tiempo esperado en el
sistema
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INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA )
Las empresas se enfrentan con frecuencia a problemas en los que se tiene esta sucesión de eventos:
1. La empresa decide cuántas unidades pedir. Sea q el número de unidades pedidas
2. Con una probabilidad p(d), se tiene una demanda de d unidades. En esta sección supondremos
que d debe ser un entero no negativo. Sea D la variable aleatoria que representa la demanda.
3. Dependiendo de d y de q, se incurre en el Costo c (d,q).
Los problemas que siguen esta secuencia se llaman problemas del vendedor de periódicos. Para ver
por que es así, pensemos en un vendedor que debe decidir cuantos periódicos pedirá cada día a la
editorial. Si el vendedor pide demasiados se quedará con muchos sin vender, al fina del día. Por otro
lado, un vendedor que pide muy pocos periódicos perderá ganancias (y enojará a sus clientes) que
podrían haber sido suyas si hubiera pedido periódicos suficientes para cumplir con la demanda. El
vendedor debe pedir el número de periódicos que equilibre en forma adecuada a esos dos costos.
En esta sección mostraremos como se puede emplear el análisis marginal, para resolver problemas
de vendedor de periódicos . Cuando la demanda es una variable discreta y c (d,q) tiene la forma
siguiente:
c(d, q) = Coq + (términos sin q)
(d <= q)
c(d,q) = -Cuq + (términos sin q)
(d >= q + I)
(2)
(2.1)
En la ecuación (2), Co es el costo unitario de comprar demasiado. Si d <= q, hemos pedido más de lo
que es la demanda, esto es, estamos sobreabastecidos. Si el tamaño del pedido aumenta de q a q+í,
la ecuación (2) muestra que el costo se incrementa en Co. Por lo tanto Co es el costo debido a tener 1
unidad de excedente. A Co se le llama costo de sobre abastecimiento. Igualmente, si d >= q + 1,
tenemos faltantes hemos pedido una cantidad menor que la demanda.
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Si d >= q +1, y aumentamos en 1 el tamaño del pedido, nuestro faltante será una unidad menor.
Entonces (2.1) indica que el costo se reduce en Cu y. por tanto, Cu es el costo unitario de tener
faltantes. A Cu se le llama costo de sub abastecimiento.
Para deducir la cantidad óptima de pedido por medio del análisis marginal, sea E(q ) el costo
esperado si se hace un pedido de q unidades. Suponemos que la meta de quien toma las decisiones
es encontrar el valor q* que minimiza a E(q). Si c(d,q) se puede describir mediante las ecuaciones (2)
y (2.1) y si E(q) es función convexa de q, entonces se puede emplear el análisis marginal para
determinar q*.
Siguiendo con la ecuación (1),debemos determinar el valor mínimo de q para el cual E(q+1)-E(q)>= 0.
Para calcular E(q+1) - E(q) debemos tener en cuenta dos posibilidades:
Caso 1 d <= q. En este caso, si se piden q + 1 unidades en lugar de q, se hace que tengamos
sobrante, o estemos sobreabastecidos en una unidad más. Esto aumenta en Co el costo. La
probabilidad que se tenga el caso 1 es simplemente P( D <= q), donde D es la variable aleatoria que
representa a la demanda.
Caso 2 d >= q + 1. En este caso, pedir q + 1 unidades en lugar de q, hace que tengamos escasez de
una unidad menos. Esto disminuirá Co nuestro costo. La probabilidad de tener el caso 2 es:
P(D >= q + 1 = 1 – P(D <= q)
En resumen, una fracción P(D <= q) de las veces, pedir q + 1 unidades costara Co más que si se
piden q unidades, y una fracción 1 - P(D <= q ) de las veces, pedir q + 1 unidades costara Cu menos
que si se piden q unidades. Así, en promedio, pedir q + 1 unidades cuesta:
Co P(D <= q) - Cu - P(D <= q)
más que si se piden q unidades.
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De modo mas formal, hemos demostrado que:
E(q+1)-E(q)=Co P(D<=q) - Cu1- P(D<=q)
= (Co + Cu) P(D <= q) - Cu
Entonces E(q + 1) - E(q) >= O será valida si
(Co + Cu) P(D <= q) >= O
o sea P(D <= q) >= Cu
(Co- Cu)
Sea F(q) = P(D <= q) la distribución de la función de demanda. Como es aplicable el análisis marginal,
acabarnos de demostrar que E(q) será reducida al mínimo por el valor mínimo de q (llamémosle q*)
que satisface a:
F(q*)>=
Cu
(3)
(Co - Cu)
El ejemplo siguiente muestra el uso de la ecuación (3).
EJEMPLO 1 Walton Bookstore debe decidir en agosto cuantos calendaros de la naturaleza pedir para
el próximo año. Cada calendario le cuesta 2 dólares y los vende a 4.50 dólares. Después del 12 de
enero, cualquier calendario no vendido se regresa al editor y se reciben 75 centavos por cada uno.
Walton cree que el numero de calendarios vencidos al 12 de enero sigue la distribución de
probabilidad mostrada en la Tabla 1. Walton desea maximizar la ganancia neta esperada debida a
ventas de calendarios. ¿Cuántos calendarios debe pedir en agosto ?
*Como p(D - q) aumenta al aumentar q. E(q +1) - E(q) aumentara al aumentar q. Por lo tanto, si Co +
Cu >= 0 E(q) es función convexa de q, y se justifica el uso del análisis marginal.
*Basado en Barron (1985).
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Tabla 1 Función de masa de probabilidad para las ventas de calendarios
No. de calendarios vendidos
Probabilidad
100
0.30
150
0.2
200
0.30
250
0.15
300
0.05
Solución . Sean:
q = numero de calendarios que se piden en agosto
d = numero de calendarios necesitados hasta el 1° de enero
Si d <= q, se incurre en los costos de la Tabla 2. La ganancia es costo negativo. De acuerdo con la
ecuación (2), Co = 1.25 .
Si d >= q +1, se incurre en los costos que aparecen en la Tabla 3. De acuerdo con la ecuación (2),
-Cu = -2.5, o sea Cu = 2.5 . Entonces
Cu
Co + Cu
=
2.5
3.75
=
2
3
De acuerdo con la ecuación (3); Walton debe pedir q* calendarios, donde q* es el menor número para
el cual P(D <=q*) >= 2/3. Como función de q, P(D <= q) aumenta solo cuando q = 100,150, 200, 250 o
300. Nótese también que P(D <= 100) =0 .30 P(D <= 150) =0 .50, P(D <= 200 )= 0.80 . Como
P(D <= 200) es mayor o igual que 2/3. Se debe pedir q* = 200 calendarios.
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Tabla 2 Cálculo del costo total si d <= q
COSTO
Compra de q calendarios a 2 dólares c/u
2q
Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u
-4.5d
Devolución de q - d calendarios a 75 centavos c/u
-0.75 (q - d)
Costo total
1.25q-3.75d
Tabla 3 Cálculo del costo total si d >= q + 1
COSTO
Compra de q calendarios a 2 dólares c/u
2q
Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u
-4.5q
Costo total
-2.5q
OBSERVACIONES
1. En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200° calendario que se pide es
P(D >= 200) = 50. Esto significa que el 200° calendario vendido tiene probabilidad 1 - 0.50 = 0.50 de
no ser vendido. Así, el 200° calendario aumentará los costos esperados de Walton en 0.50(-2.50) +
0.50(1.25) = - 0.625 dólares. En consecuencia, se debe pedir el 200° calendario. Por otro lado, la
probabilidad de vender el 201° calendario es P(D >= 201) = 0.20 y la probabilidad de que no se venda
es 1 - 0.20 = 0.80. Por lo tanto, el 201° calendario aumentará los costos esperados en 0.20(-2.50) +
0.80(1.25) = 0.50 dólares. Así, el 201° calendario aumentará los costos esperados y no se debe pedir.
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2. En el ejemplo 1 se podrían haber calculado fácilmente Co y Cu sin recurrir a las ecuaciones (2) y
(2.1). Por ejemplo, si hay una unidad mas que la demanda real, se aumentan los costos de Walton en
2- 0.75 = 1.25 dólares. Así, Co = 1.25 dólares. Igualmente, con una unidad menos qué la demanda
real, le costara 4.50- 2.00 = 2.50 dólares a Walton, en términos de ganancias. Por lo tanto, Cu = 2.50
dólares. Si podemos calcular Co y Cu sin emplear las ecuaciones (2) y (2.1), lo deberíamos hacer. Sin
embargo, en problemas más difíciles las ecuaciones pueden ser de mucha utilidad.
INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA )
A continuación veremos el caso del vendedor de periódicos cuando la demanda D es variable
aleatoria continua que tiene una función de densidad f(d). Al modificar el argumento de análisis
marginal visto anteriormente o mediante la regla de Leibniz para diferenciar una integral se puede
demostrar que el costo esperado por el tomador de decisiones se reduce al mínimo cuando pide q*
unidades, donde q* es el número mínimo que satisface a:
P ( D <= q*) >=
Cu
(4)
Co-Cu
Como la demanda es una variable aleatoria continua, podemos determinar un número q* para el cual
la expresión (4) sea válida como igualdad. Por lo tanto en este caso, la cantidad óptima por pedir se
puede obtener al determinar el valor de q* que satisfaga:
Cu
P(D<=q')=
Co + Cu
INICIO
Cu
o
P(D>=q*)>= Co + Cu
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(5)
SIGUIENTE
Según esta ecuación, vemos que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que
se pida tenga una probabilidad:
Cu
Co + Cu
de venderse.
EJEMPLO 1
La American Bar Association (ABA) efectúa su convención anual en Las Vegas. Seis meses antes de
que inicie la convención, la ABA debe decidir cuantas habitaciones debe reservar en el hotel sede. En
este momento, la ABA puede reservar habitaciones a un costo de 50 dólares cada una, pero seis
meses antes de la convención, la ABA no sabe con certeza cuanta gente asistirá a la convención. La
ABA cree, sin embargo, que el número de habitaciones necesarias tiene una distribución normal con
promedio 5000 y desviación estándar 2000. Si el número necesario de habitaciones es mayor que el
reservado en el hotel sede, se tendrán que pagar habitaciones en los hoteles cercanos a un costo de
80 dólares por habitación. Para los participantes en la convención es incomodo alojarse en hoteles
vecinos. Se mide la incomodidad al estimar un costo adicional de 10 dólares por cada habitación
ocupada en un hotel vecino. Si la meta es reducir al mínimo el costo esperado por la ABA y sus
miembros, ¿Cuántas habitaciones debe reservar la ABA en el hotel sede?
Solución Definimos
q = número de habitaciones reservadas
d = número de habitaciones necesarias en realidad
Si d <= q, entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones reservadas con
anterioridad y, por lo tanto, el costo total es 50q. Así, Co = 50. Si d >= q + 1, se incurre en los
siguientes costos:
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SIGUIENTE
Costo de reservación de q habitaciones = 50q.
Costo de renta de d - q habitaciones en hoteles vecinos = 80(d- q).
Costo de incomodidad a los participantes adicionales = 10(d -q)
Costo total = 90d-40q y Cu=40
Como Cu / (Co + Cu) = 40/90 = 4/9, según la ecuación (5), el número óptimo de habitaciones que se
debe reservar es el numero q* que satisfaga
P(D <= q*) = 4/9
(6)
Como D tiene distribución normal con promedio 5 000 y desviación estándar 2000, podemos
normalizar la ecuación (6) con respecto a la variable aleatoria D y obtener:
P(D
P (D-5000 <= q*-5000) = .444
2000
2000
P (Z <= q*- 5 000) = .444
2000
En la Fig. 2 vemos que (q* - 5000) / 2000 debe ser igual al número que tenga un área 0.444 a la
izquierda de él en las tablas de distribución normal estándar. Según esa tabla , vemos que P(Z <=0.14) =0.4443. Entonces
q*-5000 =-0.14
2000
q*= 5000-2000(0.14) =4720
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Figura 2
Determinación de q* para el ejemplo de reservación de habitaciones en hotel.
-0.14 = q* - 5000
2000
Por lo tanto, la ABA debe reservar 4 720 habitaciones.
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
APUNTES DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
ELABORADOS POR:
ING.RUFINO CRUZ SORIANO
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