Integración de funciones positivas

Integración de funciones positivas
Objetivos. Definir la integral de Lebesgue de funciones positivas y estudiar sus propiedades elementales.
Requisitos. Funciones medibles, medida, integral de funciones simples positivas medibles.
1. Notación. Dada una función medible positiva f ∈ M(X, F, R+ ), denotemos por Φf al
conjunto de todas las funciones simples medibles positivas que son menores o iguales a f
en cada punto:
n
o
Φf := s ∈ SM(X, F, R+ ) : s ≤ f .
2. Proposición. Sea f ∈ SM(X, F, R+ ) y sea E ∈ F. Entonces

Z
Z
f dµ = sup
s dµ : s ∈ SM(X, F, R+ ) ∧

E
s≤f
E


.

Demostración. Como f es simple y f ≤ f , tenemos que f ∈ Φf . Además para toda s ∈ Φf
se tiene la desigualdad
Z
Z
s dµ ≤
E
Por lo tanto, el número
R
E
f dµ.
E
f dµ es el máximo del conjunto


Z

s dµ : s ∈ Φf .


E
3. Definición (integral de Lebesgue de una función medible positiva). Sea
(X, F, µ) un espacio de medida, sea f ∈ M(X, F, R+ ) y sea E ∈ F. Entonces la integral de Lebesgue de f sobre E respecto a la medida µ se define mediante la siguiente
fórmula:


Z
Z

f dµ := sup
s dµ : s ∈ SM(X, F, R+ ) ∧ 0 ≤ s ≤ f .
(1)


E
E
Usando la notación Φf podemos escribir la definición (1) de la siguiente manera:
Z
Z
f dµ := sup s dµ.
E
s∈Φf
E
La proposición antes de la definición muestra que para las funciones simples F-medibles
positivas la definición nueva da el mismo valor de la integral que la definición original.
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Algunas propiedades de la integral de Lebesgue
de funciones positivas medibles
Se supone que (X, F, µ) es un espacio de medida.
4. Sea f ∈ M(X, F, R+ ) y sea E ∈ F. Entonces
Z
Z
f dµ = χE f dµ.
E
X
Idea de demostración. χE Φf = ΦχE f .
5. Integral de una función positiva sobre un conjunto de medida cero. Sea
f ∈ M(X, F, R+ ) y sea E ∈ F tal que µ(E) = 0. Entonces
Z
f dµ = 0.
E
Demostración. Para toda s ∈ Φf tenemos que
R
E
s dµ = 0.
6. Monotonı́a de la integral respecto al conjunto de integración, el caso de una
función positiva. Sea f ∈ M(X, F, R+ ) y sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B. Entonces
Z
Z
f dµ ≤ f dµ.
(2)
A
B
Demostración. Para toda s ∈ Φf aplicamos la monotonı́a de la integral de una función
simple positiva respecto al conjunto de integración:
Z
Z
s dµ ≤ s dµ.
A
B
Pasando al supremo sobre s ∈ Φf obtenemos la desigualdad (2).
7. Monotonı́a de la integral respecto a la función, el caso de funciones positivas.
Sean f, g ∈ M(X, F, R+ ) y E ∈ F tales que
∀x ∈ E
Entonces
f (x) ≤ g(x).
Z
Z
f dµ ≤
E
g dµ.
E
Idea de demostración. Φf χE ⊂ ΦgχE .
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Demuestre las siguientes propiedades usando la notación Φf , propiedades de la integral
de funciones medibles simples positivas y las propiedades de funciones medibles positivas
mencionadas arriba.
8. Integral de una función positiva que es constante en el conjunto de integración. Sean f ∈ M(X, F, R+ ), E ∈ F y c ∈ R+ tales que
∀x ∈ E
Entonces
f (x) = c.
Z
f dµ = cµ(E).
E
9. Integral de una función positiva que se anula en el conjunto de integración.
Sean f ∈ M(X, F, R+ ) y E ∈ F tales que
∀x ∈ E
Entonces
f (x) = 0.
Z
f dµ = 0.
E
10. Propiedad homogénea de la integral, el caso de funciones positivas. Sea
f ∈ M(X, F, R+ ), sea c ∈ [0, +∞) y sea E ∈ F. Entonces
Z
Z
cf dµ = c f dµ.
E
E
11. Nota sobre la propiedad aditiva de la integral respecto a la función, el caso
de funciones positivas. Es cómodo demostrar la propiedad aditiva usando el teorema
de convergencia monótona.
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