Propagación de luz en medios turbios

Propagación de luz en medios turbios
Jaime Gómez Rivas
La propagación de la luz en medios turbios ha sido objeto de un intensivo estudio en los últimos
años. Un medio turbio es aquel en el que se produce dispersión múltiple de luz. Existen interesantes
similitudes entre el transporte de electrones en sólidos desordernados y de la luz en medios turbios,
habiendo constituı́do un reto durante años la observación del análogo para la luz a la localización
de Anderson en sistemas electrónicos. En este artı́culo se hace una introducción a los aspectos más
relevantes del transporte de la luz en medios turbios y de la localización de Anderson.
I. INTRODUCCIÓN.
transporte de electrones en materiales no cristalinos o
con grandes concentraciones de impurezas y de la luz en
medios turbios, el estudio de la propagación de la luz en
estos medios ha recobrado interés.
En la segunda sección de este artı́culo se introduce
brevemente la dispersión simple. Las siguientes secciones
estan dedicadas a la dispersión múltiple y a la propagación de la luz en medios turbios. En la tercera sección
se justifica el uso de la ecuación de difusión en la descripción de la propagación de la luz, despreciando por
tanto la interferencia de ondas. En las secciones IV y
V se plantean dos situaciones en las que la interferencia ha de ser incluı́da: la retrodispersión coherente y la
localización de Anderson.
La luz se propaga en lı́nea recta con intensidad constante hasta que encuentra un obstáculo. Cuando esto
ocurre dos posibles situaciones pueden darse: la luz es
absorbida (la intensidad deja de ser constante) o es dispersada (la dirección de propagación cambia). Cuando
la luz encuentra más de un obstáculo en su propagación
a través de un medio tenemos que en el medio se produce
dispersión múltiple de luz. Si el medio pierde su transparencia debido a la dispersión múltiple decimos que el
medio es turbio.
Es mi intención introducir en este artı́culo algunos
conceptos básicos de la dispersión múltiple de luz y de
la propagación de la luz en medios turbios. He intentado mantener un nivel elemental para que la lectura sea
amena. Especial interés ha sido puesto en los conceptos básicos de la retrodispersión coherente y de la localización de Anderson. La localización de Anderson para la
luz ha sido observada tan solo recientemente, habriendo
el campo a nuevos estudios.
Dispersión múltiple de luz es un fenómeno que encontramos frecuentemente en nuestra vida cotidiana. La luz
que nos llega del sol en un dı́a nublado sufre de dispersión
múltiple cuando atraviesa las nubes. La leche, la nieve, la
arena de una playa, el tejido humano son también medios
turbios. En general, cuando en un objeto la dispersión es
eficiente para todos los colores o longitudes de onda en el
visible el objeto es blanco, mientras que si la absorción
es eficiente para todos los colores el objeto es negro.
Durante años los experimentos en medios turbios
fueron eludidos. Las complicaciones introducidas por la
dispersión múltiple aconsejaron a los investigadores estudiar sistemas más sencillos. No es de extrañar que los
primeros pasos en el estudio de la dispersión múltiple
de luz fueran dados por astrofı́sicos. Los astrofı́sicos no
pueden permitirse variar las condiciones de sus ”experimentos”. Tienen que limitarse a observar la luz que
llega a los telescopios. La luz producida en las estrellas es dispersada en el núcleo y en la atmósfera estelar.
Para comprender las lineas de emisión y absorción de
una atmósfera estelar es necesario incluir los efectos de
la dispersión múltiple. También la luz que nos llega de
estrellas o galaxias lejanas ha atravesado nubes de polvo
interestelar donde se produce dispersión múltiple.
Debido a las múltiples similitudes que hay entre el
II. DISPERSIÓN SIMPLE.
El estudio de la dispersión múltiple de luz exige un previo conocimiento de la dispersión simple. La dispersión
por un solo obstáculo o dispersión simple es de por si un
complicado problema no resoluble en muchas ocasiones.
El incidente campo electromagnético o luz, polariza al
obstáculo. Esta polarización genera un nuevo campo
electromagnético en, y alrededor del obstáculo que influencia su polarización etc, etc. El resultante campo
electromagnético o la luz dispersada por el obstáculo es
por lo tanto el resultado de un complejo proceso de recursión. Sin embargo para obstáculos que son mucho
mayores o mucho menores que la longitud de onda de la
luz, λ, el resultado es relativamente sencillo. Podemos
dividir el problema de la dispersión simple en tres diferentes regı́menes: Si la luz encuentra en su propagación un
obstáculo de dimensiones mucho mayores que λ estamos
en lo que se conoce como el lı́mite de la óptica geométrica.
Si el obstáculo es mucho menor que λ nos encontramos
en el lı́mite de Rayleigh y en el caso intermedio tenemos
el régimen de dispersión de Mie.
En el lı́mite de la óptica geométrica la dispersión es
descrita por las leyes de Snell para la reflexión y la refracción y los coeficientes de Fresnel para las amplitudes
de la onda dispersada.
Si un haz de luz incide sobre un obstáculo, la cantidad de luz removida del haz debido a la dispersión viene
dada por la cantidad de luz del haz que incide sobre un
área igual a la sección eficaz de dispersión del obstáculo,
1
σ. En el lı́mite de la óptica geométrica la sección eficaz de dispersión es igual a 2S, donde S es la sección
geométrica del obstáculo o su área proyectada en el plano
perpendicular a la dirección de propagación del haz incidente. A primera vista parece erróneo que en un objeto
de grandes dimensiones con respecto a λ, σ no sea igual
a S. El origen de esta discrepancia está en los bordes de
la sección geométrica donde la aproximación de la óptica
geométrica no es válida. Ası́ pues, tenemos que además
de la luz interceptada por S hay una contribución extra a la dispersión proveniente de los bordes de S. El
factor de eficiencia de dispersión, Q, es definido como el
cociente entre la sección eficaz de dispersión y la sección
geométrica del obstáculo, Q = σ/S.
En el lı́mite de Rayleigh tan sólo el dipolo inducido por
la luz incidente sobre el obstáculo (o en este caso mas bien
la partı́cula) contribuye a la dispersión. En este lı́mite la
sección eficaz de dispersión es proporcional a 1/λ4 . Esta
intensa dependencia de σ con la longitud de onda es la
responsable del color del cielo en una puesta de sol: σ
es mayor para longitudes de onda cortas. Es decir, la
dispersión es más eficiente para el azul que para el rojo.
Si miramos en la dirección del sol, el cielo aparece rojizo
porque la luz que nos llega no ha sido dispersada en su
propagación a través de la atmósfera terrestre. En otras
direcciones vemos la luz dispersada, siendo la dispersión
más eficiente para el azul, el cielo adquiere su aspecto
azulado.
En el régimen de dispersión de Mie el problema de
la dispersión simple es bastante más complicado. Tan
sólo existe solución exacta para obstáculos con geometrı́a
esférica. Fué Mie quien, en 1908, presentó la solución
al problema de la dispersión por dichos obstáculos que
desde entonces son conocidos como dispersores de Mie.
Un dispersor de Mie puede ser descrito como un conjunto de elementos de volumen, dV , de dimensiones mucho menores que λ. La dispersión es por tanto el resultado de un conjunto de dispersores de Rayleigh actuando
de forma simultánea. Debio a consideraciones puramente
geométricas, interferencia de ondas dispersadas en distintos dV han de tenerse en cuenta. En la figura 1 aparece
representado el factor de eficiencia de dispersión de una
esfera con ı́ndice de refracción, n, igual a 2.7 ∗ en función
de 2πa/λ, donde a es el radio de la esfera. La solución
de Mie es una complicada suma de funciones de Bessel y
potenciales de Hertz. Este complicado comportamiento
puede apreciarse en el gran número de resonancias que
presenta Q.
8
6
σ/S 4
2
0
0
2
4
2πa/λ
6
8
10
FIG. 1. Factor de eficiencia de dispersión de una esfera con
ı́ndice de refracción n = 2.7 y de radio a en función de 2πa/λ,
donde λ es la longitud de onda de la luz incidente en la esfera.
III. DISPERSIÓN MÚLTIPLE Y DIFUSIÓN DE
LUZ.
Un concepto fundamental en la descripción de la dispersión múltiple de luz es el recorrido libre medio, l. El
recorrido libre medio es la longitud caracterı́stica que
describe el proceso de dispersión y es definido como la
distancia promedio que recorre la luz entre dos dispersiones consecutivas. En un medio turbio, el recorrido libre medio puede ser expresado, en primera aproximación,
en términos de la sección efficaz de dispersión:
l
1
ρσ
(1)
donde ρ es la densidad de obstáculos o dispersores en el
medio. Cuando la luz se propaga en semejante medio lo
hace siguiendo trayectorias aleatorias, se dice que la luz
realiza un ”random walk” con pasos de longitud l si la
dispersión es isótropa. Que la dispersión sea isótropa significa que la luz pierde la información sobre su dirección
de procedencia tras cada dispersión. Si iluminamos con
una onda plana (por ejemplo con un laser) una muestra
que contiene pequeñas partı́culas (por ejemplo de TiO2 ),
la luz se propaga siguiendo diferentes trayectorias, tal y
como se muestra en la figura 2.
∗
El ı́ndice de refracción en el visible de TiO2 es 2.7. TiO2
es un material dieléctrico que debido a su elevado indice de
refracción ha sido intensivamente utilizado en experimentos
de dispersión múltiple de luz.
2
puede ser descrito, con bastante precisión, por medio de
la ecuación de difusión con el coeficiente de difusión:
D=
1
vl ,
3
(3)
donde v es la velocidad de propagación de la luz en el
medio y l habı́a sido definido como el recorrido libre
medio. El uso de la ecuación de difusión simplifica enormente la descripción del transporte en medios turbios.
Podemos decir que la luz se propaga como las bolas en
un ”pinball”. La intensidad transmitida a través de un
medio turbio de grosor L y en el que sus otras dos dimensiones son mucho mayores que L, que es iluminado por
una onda plana en una de sus caras, puede ser obtenida
solucionando la ecuación de difusión para esta geometrı́a
especı́fica. Esta intensidad viene dada por:
L
FIG. 2. Algunas de las posibles trayectorias que sigue la
luz cuando se propaga en un medio turbio.
I I0
l
,
L
(4)
donde I0 es la intensidad de la onda incidente. Por lo
tanto en un dia nublado cuanto mayor es el grosor de las
nubes o cuanto más densas son estas (menor es l) menos
intensa es la luz que nos llega.
A
I
A
II
I
B
II
FIG. 3. Dos de las posibles trayectorias que puede tomar
la luz en su propagación en un medio turbio desde A a B.
Cuando estudiamos la propagación de una onda entre
dos puntos (figura 3), todas las posibles trayectorias han
de tenerse en cuenta. Por simplicar, en la figura 3 tan
solo se muestran dos de esas trayectorias. Llamando aI
y aII a las amplitudes complejas de la onda a lo largo de
las trayectorias I y II respectivamente, la probabilidad,
P , que tiene la onda de llegar a B desde A (o la intesidad
de la onda en B habiendo sido emitida desde A) viene
dada por el cuadrado de la suma de las amplitudes:
P = (aI + aII )2 = a2I + a2II + 2aI aII
FIG. 4. Trayectoria cerrada (de A a A) que puede seguir la
luz en un medio turbio. Esta trayectoria puede ser recorrida
en sentidos opuestos.
IV. RETRODISPERSIÓN COHERENTE
En la sección anterior se dijo que el término de interferencia de la luz propagando entre dos puntos de un
medio turbio es cero si consideramos todas las posibles
trayectorias entre dichos puntos. Sin embargo esto no
es completamente correcto. Existe un tipo de interferencia que siempre sobrevive al desorden. Esta interferencia
ocurre en la dirección de retrodispersión. Las ondas que
viajan a lo largo de una trayectoria en sentidos opuestos
estan siempre en fase y por lo tanto interfieren constructivamente. Para entender ésto mejor podemos considerar
la probabilidad que tiene una onda de regresar al punto
de partida tras propagar a lo largo de una trayectoria en
un medio turbio.
(2)
a2I y a2II constituyen los términos incoherentes mientras
que 2aI aII es el término de interferencia de las ondas
que han propagado siguiendo trayectorias distintas. Al
considerar todas las posibles trayectorias, los términos de
interferencia tendrán distintas magnitudes y signos. Por
lo tanto se cancelarán entre ellos y en promedio podemos
describir la propagación de la luz sin considerar la interferencia. Este resultado tiene importantes consecuencias, ya que al obviar la interferencia, el transporte de luz
3
senta la trayectoria de una onda que es dispersada tan
sólo tres veces. La diferencia de fase entre los dos caminos
representados en la figura 5 viene expresada por:
∆φ =
r
α
4π
2π
r[sin α − sin(α − θ)] =
r cos(α − θ/2) sin(θ/2) .
λ
λ
(5)
Claramente, en la dirección de retrodispersión (θ = 0)
∆φ = 0 y la interferencia es constructiva. Al incrementar
θ la interferencia en una trayectoria oscilará entre interferencia constructiva y destructiva, tal y como aparece
ilustrado en la figura 6. En la figura 6 la intensidad debida a tres posibles trayectorias se representa en función
de θ. En la dirección de retrodispersión todas las trayectorias contribuyen constructivamente a la interferencia.
Este fenómeno se denomina retrodispersión coherente y
al incremento de la intensidad en torno a θ = 0 se le denomina cono de retrodispersión y aperece representado
en la figura 7. El cono de retrodispersión fue por vez
primera observado en 1985. Tal y como se ilustra en la
figura 8, en este experimento la luz de un laser era enviada a traves de un beamsplitter e incidı́a en un muestra
compuesta por pequeñas partı́culas que actuaban de dispersores. La luz dispersada por la muestra en la dirección
de retrodispersión era reflejada por el beam splitter e incidı́a en el detector. El detector era movido alrededor de
la posición de retrodispersión registrando el cambio en la
intensidad.
θ
θ
FIG. 5. Trayectorias recorridas en sentidos opuestos por la
luz en un medio turbio. En la dirección de retrodispersión
(θ = 0) la longitud de ambas trayectorias es la misma, siendo
la diferencia de fase 0.
I
0
Intensidad
Cono de Retrodispersion
θ
FIG. 6. Intensidad en función del ángulo que forma la dirección del haz incidente con la dirección de observación para
tres trayectoria en un medio turbio. La intensidad oscila en
función de la diferencia de fase de las ondas propagando en
sentidos opuestos.
Luz difusa reflejada
0
θ
FIG. 7. Intensidad de la luz dispersada por un medio turbio
en función del ángulo que forma la dirección del haz incidente
con la dirección de observación. Para ángulos en torno a
0 la intensidad es superior al fondo de luz difusa (cono de
retrodispersión).
Tal y como aparece ilustrado en la figura 4, dicha
trayectoria puede ser recorrida en sentidos opuestos,
siendo la longitud de ambos caminos igual y por tanto
la diferencia de fase, ∆φ, igual a 0. Por consiguiente, si
iluminamos con una onda plana un medio turbio y observamos la intensidad de la luz difusa reflejada tenemos
que ésta presenta un máximo en la dirección de retrodispersión. Si la dirección de observación no es exactamente
igual a la dirección en la que incide la onda se genera una
diferencia de fase entre las ondas que propagan en sentidos opuestos. La diferencia de fase se incrementa con
el ángulo que forman ambas direcciones. Esto aparece
ilustrado en la figura 5 donde por simplificar se repre-
Tras este primer experimento hubo un creciente interés
en el campo de la dispersión múltiple de luz. La retrodispersión coherente fué identificada como la precursora de
la localización de Anderson de la luz (sección 5) y fue
denominada localización debil. Importante información
del medio turbio puede ser extraı́da del analisis de la
forma del cono de retrodispersión, como puede ser l y la
absorción del medio.
4
donde k = 2π/λ es el vector de ondas, la onda se encuentra localizada. El criterio de Ioffe-Regel viene a decir
que si la onda dispersada no puede realizar un oscilación
completa antes de volver a ser dispersada se encuentra
localizada.
Para entender mejor las diferencias entre la localización
de Anderson para electrones y para la luz conviene comparar la ecuación de Schrödinger y la ecuación de ondas
electromagnéticas. En un sólido desordenado, la ecuación
de Schrödinger para un electrón de masa efectiva m∗ ,
donde m∗ es el equivalente cuántico a la masa del electrón
propagando en el sólido, viene expresada por:
Detector
Beam Splitter
Laser
Muestra
FIG. 8. Representación esquemática del experimento usado para medir el cono de retrodispersión de un medio turbio.
h̄2 2
∇ ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) .
2m∗
V (x) es el potencial que varı́a espacialmente de forma
aleatoria. Es por tanto el término que considera el desorden en el sólido. Electrones con energı́as, E, suficientemente negativas quedarán atrapados en regiones donde
el potencial es profundo tal y como se representa en la
figura 9. En este caso, la probabilidad de que el electrón
pueda propagar vendrá determinada por la probabilidad
que tiene de cruzar las barreras de potencial por efecto
tunel. Esta probabilidad decrece exponencialmente con
la distancia, por lo que a bajas temperaturas los electrones están espacialmente localizados y la conductividad
se desvanece.
−
V. LOCALIZACIÓN DE ANDERSON.
kl ≤ 1 ,
Potencial
En 1958 P.W. Anderson propuso que el desorden en
ciertos sólidos cristalinos era el responsable de la transición de conductor a aislante que experimentaban dichos
sólidos a bajas temperaturas. Pero no fue hasta mediados de los años 80 cuando éste fenómeno fué asociado con
la interferencia de ondas y por lo tanto fue predicho que
también tenı́a que existir el análogo a la localización de
Anderson para la luz.
A finales de 1997 fue publicado (ver referencias) el
primer artı́culo en el que se presentan medidas de la localización de Anderson para la luz. Más adelante veremos los motivos por los que ha transcurrido tanto tiempo
desde que la localización de Anderson fue observada para
electrones hasta que ha sido realizada para la luz. Pero
primero veamos en que consiste la localización de Anderson.
Localización puede ser facilmente entendida en
términos de la retrodispersión coherente. Supongamos
un medio turbio en el que la densidad de obstáculos
es pequeña. El área ocupada por la sección eficaz de
dispersión de los obstáculos es mucho menor que el
área no ocupada por ésta. En este caso la probabilidad de que la luz retorne al punto de partida o realize
un trayectoria cerrada como la de la figura 4, aunque
como vimos es superior a la probabilidad de que no retorne, es muy pequeña. Si incrementamos la densidad de
obstáculos, o equivalemete reducimos el recorrido libre
medio (ecuación 1), la probabilidad de retorno se verá
incrementada. Eventualmente podremos crear un medio
en el que la esta probabilidad domine y la luz se encuentre
realizando trayectorias cerradas sin poder propagar mas
allá de distancias superiores a la denominada distancia
de coherencia, ξ. La luz estará por tanto localizada espacialmente en un volumen igual a ξ 3 . Localización puede
ser interpretada como la ausencia de difusión de la luz
en presencia de desorden: D → 0 si la onda se encuentra localizada. ?Cuanto hay que reducir l para inducir
localización de Anderson?. La respuesta es dada por el
criterio de localización de Ioffe-Regel que dice que si
Posicion
Potential de dispersion
electron
foton
Posicion
FIG. 9. Parte superior: electrón en un sólido desordenado.
Parte inferior: fotón en un medio turbio
En
el
caso
de
una onda electromagnética monocromática de frecuencia ω propagando en un medio turbio y en ausencia de
absorción, la ecuación de ondas para el campo eléctrico,
E, puede ser escrita de forma muy similar a la ecuación
de Schrödinger:
ω2
ω2
(x)E = 0 2 E
2
c
c
donde c es la velocidad de la luz, 0 es la constante
dieléctrica efectiva del medio o la constante dieléctrica del
−∇2 E + ∇(∇ · E) −
(6)
5
VII. AGRADECIMIENTOS
medio considerándolo homogéneo y (x) es la variación
espacial de la constante dieléctrica debida a la presencia
de dispersores (la constante dielectrica no es igual en un
dispersor que en medio que le rodea). El análogo a V (x)
en la ecuación de ondas es (x)ω 2 /c2 . Es importante resaltar dos aspectos cuando se comparan la ecuación de
Schrödinger y la ecuación de ondas. El primero es que
el término ω 2 /c2 , que es el análogo al valor propio de
la energı́a de los electrones, es siempre positivo. Esto
implica que no es posible tener estados ligados para la
luz como aparece ilustrado en la figura 9. El otro importante aspecto es que el término asociado con el desorden,
(x)ω 2 /c2 , depende de la frecuencia (o equivalentemente
de λ). Este aspecto fue introducido en la sección II donde
se vio la dependencia de la sección eficaz de dispersión
de un obstáculo con la longitud de onda. Por lo tanto,
contrariamente a en sistemas electrónicos donde una reducción de la energı́a de los electrones produce un incremento de la localización, en el caso de la luz la reducción
de la energı́a (o aumento de la longitud de onda) da lugar a una reducción de la sección eficaz de dispersión y
por lo tanto a un incremento de l (recuerdese el lı́mite de
Rayleigh). El valor kl se alejará del deseado criterio de
Ioffe-Regel. Ahora esta claro porque es tan dificil crear
un medio donde tenga lugar la localización de Anderson
para la luz. Si en un medio se puede dar la localización
de Anderson para la luz, ésta tendrá lugar tan sólo para
determinadas λ. En concreto, localización podrá establecerse en el regimen de dispersión de Mie, es decir para λ
en las que la sección efficaz de dispersión es máxima.
La ecuación 4 representa la intesidad de la luz transmitida que ha propagado difusivamente en el medio turbio.
Si la luz se encuentra localizada no puede propagarse,
por lo que la intensidad transmitida decrece exponencialmente con la distancia. Un medio en el que tenga
lugar la localización de Anderson se comportará por lo
tanto como un reflector perfecto.
Me gustarı́a agradecer al profesor F. Ritort el haberme
animado a escribir este artı́culo y a la Comisión Europea
por financiar mis estudios de doctorado con la beca No
ERBFMBICT971921.
VIII. BIBLIOGRAFÍA
Born M. y Wolf E., Principles of optics, Cambridge
University Press.
Genack A.Z., Optical Transmission in disorded media,
Phys. Rev. Lett., 58, 2043 (1987).
Van Albada M.P., van der Mark M.B. y Lagendijk
A., Experiments on weak localization of ligth and their
interpretation en Scattering and localization of classical
waves in random media, Editor Sheng P., World Scientific (1990).
John S., Localization of Light, Physics Today, Mayo
1991.
Wiersma D.S., Bartolini P., Lagendijk A. y Righini
R., Localization of light in a disordered medium, Nature,
Diciembre 1997.
VI. CONCLUSIONES
En este artı́culo se han presentado algunos conceptos
de la propagación de luz en medios turbios. Esta propagación puede ser, en general, bastante bien descrita por
medio de la ecuación de difusión. La ecuación de difusión desprecia la interferencia de ondas que propagan
a lo largo de trayectorias distintas. Sin embargo en la dirección de retrodispersión la interferencia no es en promedio nula dando lugar al cono de retrodispersión. Cuando
el desorden es incrementado, reduciendose el recorrido
libre medio de la luz, puede inducirse la localización
de Anderson. El que la luz este localizada significa
que se encuentra recorriendo trayectorias cerradas interfiriendo constructivamente las ondas que recorren dichas
trayectorias en sentidos opuestos. Localización implica
la ausencia de difusión de luz.
6