z r Pared cilíndrica sin generación interna de calor

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Pared cilíndrica sin generación interna de calor
Ecuación general de la
conducción
z
a ∇2 θ + qG/ ρ cp = ∂θ/∂t
Campo temperaturas
θ2
θ1
R égimen permanente
θ = θ ( r,F , z )
∂θ/∂t = 0
r
Q
θ = θ ( r,F ,z )
Sin generación interna de calor
qG = 0
r2 r1
a ∇2 θ = 0
? ∇2 θ = 0
1
Pared cilíndrica sin generación interna de calor
∇ θ = r(∂θ/∂r) + 1/r ( ∂θ/∂φ) + (∂θ/∂z)
z
Grad θ = ∇ θ = r(∂θ/∂r) = rd θ/dr
F
θ=θ(r)
r
Flujo unidimensional
2
Pared cilíndrica sin generación interna de calor
Flujo unidimensional
z
? ∇2 θ = 0
Laplaciana
∇2 θ = 1/r · ∂(r∂θ/∂r)/∂r = 1/r · d(rdθ/dr)/dr
θ1
Q
θ2
1/r d(rdθ/dr)/dr = 0
d(rdθ/dr)/dr = 0
r
rdθ/dr = C1
?
dθ/dr = C1/ r
θ(r) = C1 lnr + C2 ?
r2
r1
1.cond. contorno: r = r1
2. cond. contorno : r = r2
exponencial
θ = θ1
θ = θ2
3
Pared cilíndrica sin generación interna de calor
1.c.c. : θ1 = C1 lnr1 + C2
2.c.c. : θ2 = C1 lnr2 + C2
C1 = ( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )
C2 = θ1 - lnr1 [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )]
θ(r) = [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )] lnr + θ1 - lnr1 [( θ1 - θ2 ) / ln ( r1 / r2 )]
θ(r) = [( θ1 - θ2 ) ln ( r / r1 ) / ln ( r1 / r2 )] + θ1
θ1
θ2
r
4
Flujo de calor a través de la pared
Pared cilíndrica sin generación interna de calor
Aplicando ley de Fourier:
Qr = - ? A∇θ = - ? A dθ/dr = - ? 2π r L · ( θ1 - θ2 ) / r ln ( r1 / r2 ) =
Qr = ( θ1 - θ2 ) / [ ln ( r2 / r1 ) / 2π ? L ]
R ( º C / W ) resistencia térmica interna pared cilíndrica
R = ln ( r2 / r1 ) / 2π ? L
5
Pared cilíndrica compuesta
r2
r1
r3
R1
R2
Q
R1 = ln ( r 2 / r1 ) / 2 π ? 1 L
R2 = ln ( r 3 / r2) / 2π ? 2 L
6
Pared cilíndrica con generación interna de calor
? ∇2 θ + qG = ρ cp ∂θ/∂t
z
θ= θ ( r, φ, z, t )
R égimen estacionario
θp
θp
θ= θ ( r )
Flujo unidimensional
qG
? ∇2 θ + qG = 0
r
Q
R
? ∇2 θ + qG = 0 = ? [1/r d(rdθ/dr)/dr] + qG
1/r d(rdθ/dr)/dr = -qG / ?
d(rdθ/dr)/dr = - r qG / ?
rdθ/dr = - r2 qG / 2 ? + C1
dθ/dr = - r qG / 2 ? + C1 / r
θ(r) = - r 2 qG / 4 ? + C1 lnr + C2
7
Pared cilíndrica con generación interna de calor
1.c.c.: r = 0
2. c.c.: r = R
dθ/dr = 0
qr=0
θ = θp
1.c.c. : dθ/dr = 0
C1 = 0
2.c.c.: θp = - qG R2 / 4? + 0 + C2
C2 = θp + qG R2 / 4?
z
Sustituyendo
θ(r) = θp + qG ( R2 - r2 ) /4?
θp
r
Ley de Fourier: Qr = - ? A∇θ = -? A dθ/dr = -? 2π r L ( - r qG/2k ) = π L r2 qG
Qr = π L r2 qG = V qG = QG
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