Economías de Producción La economía de intercambio es

Economías de Producción
La economía de intercambio es interesante desde el punto de vista teórico pero no es
muy realista.
En el mundo real existe producción. Además, para producir se requiere de factores de
producción (no free lunch!).
Introduciremos la producción en nuestro modelo.
1
I.
El mercado de factores y las Posibilidades de Producción
Supuestos:
 Dos bienes l  1,2
 Dos factores: K y L
 Dos firmas, cada una produciendo uno de los bienes. Las indexamos también con
n  1,2  l
 La tecnología de producción de la firma n está dada por f n  K , L 
 Denotamos como Ln y K n la demanda de factores de la firma n.
 Existe una cantidad (oferta) de factores inelástica K y L .
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Con esta información podemos graficar separadamente las iso-cuantas de cada firma.
Recuerde que su pendiente la llamamos Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
(Ver gráfica).
También podemos usar la CE para graficar todas las posibilidades de producción de
esta economía (Ver gráfica).
De igual forma, podemos encontrar los puntos que son eficientes desde el punto de
vista económico (Ver gráfica)
Definición 1: Una asignación de factores  K1 , K 2 , L1 , L2  es eficiente si K1  K 2  K ,
L1  L2  L y no existe otra asignación  K1 ' , K 2 ' , L1 ' , L2 ' tal que, K1 ' K 2 '  K y
L1 ' L2 '  L , en la cual la producción de una de las firmas se puede aumenta sin que la
producción de la otra disminuya.
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De aquí podemos derivar la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) de esta
economía.
FPP: son las distintas cantidades del bien 1 y 2 que se pueden producir con una
cantidad fija de K y L y son eficientes en el sentido de Pareto.
(Ver gráfica)
4
Ejemplo 1: (Usted está encargado de verificarlo)
f1  L, K   KL , f 2  L, K   KL , L  1, K  1
De la condición TMST1  TMST2 obtenemos:
De la condición de uso total de factores:
Mezclando obtenemos:
K1 K 2

L1 L2
K1  K 2  K
(1)
y
K 2 K  K1

L2
L  L1
L1  L2  L ,
(2)
Mezclando (1) y (2) obtenemos K1  L1 o alternativamente K 2  L2 . Este es el
conjunto eficiente de producción (Ver gráfica).
Reemplazando estas condiciones en las funciones de producción obtenemos:
f1  L, K   K1  X 1 y f 2  L, K   K 2  X 2
(3)
Así, la FPP está dada por: X 2  X 1   1  X 1 ( K 2  K1   K  K1) (Ver gráfica)
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Una forma alternativa de encontrar la FPP
Existe otra forma de encontrar la frontera de posibilidades de producción:
X 2  X 1   Max f 2  K 2 , L2 
K ,L
2
2
s.t
f1  K1 , L1   X 1
K1  K 2  K
L1  L2  L
El cual se puede reescribir como:
X 2  X 1   Max f 2  K 2 , L2 
K ,L
2
2
s.t
f1 K  K 2 , L  L2   X 1
¿Por qué esto funciona?
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Ejemplo 2: Usemos el ejemplo 1
Omitiendo en subíndice 2, escribimos el lagrangeano:
 L, K ,  ; X 1   KL    K  K L  L   X 1 
De las FOC con respecto a K y L:
f 2 K  K , L   f 1K  K  K , L  L 
f 2 L  K , L   f 1 L  K  K , L  L 
Dividiendo (1) por (2):
L L L
K
K L

K K K
L
(1)
(2)
(3)
Con L  1, K  1, (3) se reduce a K  L .
De la FOC con respecto al Lagrangeano: K  K L  L   X 12
(4).
Como K  L , entonces (4) implica: K 2  1  X 1 y L2  1  X 1 .
Reemplazando esto en la f. de producción de 2 obtenemos: X 2  X 1   1  X 1
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Tasa Marginal de Transformación (TMT): Es (el negativo de) la pendiente de la
FPP. La TMT muestra cómo se puede sustituir la producción del bien 2 por la del bien
l, cuando la cantidad total de factores de la economía se mantienen constante.
Proposición: La TMT mide la relación entre el coste marginal del bien 1 y el del bien
2.
Este resultado será muy útil más adelante.
De momento, miremos su demostración.
8
Demostración:
Ya sabemos que X 2  X 1   Max f 2  K , L  s.t. f 1 K  K , L  L   X 1 .
K ,L
El Lagrangeano asociado a este problema es:
 L , K ,  ; X 1   f 2  K , L     f 1 K  K , L  L   X 1 
F.O.C.
f 2 K  K , L   f 1K  K  K , L  L 
f 2 L  K , L   f 1L  K  K , L  L 
f 1 K  K , L  L   X 1
(1)
(2)
(3)


Evaluando las demandas óptimas tenemos: X 2  X 1   f 2 K *  X 1 , L*  X 1 
Usando el Teorema de la Envolvente:
X 2  K , L ,  ; X 1 
 *

X 1
X 1
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De las FOC (1) y (2) es fácil ver que:




X 2
f 2 K K * , L*
f 2 L K * , L*
*
   

*
*
X 1
f 1K K  K , L  L
f 1L K  K * , L  L*




(4)
Ahora considere el problema dual: La firma n resuelve:
Min wL  rK st.
K ,L
f n K , L   X n
El Lagrangeano asociado al este problema es:
 L , K ,  n ; X n   wL  rK   n  f n .  X n 
FOC:
w    n f nL .
r    n f nK .
f n K , L   X n
(5)
(6)
(7)
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Con las demandas óptimas obtenemos: C n w, r , X n   wL* .  rK * .
Usando el teorema de la envolvente tenemos:
C n
 L , K ,  n ; X n 
 CM n 
   *n
X n
X n
De la FOC (5) y (6) es fácil ver que: CM n    *n 
Esto implica: f nK . 

w
f nL K * , L*



r
f nK K * , L*

r
CM n
Usando esto y la ecuación (4) obtenemos:
TMT 
f 2 K . CM 1 w, r , X 1 

f1K . CM 2 w, r , X 2 
(8)
Así, la TMT se puede entender como la relación entre el coste marginal del bien 1 y 2.
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II. El Modelo de Producción de 2 x 2
Ahora incorporamos al modelo 2 consumidores y los precios de los bienes 1 y 2.
Note que nuestro modelo tiene:
 Dos bienes l  1,2
 Dos factores: K y L
 Dos firmas n  1,2 que producen un bien cada una.
 Dos consumidores i  A, B
Los consumidores poseen preferencias continuas, monótonas y convexas. También son
los propietarios de los factores de producción y reciben el pago por el uso que hacen
las firmas de estos (Sus dotaciones iniciales no son de bienes sino de factores).
Adicionalmente, los consumidores son los propietarios de las firmas (i.e. de haber
beneficios positivos, ellos los recibirían según su participación en las firmas).
De momento, nos olvidaremos de la restricción presupuestal de los individuos. Luego
veremos que esta restricción se cumple en nuestro modelo de equilibrio general.
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Para cualquier cantidad factible producida por la economía (dentro o sobre la FPP),
dicha cantidad determina el total de lo que está disponible para ser consumido. Si esto
ocurre, tenemos una CE.
Para que exista equilibrio en el mercado de factores deben existir un precios (w, r) tal
que las empresas maximizan sus beneficios y hacen uso del total de la oferta de K y
L . Eso implica que las empresas siempre producen sobre la FPP (ver gráfico).
Tomando cualquier punto sobre la FPP construimos una CE donde incorporamos:
 Las preferencias de los consumidores.
 Sus restricciones presupuestales (Aquí las tomamos ad hoc), que nos dan los precios
relativos de los bienes en la economía (Note que es diferente a la de economías de
intercambio).
(Ver gráfica)
De la economía de intercambio sabemos que en equilibrio debe cumplirse
TMS A  TMS B  p1 p2 . En esta economía la condición de cero exceso de demanda
(oferta de bienes=demanda de bienes) también se debe cumplir.
Miremos si esto es suficiente para obtener un equilibrio en el mercado.
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Caso 1: TMS A  TMS B  p1 p2 pero TMT  p1 p2 (ver gráfica)
Esto no puede ser un equilibrio ¿Por qué? Por que la firma no está maximizando
beneficios.
Recuerde que el problema de maximización de beneficios se puede escribir de la
siguiente forma:
pn X n  C  X n 
Max
Xn
La solución a este problema implica pn  CM n .
Juntando las dos firmas esto implica:
p1 CM 1

 TMT (Ver ecuación 8)
p2 CM 2
Así, el equilibrio también requiere que
p1
 TMT
p2
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Caso 2: TMS A  TMS B  TMT  p1 p2 (ver gráfica)
Este caso representa un equilibrio:
 Los consumidores maximizan su utilidad: TMS i  p1 p2 , i  A, B
 Las firmas maximizan sus beneficios: CMg n  pn , n  1,2
 No hay excesos de demanda en el mercado de bienes: TMS A  TMS B
 El mercado de factores está en equilibrio: Se demandan todos los factores y
TMSTn  w r (Se trabaja sobre la FPP, recuerde que sobre esta, TMST1  TMST2 .
De aquí podemos sacar los precios relativos de los factores y obtener sus precio de
equilibrio w y r ).
Luego daremos una definición formal del equilibrio.
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Anotación: Miremos que la restricción presupuestal se cumple en nuestro modelo.
Cada consumidor i posee factores K i , Li y tiene derecho a una proporción  ni  0 ,1
de los beneficios de la firma n (Si los hay).
Estas dotaciones deben cumplir con:
i K i  K , i Li  L , i  ni  1 .
Podemos escribir la restricción presupuestal de cada agente i:
wLi  rK i   1i 1   2i 2  p1 X 1i  p2 X 2i
Podemos demostrar que los ingresos de cada agente, dada una producción total
 X 1 , X 2 , le permiten adquirir el total de la producción:
wL A  rK A   1 A 1   2 A 2  wLB  rK B   1B 1   2 B 2
 w L  rK   1   2
 wL  rK   p1 X 1  wL1  rK1    p 2 X 2  wL2  rK 2 
 p1 X 1  p2 X 2
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III.
Formalización del Equilibrio
Definición 2: Una economía de producción de 2x2 está compuesta por dos agente
i  A, B, descritos por ui , K i , Li ,  1i y  2i ; y dos firmas n  1,2, descritas por la
tecnología f n n  1,2.
Definición 3: Dada una economía de producción de 2x2,  p1 , p2 , w, r  es un equilibrio
walrasiano (con asignaciones X *A , X B* , X 1* , X 2* , L*1 , L*2 , K1* , K 2* ) si:
1. Cada firma n maximiza beneficios:
 
 n X *n  Max
pn f n  K , L   wLn  rK n
2. Cada consumidor i maximiza su utilidad sujeta a su restricción presupuestal:
 
ui X *  max ui  X  s.t. wLi  rK i   1i 1   2i 2  p1 X 1i  p2 X 2i
3. Los Mercados de factores se ajustan:
K1*  K 2*  K A  K B
y
L*1  L*2  L A  LB
4. Los mercados de bienes se ajustan (exceso de demanda cero)
X 1 A  X 1B  X 1
y
X 2 A  X 2B  X 2
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IV. Resumiendo: ¿Cómo obtener un equilibrio?
Paso 1: Normalizamos uno de los precios: digamos r  1.
El resto de precios queda en términos relativos al precio del capital.
Paso 2: Tomando como dados estos precios construimos la recta presupuestal de los
consumidores (Suponemos que los beneficios son cero):
wL A  rK A  p1 X 1 A  p 2 X 2 A
wLB  rK B  p1 X 1B  p 2 X 2 B

 

Paso 3: Obtenemos la demanda óptima de cada consumidor X 1*A , X 2* A y X 1*B , X 2*B ,
tomando como dados los precios de factores y productos.
Dada la relación de precios p1 p 2 sabemos que la condición de optimalidad será:
TMS A 
p1
p
y TMS B  1
p2
p2

TMS A  TMS B
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Nosotros ya sabemos que en nuestro modelo los consumidores reciben exactamente el
valor de la producción. Además, esa producción está ubicada sobre la FPP porque se
usan todos lo factores. Así que las demandas nos dan el punto de producción (Ver
gráfica):
f1  K1 , L1   X 1*  X 1*A  X 1*B
f 2  K 2 , L2   X 2*  X 2* A  X 2*B
Hasta
aquí
tenemos equilibrio en el mercado de bienes tal que:
p
TMS A  TMS B  1  TMT y la relación entre p1 p 2 (Tenga en cuanta que esta
p2
relación no es suficiente porque estos precios son relativos a r , i.e. aún necesitamos
resolver para p1 o p2 ).
Paso 4: Ahora nos pasamos al mercado de factores (ver gráfica).
Seguimos tomando los precios de factores y productos como dados.
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

Hallamos la combinación de factores de equilibrio K1* , L*1 , K 2* , L*2 con las siguientes
condiciones:
f1  K1 , L1   X 1* ;
f 2  K 2 , L2   X 2*
TMST1  TMST2
K1*  K 2*  K
;
L*1  L*2  L
Paso 5: Ahora podemos empezar a resolver precios. Note que de las condiciones
anteriores podemos obtener w , ya que el equilibrio del mercado de factores requiere
TMST1  TMST2  w (recuerde que r  1)
Paso 6: Lo único que nos falta es resolver p1 o p2 . Sabiendo que


p1
 TMT y que en
p2
f n L*n , K n*
equilibrio w  pn
 pn PMLn , podemos resolver para estos precios.
L
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V. Existencia
Proposición 1: Suponga que los consumidores tienen preferencias continuas,
monótonas y estrictamente convexas, las firmas poseen tecnologías con rendimientos
marginales decrecientes a cada factor y rendimientos constantes o decrecientes a escala
(i.e. funciones de producción cóncavas), entonces un equilibrio walrasiano siempre
existe.
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VI. Eficiencia
Definición 4: Dada una economía de producción de 2x2, una asignación factible
 X A , X B , X 1 , X 2 , L1 , L2 , K 1 , K 2  es eficiente en el sentido de Pareto si no existe otra
asignación factible  X ' A , X ' B , X '1 , X ' 2 , L'1 , L' 2 , K'1 , K' 2  tal que u A  X ' A   u A  X A 
y u B  X ' B   u B  X B  o u A  X ' A   u A  X A  y u B  X ' B   u B  X B .
Proposición 2 (Primer teorema del Bienestar): Dada una economía de producción con
los supuestos habituales (Consumidores que tienen preferencias continuas, monótonas
y estrictamente convexas; y firmas que poseen tecnologías con rendimientos
marginales decrecientes a cada factor y rendimientos constantes o decrecientes a
escala), si  p , w, r , X A , X B , X 1 , X 2 , L1 , L2 , K 1 , K 2  es un equilibrio walrasiano,
entonces este equilibrio es eficiente.
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Proposición 3 (Segundo teorema del bienestar): Considere una economía de
producción de 2x2 que cumple con los supuestos habituales y con dotación de factores
L A , K A ,1 A , 2 A , LB , K B ,1B , 2 B . Si  X A , X B , X 1 , X 2 , L1 , L2 , K 1 , K 2  es una
asignación eficiente, entonces existe una redistribución de las dotaciones
L' A , K ' A , '1 A , ' 2 A , L' B , K ' B , '1B , ' 2 B  y unos precios  p , w, r  tales que:
1. K ' A  K ' B  K A  K B ;
L ' A  L ' B  L A  LB ;
 ' An  ' Bn  1; n  1,2.
2.
 p , w, r , X A , X B , X 1 , X 2 , L1 , L2 , K 1 , K 2  es un equilibrio walrasiano de la economía
constituida por las mismas preferencias y tecnologías y con dotaciones
L' A , K ' A , '1 A , ' 2 A , L' B , K ' B , '1B , ' 2 B .
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