Los términos de potencia en el marco del

Asociación Española
para el Desarrollo de la
Ingeniería Eléctrica
Universidad de Sevilla
XVII REUNIÓN DE GRUPOS DE INVESTIGACIÓN
DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Sevilla, marzo de 2007
LOS TÉRMINOS DE POTENCIA EN EL MARCO DEL
STANDARD IEEE 1459-2000
P. SALMERÓN, J. R. VÁZQUEZ, R. S. HERRERA Y S. P. LITRÁN
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Térmica
Universidad de Huelva
RESUMEN
La potencia aparente es una de las cantidades de mayor uso y aplicación en el
ámbito de la potencia eléctrica. Su significado para el caso de sistemas
monofásicos y sistemas trifásicos equilibrados senoidales es claro, así como
los términos de potencia activa y potencia reactiva en que es posible su
división. Esto ya no es así cuando se trata de sistemas desequilibrados y/o
distorsionados, donde no existe un acuerdo unánime para definir la potencia
aparente y donde es aún más discutible los términos de potencia más
apropiados para su partición. El IEEE Standard 1459-2000 intenta resolver
esta cuestión con la propuesta de una definición basada en la tensión e
intensidad efectiva y una descomposición de la potencia aparente efectiva
que tiene tres características útiles: a) separa convenientemente la potencia
aparente fundamental y sus componentes activa y reactiva, de la potencia
aparente no fundamental, b) suministra una medida útil del grado de
“polución” armónica a través de la potencia aparente no fundamental, y c)
suministra una medida del grado de desequilibrio a partir de la introducción
de la potencia aparente fundamental de desequilibrio.
1. Introducción
Desde los inicios de la corriente alterna, los “ingenieros de la electricidad” fueron
conscientes de la importancia del ángulo de fase entre la tensión y la intensidad, y sus efectos
en la transmisión de energía eléctrica. Desarrollos ulteriores condujeron al concepto de factor
de potencia como una figura de mérito que representaba la eficiencia en la utilización de un
sistema de suministro eléctrico y definida como el cociente de la potencia media y la potencia
aparente. La noción de factor de potencia, PF, ganó una pronta aceptación como un parámetro
importante en la economía de ingeniería de los sistemas de potencia. Su cálculo y su medida
no tuvieron problemas mientras fue aplicada a sistemas monofásicos y sistemas trifásicos
equilibrados, [1].
No obstante, desde muy pronto, con la extensión de las redes trifásicas, se puso de
manifiesto que la definición de PF presentaba serios inconvenientes cuando se aplicaba a
sistemas desequilibrados. Desde los años veinte comenzaron a utilizarse un par de
definiciones de potencia aparente surgidas como extensiones de las definiciones encontradas
para circuitos monofásicos, [2-3].
Desde finales de los años veinte se planteó una amplia controversia sobre el significado
de los distintos términos de potencia utilizados por los ingenieros de potencia cuando se
encontraban con formas de onda no senoidales y/o la presencia de desequilibrios en el caso de
sistemas trifásicos. Esto ha dado lugar a una ambigüedad en las definiciones básicas que
permaneció sin cambios durante más de cincuenta años; este ha sido el caso de las
definiciones encontradas en el IEEE Dictionary de tan amplia influencia. Así, en concreto, en
el IEEE Dictionary seguía una confusión sobre la definición “correcta” de potencia aparente
para sistemas trifásicos desequilibrados, que se sucedió hasta la 6ª edición de 1993 que seguía
utilizando dos definiciones diferentes que conducían a dos tipos diferentes de factores de
potencia, [3].
En 1996 se publican los resultados del trabajo realizado durante cuatro años por el IEEE
working group on nonsinusoidal situations presidido por A. Emanuel e integrado por
veintiséis miembros de distinta procedencia, entre los que destacaban algunos por sus
contribuciones anteriores, es el caso de R. Arseneau, Y. Baghzouz, M. Cox, P. Filipski, A.
Girgis, K. Srinivasan, o el mismo A. Emanuel, [4]. En este trabajo se proponen una serie de
términos de potencia con la vocación de ser prácticos en las situaciones en las que la tensión
y/o intensidad es distorsionada y/o desequilibrada. Esos términos podrían incluso ser
utilizados para medir el nivel de distorsión y desequilibrio de un sistema.
El IEEE working group dice de forma expresa que no intenta resolver controversias
teóricas sobre la división de la potencia aparente en componentes activa, reactiva, de
distorsión, y otras componentes no activas, sino dar una guía a ingenieros y fabricantes de
equipos de medida, respecto a las cantidades que deben medirse con propósito de facturación.
El destino final del trabajo del IEEE working group fue la edición del IEEE Standard 14592000 que recogía en buena medida el trabajo por aquel desarrollado, [5-6].
En este artículo se expondrán los tópicos recogidos en el IEEE Trial-Use Standard
Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal,
Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced conditions, IEEE Std 1459-2000. Para ello se
seguirá un desarrollo cronológico, partiendo de los inconvenientes que tenían las definiciones
originales recogidas en el denominado IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics
Terms, ANSI/IEEE Std 100, seguido de las propuestas de Emanuel y otros, realizadas dentro
del IEEE working group como fuera de él, hasta llegar al conjunto de definiciones y términos
de potencia aceptados en la actualidad mayoritariamente por la comunidad de ingenieros
americanos.
2. Los antecedentes: la necesidad de un nuevo standard
Desde las primeras ediciones, el IEEE Std Dictionary utiliza dos clases de potencia
aparente para sistemas trifásicos: la potencia aparente aritmética SA y la potencia aparente
vector SV. SA no está explícitamente definida en el Dictionary, aunque se menciona y utiliza
con normalidad. SA es la suma aritmética de las potencias aparentes de las fases individuales,
SA =
∑S = ∑ V I
∀j = a , b , c
j
∀j= a , b , c
j
j
= Va Ia + Vb I b + Vc Ic =
∑
∀j= a , b , c
Pj2 + Q 2j + D 2j =
(1)
= Pa2 + Qa2 + Da2 + Pb2 + Q 2b + D 2b + Pc2 + Qc2 + Dc2
donde Vj e Ij representan los valores rms de la tensión y la intensidad de la fase “j”. En
situaciones no senoidales, el cuadrado de la potencia aparente de cada fase se descompone
según el modelo de Budeanu distinguiendo la potencia activa Pj, la potencia reactiva de
Budeanu Qj y la potencia de distorsión, Dj.
SV se define como una suma vectorial,
2
2
2

 
 

SV =  ∑ Pj  +  ∑ Q j  +  ∑ D j  =
 ∀j= a , b ,c   ∀j= a , b , c   ∀j= a , b ,c 
=
(2)
(Pa + Pb + Pc ) + (Qa + Qb + Qc ) + (Da + Db + Dc )
2
2
2
A la vista de las definiciones se verifica que SA>SV. Ambas dan lugar a otras tantas
definiciones de factor de potencia, PFA y PFV. En sistemas equilibrados senoidales los dos
valores son iguales. Sin embargo, fuera de las condiciones ideales los resultados pueden llegar
a ser completamente diferentes, [2]. La situación se ilustra con la ayuda de un ejemplo.
Una carga trifásica desequilibrada está constituida por dos impedancias inductivas iguales
en las fases “a” y “b” y una impedancia capacitiva en la fase “c”,
Sa = Sb = P (1 + j) ; Sc = 2 P (1 − j)
(3)
La figura 1 muestra la situación. La definición de PF que utiliza la suma aritmética para
la potencia aparente produce un PFA=0.707. La definición que utiliza la suma vectorial para la
potencia aparente da un PFV=1.
Pc
Sb
Qb
Pb
Sa
Pa
Sc
Qc
Qa
S (vector)
S (aritmética)
Figura 1. Potencia aparente vector y aritmética, y triángulos de potencia en cada fase
Aunque la controversia ha seguido hasta la actualidad, IEEE mantuvo esas definiciones
hasta la aparición del Std 1459, ajena a otro tipo de propuestas que han sido motivo de
distintas publicaciones científicas a lo largo de los años, [7].
3. El Standard IEEE 1459-2000
En los años 1998 y 1999 aparecen sendos artículos de Emanuel, [8-10], sobre el
particular. En estos trabajos Emanuel adopta la propuesta de Depenbrock y redefine los
resultados del IEEE working group según la visión de un sistema trifásico con conductor de
neutro como un sistema de cuatro conductores. Así, el Standard establece una definición
genérica de potencia aparente, define las denominadas tensión efectiva e intensidad efectiva, y
a partir de ahí asume la descomposición de la potencia aparente efectiva en los términos de
potencia propuestos por el IEEE working group, [5-6].
La definición de potencia aparente que maneja el Std 1459 es la siguiente: máxima
potencia que puede ser transmitida bajo condiciones ideales (sistema monofásico senoidal o
trifásico equilibrado senoidal) con el mismo impacto de tensión (sobre el aislamiento y sobre
las pérdidas en vacío) y el mismo impacto de intensidad (o pérdidas en la línea) del sistema
sobre la red. Así, para determinar la potencia aparente según la definición establecida, debe
determinarse una intensidad y una tensión equivalente de un sistema equilibrado de secuencia
positiva que produzcan el mismo impacto sobre la red que las tensiones e intensidades del
sistema.
La figura 2 esquematiza un sistema trifásico general, donde una carga desequilibrada es
alimentada por un sistema de cuatro conductores. Se puede obtener un sistema equivalente
como el mostrado en la figura 3, que disipe la misma potencia en la línea.
.
r
Ia
a
r
Ib
b
r
Ic
c
r
In
n
C
A
R
G
A
Figura 2. Sistema trifásico de cuatro
conductores
r
Ie
r
Ie
r
Ie
r
0
a
Re
b
Re
c
Re
n
Figura 3. Circuito trifásico equivalente para la
definición de Ie
Las pérdidas de potencia en la línea del circuito original, figura 2, se indican en la
ecuación 4. La carga de la figura 3 la forman tres resistencias iguales y por las líneas circulan
tres intensidades idénticas Ie, luego las pérdidas se obtienen de la ecuación 5. Igualando
ambas expresiones, la intensidad efectiva resulta la indicada en la ecuación 6.
(
∆P = r Ia2 + I 2b + Ic2 + I 2n
)
∆P = 3 r Ie2
Ie =
(
1 2 2 2 2
Ia + I b + Ic + I n
3
(4)
(5)
)
(6)
El siguiente paso es encontrar una tensión equivalente Ve. Para ello se tienen en cuenta
las pérdidas de potencia en vacío en los núcleos magnéticos de los transformadores y de los
aislamientos ‘aguas arriba’ de la carga, [6], [11-12]. En el Standard se supone que las pérdidas
(en vacío) que dependen de la tensión, PY, que son debidas a las tensiones de fase y las
pérdidas (en vacío) que dependen de la tensión, P∆, que son debidas a las tensiones de línea,
son iguales, figura 4.
a +
+
G∆ √3 Ve
GY
Ve
G∆
_
GY
GY
b
c
G∆
Figura 4. Conductancias que representan las pérdidas que dependen de la tensión
Las expresiones de las pérdidas se indican en la ecuación 7, representando las
conductancias G∆ y GY las pérdidas que dependen de la tensión, P∆ y PY, respectivamente. La
tensión equivalente viene dada por la ecuación 8. Si se considera que ambas potencias son
iguales, G∆ = (1/3)GY, se llega a la expresión indicada en la ecuación 9, de donde se sigue la
tensión efectiva indicada en la ecuación 10.
(
)
⇒
1
G∆ = GY
3
2
2
2
2
2
2
2
G ∆ Vab + Vbc + Vca + G Y Van + Vbn + Vcn = 9 G ∆ Ve + 3 G Y Ve2
(7)
)
(8)
G ∆ Vab2 + Vbc2 + Vca2 + 3 G ∆ Van2 + Vbn2 + Vcn2 =18 G ∆ Ve2
(9)
P∆ = 3 G ∆
(
2
3 Ve = 3 G Y Ve2 = PY
)
(
)
(
(
(
) (
)
)
1
{ 3 Van2 + Vbn2 + Vcn2 + Vab2 + Vbc2 + Vca2 }
18
Ve =
(10)
Para un sistema trifásico de tres conductores donde In=0, el Standard recomienda las
expresiones simplificadas, referidas como de Buchholz-Goodhue, y propuestas por los
trabajos originales del IEEE working group, (14), (15).
Vab2 + Vbc2 + Vca2
9
Ve =
Ie =
;
Ia2 + I 2b + Ic2
3
(11)
Finalmente, se incluye como resumen la resolución de la potencia aparente efectiva tal y
como aparece publicado en el standard IEEE 1459-2000.
( ) ( )
2
2
Se2 = P1+ + Q1+ + (SU1 ) + DeI2 + DeV
+ PH2 + DeH
2
2
2
(12)
siendo P1+ y Q1+ las potencias activa y reactiva fundamentales de secuencia positiva, SU1
la componente atribuida al desequilibrio del sistema, DeI y DeV son las potencia de distorsión
de intensidad y tensión efectivas, PH es la potencia activa armónica y DeH es el término no
activo restante.
No está de más a modo de recordatorio dejar constancia de que éstos términos de
potencia vienen definidos a partir de las componentes efectivas fundamental y armónica de
tensión e intensidad, y por tanto, en el entorno del IEEE Standard, éstas ahora toman la forma,
Ie21 =
(
1 2
Ia1 + I 2b1 + Ic21 + I 2n1
3
para la intensidad, y,
)
;
2
IeH
= Ie2 + Ie21
(13)
Ve21 =
(
) (
)
1
2
{3 Va21 + Vb21 + Vc21 + Vab2 1 + Vbc2 1 + Vca2 1 } ; VeH
= Ve2 − Ve21
18
(14)
para la tensión.
Es indiscutible la influencia de Emanuel en el desarrollo y difusión del Standard. Fue
quien presidió las sesiones de trabajo del IEEE working group y como se reconoce en [13], el
responsable moral del contenido teórico y técnico del Standard. El Standard recoge la
evolución respecto de la aceptación de los valores de tensión e intensidad equivalente seguida
por el propio Emanuel. En el caso de la intensidad equivalente es clara la aceptación de las
propuestas de Depenbrock, no así para el caso de la tensión equivalente a la que es menos
proclive y que él relaciona con las pérdidas que dependen de la tensión. Una vez publicado el
Standard, Emanuel vuelve a redefinir los valores de tensión e intensidad equivalente como
consecuencia de la colaboración con la escuela de potencia europea, esta vez con la
participación de Willems, [14]. La extensión del presente trabajo deja para otra ocasión esta
discusión.
4. Un ejemplo práctico
Para ilustrar numéricamente los desarrollos efectuados hasta el momento, se incluye en
esta sección un caso práctico de estudio. Se trata de un sistema trifásico de cuatro conductores
en condiciones generales de desequilibrio y distorsión, figura 5.
l
r
a
l
r
b
l
r
c
ln
rn
C
A
R
G
A
N
O
R1
R2
R3
L1
L2
L3
L
I
N
E
A
L
En Y
n
Figura 5. Circuito para el ejemplo práctico
Una fuente trifásica desequilibrada alimenta dos cargas de cuatro conductores. Una
asimétrica pero lineal y otra simétrica pero no lineal constituida por tres rectificadores
monofásicos conectados en estrella. La fuente y las cargas se conectan a través de tres
conductores de línea de la misma impedancia y un conductor de neutro de impedancia
diferente a los conductores de línea; en concreto r1=r2=r3=r=4.2mΩ, rn=6mΩ. Las formas de
onda de tensión e intensidad resultantes se presentan en la figura 6.
Las cuatro primeras muestran las intensidades de línea y la intensidad de neutro. En la
intensidad de neutro se deja destacar la distorsión debida a los terceros armónicos. Las cuatro
formas de onda restantes son las tensiones de fase a neutro y una tensión de línea. Se trata de
tensiones desequilibradas y de una cierta distorsión. Tanto la carga no lineal, como la carga
desequilibrada son las principales responsables de las perturbaciones de la tensión en el punto
de medida.
Figura 6. Intensidades de línea y neutro, tensiones de fase y tensión de línea a-b, para el circuito
de la figura 5.
La tabla I lista los valores rms de las tensiones e intensidades, además de las
correspondientes a las del armónico fundamental.
Tabla I. Valores rms de las tensiones de fase, V e
intensidades de línea, A, y los de su armónico fundamental
Va
221.82
Va1
219.25
Ia
102.69
Ia1
101.04
Vb
233.71
Vb1
231.20
Ib
105.18
Ib1
103.26
Vc
233.15
Vc1
230.66
Ic
85.95
Ic1
83.77
In
51.41
In1
9.53
La pérdida de potencia disipada por las tres líneas es,
(
)
∆PL = r Ia2 + I 2b + Ic2 = 121.78W
(15)
Por otro lado, las pérdidas en el conductor de neutro son,
∆Pn = rn I 2n = 15.86 W
(16)
Las tablas II y III recogen los valores rms de las tensiones de línea y las del armónico
fundamental, y los valores efectivos de tensión e intensidad del sistema, respectivamente. Por
último, la tabla IV recoge los valores de los distintos términos de potencia.
Tabla II. Valores rms de las tensiones de línea, V, y los
de su armónico fundamental
Vab
Vbc
Vca
Vab1 Vbc1 Vca1
393.30 390.80 395.30 393.23 390.66 395.22
Tabla III. Valores efectivos de la tensión, V y de la intensidad,
A, así como de sus componentes fundamental y armónica
Ve
Ie
Ve1
Ie1
VeH IeH
228.30 102.69 227.01 96.57 24.26 34.92
Tabla IV. Resultados de los distintos términos de potencia en VA, W, y var
Se=70.338
Se1=65.772
SeN=24.929
P=64.929
S1+=65.052
SU1=9.706
P1=64.934
P1+=64.830
Q1+=5.370
DeI=23.784
DeV=7.028
SeH=2.541
PH= -4.86
DeH=2.541
Los resultados permiten destacar las siguientes características de la carga:
- Los valores de distorsión de tensión e intensidad son, THDeV =10.69% , THDeI =
36.16%. La tensión presenta una distorsión inferior pero cercana a la distorsión de intensidad,
y además existe una presencia reducida de armónicos con secuencia distinta de la directa, esto
causa que Se>Se1>Se1+, pero con valores muy cercanos. La contribución de los armónicos de
tensión y corriente producen un nivel medio de potencia aparente no fundamental,
SeN/Se1=0.38, Tabla IV.
- La potencia activa fundamental es el término dominante. No obstante, debido al hecho
que la potencia armónica es inyectada desde la carga a la red, se verifica que P1>P, esto es,
PH<0, PH=-4.86 W. Ya que las tensiones de suministro son asimétricas, las potencias activas
fundamentales de secuencia negativa (P1-=17.55W) y de secuencia cero (P10=86.72W) son
positivas, disipadas en las cargas lineales.
- La potencia reactiva de secuencia positiva fundamental normalizada Q1+/Se1=0.082 da
la potencia de la batería de condensadores paralelo que conseguirá un factor de potencia de
secuencia positiva fundamental igual a uno. En este caso PF1+ es 0.996, por ello la utilización
de condensadores poco puede mejorar el factor de potencia de la carga.
A efectos de comparación se indican los valores del factor de potencia obtenidos a partir
de la definición de potencia aparente vector y potencia aparente aritmética incluidas en el
anterior Std 100: PFV=0.967, PFA=0.963. Ambos son mayores que PFe=0.923, ya que la
potencia aparente efectiva Se es mayor que SV y SA, principalmente por incluir la intensidad
de neutro; en cualquier caso, en este ejemplo, los valores obtenidos son muy cercanos al
tratarse de una carga con un valor relativo de la potencia fundamental muy elevado.
5. Discusión y conclusiones
Según se ha indicado en el trabajo, después de la publicación del Std 1459, su principal
inspirador A.E. Emanuel, complementó y reinterpretó algunos de los conceptos utilizados en
aquel.
Aquí profundizamos en la necesidad de esas correcciones con ayuda de un ejemplo
ilustrativo. En algunas situaciones el factor de potencia determinado según el Std 1459 podría
ser mayor que 1. Considérese una carga trifásica perfectamente equilibrada que consiste de
tres resistencias R conectadas en Y, y alimentadas por un sistema de cuatro conductores con
tensiones asimétricas cuyos fasores son,
Va = V+ + V0
; Vb = a 2 V+ + V0
; Vc = a V+ + V0
(17)
Las intensidades de línea y neutro son,
Ia = I + + I0 ; Ib = a2 I + + I0 ; Ic = a I + + I0 ; In = 3 I0
(18)
donde I+=V+/R e I0=V0/R.
Si se considera nula la resistencia del conductor de neutro, ρ=0. La intensidad efectiva es
entonces,
Ie = I 2+ + I 2− + I02 =
1
V+2 + V02
R
(19)
Si la tensión efectiva Ve se determina sin considerar la topología de la carga y se utiliza
ξ=1 como establece el Std 1459, se tiene,
1
1
Ve = V+2 + V−2 + V02 = V+2 + V02
2
2
(20)
Por lo tanto,
Se =
3
R
(V
2
+
)(
+ V02 V+2 + 1 / 2 V02
)
(21)
La potencia activa es,
P=
(
3
V+2 + V02
R
)
(22)
Luego el factor de potencia es,
2
PFe =
P
=
Se
V 
1 +  0 
2
2
V+ + V0
 V+  ; 1
=
2
V+2 + V02 V+2 + 0.5 V02
 V0 
1 + 0.5  
 V+ 
(
)(
)
(23)
Desde un punto de vista global, el marco del Std 1459 introduce un procedimiento para
tratar el análisis de la potencia en sistemas eléctricos con asimetría y distorsión. Ciertamente
mantiene algunas discrepancias con el enfoque europeo, pero presenta sus propias
características positivas.
El nuevo Standard utiliza una definición de potencia aparente efectiva, Se, para sistemas
trifásicos debida a Buchholz-Goodhue con una interpretación relacionada con el rendimiento
de la transmisión de potencia a la carga, más acorde con aquella asociada a la potencia
aparente en condiciones ideales. Otras de sus principales características es el tratamiento
principal de los términos de potencia de secuencia positiva a la frecuencia fundamental. Las
potencias restantes no fundamental se concentran en una componente, SeN, que ayuda a medir
la cantidad de VA armónicos que se transfieren en el nudo de interés, así como su grado
relativo de distorsión, SeN/Se1. Por otra parte, la medida de SeN puede ser utilizada como una
medida tanto de aviso para consumidores lineales frente a resonancias como de complemento
de facturación para las compañías eléctricas. Finalmente, la moderna instrumentación digital
permite configurar fácilmente los términos de potencia incluidos en el Standard.
Una limitación clara del Standard se refiere al hecho de que no puede hacer distinción
entre la situación en que los armónicos fluyen hacia la carga de aquella en que los armónicos
fluyen desde la carga a la red; sin embargo, ningún otro Standard ofrece una solución mejor.
6. Referencias
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
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