Pared cilíndrica sin generación interna de calor Ecuación general de la conducción z a ∇2 θ + qG/ ρ cp = ∂θ/∂t Campo temperaturas θ2 θ1 R égimen permanente θ = θ ( r,F , z ) ∂θ/∂t = 0 r Q θ = θ ( r,F ,z ) Sin generación interna de calor qG = 0 r2 r1 a ∇2 θ = 0 ? ∇2 θ = 0 1 Pared cilíndrica sin generación interna de calor ∇ θ = r(∂θ/∂r) + 1/r ( ∂θ/∂φ) + (∂θ/∂z) z Grad θ = ∇ θ = r(∂θ/∂r) = rd θ/dr F θ=θ(r) r Flujo unidimensional 2 Pared cilíndrica sin generación interna de calor Flujo unidimensional z ? ∇2 θ = 0 Laplaciana ∇2 θ = 1/r · ∂(r∂θ/∂r)/∂r = 1/r · d(rdθ/dr)/dr θ1 Q θ2 1/r d(rdθ/dr)/dr = 0 d(rdθ/dr)/dr = 0 r rdθ/dr = C1 ? dθ/dr = C1/ r θ(r) = C1 lnr + C2 ? r2 r1 1.cond. contorno: r = r1 2. cond. contorno : r = r2 exponencial θ = θ1 θ = θ2 3 Pared cilíndrica sin generación interna de calor 1.c.c. : θ1 = C1 lnr1 + C2 2.c.c. : θ2 = C1 lnr2 + C2 C1 = ( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 ) C2 = θ1 - lnr1 [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )] θ(r) = [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )] lnr + θ1 - lnr1 [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )] θ(r) = [( θ1 - θ2 ) ln ( r / r1 ) / ln ( r1 / r2 )] + θ1 θ1 θ2 r 4 Flujo de calor a través de la pared Pared cilíndrica sin generación interna de calor Aplicando ley de Fourier: Qr = - ? A∇θ = - ? A dθ/dr = - ? 2π r L · ( θ1 - θ2 ) / r ln ( r1 / r2 ) = Qr = ( θ1 - θ2 ) / [ ln ( r2 / r1 ) / 2π ? L ] R ( º C / W ) resistencia térmica interna pared cilíndrica R = ln ( r2 / r1 ) / 2π ? L 5 Pared cilíndrica compuesta r2 r1 r3 R1 R2 Q R1 = ln ( r 2 / r1 ) / 2 π ? 1 L R2 = ln ( r 3 / r2) / 2π ? 2 L 6 Pared cilíndrica con generación interna de calor ? ∇2 θ + qG = ρ cp ∂θ/∂t z θ= θ ( r, φ, z, t ) R égimen estacionario θp θp θ= θ ( r ) Flujo unidimensional qG ? ∇2 θ + qG = 0 r Q R ? ∇2 θ + qG = 0 = ? [1/r d(rdθ/dr)/dr] + qG 1/r d(rdθ/dr)/dr = -qG / ? d(rdθ/dr)/dr = - r qG / ? rdθ/dr = - r2 qG / 2 ? + C1 dθ/dr = - r qG / 2 ? + C1 / r θ(r) = - r 2 qG / 4 ? + C1 lnr + C2 7 Pared cilíndrica con generación interna de calor 1.c.c.: r = 0 2. c.c.: r = R dθ/dr = 0 qr=0 θ = θp 1.c.c. : dθ/dr = 0 C1 = 0 2.c.c.: θp = - qG R2 / 4? + 0 + C2 C2 = θp + qG R2 / 4? z Sustituyendo θ(r) = θp + qG ( R2 - r2 ) /4? θp r Ley de Fourier: Qr = - ? A∇θ = -? A dθ/dr = -? 2π r L ( - r qG/2k ) = π L r2 qG Qr = π L r2 qG = V qG = QG 8