Triángulos - x.edu.uy Matematica

CURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT
UNIDAD 0 – REPASO 1º
REPASO SOBRE TRIÁNGULOS
Clasificación de los triángulos
Por sus lados
Propiedad
La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º
A + B + C = 180°
Los ángulos en la base, es decir el A y el B, son iguales a sus homónimos, en
el vértice C, por alternos internos y como estos últimos 3 forman un llano,
esto justifica la igualdad anterior.
De lo anterior se deduce que en todo triángulo hay, al menos, dos ángulos
agudos. Este hecho nos permite clasificar los triángulos en virtud de sus
ángulos.
Teorema del ángulo exterior
“Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.”
Si trazo por A una recta auxiliar paralela a BC, el ángulo α queda seccionado en 2, uno
de ellos es correspondiente con <C y el otro es igual al <B por alternos internos, esto
justifica este postulado.
Corolario:
En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos
interiores.
Clasificación Por sus ángulos
Mediatrices de un Triángulo
Definición:”Son rectas formadas por los puntos del plano que equidistan de los
extremos de los lados del triángulo”
Las mediatrices de un triángulo son concurrentes y este punto de concurrencia
equidista de los tres vértices. Su nombre es Circuncentro.
Demostración:
, sean
Sea el triángulo
y
mediatrices de
y
.
Hay que demostrar:
1. O está en la mediatriz de BC.
2.
Parte II)
Trace
,
perpendicularmente a
tiene que
y
. Se tiene que
y
está en la línea recta que corta
, por el definición de mediatriz de un segmento, se
y
por lo tanto
Parte I)
Dado que
, por definición de mediatriz, se tiene que
mediatriz de
está en la
.
Definición:”El punto donde concurren las mediatrices de un triángulo se denomina
circuncentro, es el único punto del plano que equidista de los 3 vértices”
Alturas de un triángulo
Def.:”Se llama altura de un triángulo a una recta, que pasa por un vértice y es
perpendicular al lado opuesto”
Concurrencia de las alturas
“Las alturas de un triángulo concurren en un punto H, denominado Ortocentro”.
DEMOSTRACION. Las alturas son las perpendiculares bajadas desde los vértices a los lados
opuestos. Sea ABC dado y sea DEF el triángulo de las paralelas desde los vértices a los lados
opuestos. Estos triángulos configuran los paralelogramos ABCD, ABCE, ABCF. Claramente AE
= AF, CD = CE y BD = BF. Es decir A, B, C son los puntos medios de los lados de DEF. Por
tanto las alturas del ABC, son las mediatrices del EFD y como ya probamos que estas concurren
entonces queda probado que las alturas también. El punto H, es el Ortocentro del ABC y, al
mismo tiempo, es el circuncentro del EFD.
Definición de
Paralela media
“La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama
paralela media, es paralela al tercer lado y el segmento de recta que une ambos
puntos medios es la mitad del lado al que es paralelo.”
Recíprocamente la paralela a un lado desde el punto medio de otro lado intersecta al tercero en su punto medio.
DEMOSTRACION. En las notaciones de la figura queremos decir que sí AD = DB y AE = EC, entonces DE || BC y BC = 2DE.
En efecto si A’, B’, C’ son las proyecciones ortogonales de A, B, C sobre la recta DE, BCC’B’
es un rectángulo por lo cual DE || BC. Las congruencias de los triángulos ADA’, BDB’ y de
AEA’ y CEC’, aseguran la identidad:
BC = B’C’ = B’D + DA’ + A’E + EC’ = 2DA’ + 2 A’E = 2DE
Por otra parte, si D’ y E’ son las proyecciones de D y E sobre el lado BC, la congruencia de los
triángulos A A’D y BB’D, por una parte, y de AA’E y EE’C entraña la igualdad AE = EC.
Medianas de un Triángulo
Definición de Mediana.
“Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por un vértice y por el punto medio de su
lado opuesto”
Las medianas AA’, BB’, CC’ concurren a un punto, el "centro de gravedad" del triángulo, que
notaremos por G y que se denomina Baricentro.
Demostración:
En la figura (a) BB’ y CC’ se cortan en I, si D, E son los puntos medios de BI, CI, del
Teorema 3, se infiere que DEB’C’ es un paralelogramo. Del Ejercicio 1 se sigue que
BD = DI = IB’. Análogamente en la figura (b) BB’ y AA’ se intersectan en J y si K, L son
los puntos medios de AJ y BJ, KLA’B’ es un paralelogramo y BL = LJ = JB’, es decir,
BL =BB’/3 = BD, por lo tanto L = D, y J = I = G.
Bisectrices de un Triángulo
Definición: “Las bisectrices de un triángulo don rectas formadas por puntos que
equidistan de los lados de cada ángulo interior del triángulo”
Las bisectrices en un triángulo son concurrentes, además, este punto de
concurrencia equidista de los tres lados de dicho triángulo.
Demostración:
Sea el triángulo
los
y sea
ángulos
el punto de intersección de las bisectrices internas de
<ABC
y
<ACB
1. Hay que demostrar que que las distancias de
a
,
a
y
a
,
son iguales.
Parte 2:
Si
es perpendicular a
con
y
,
perpendicular a
bisectrices de
Sean los triángulos
y
perpendicular a
,
entonces hay que demostrar que:
y
. Por hipótesis
.
Además, son triángulos rectángulos, entonces por suma de ángulos:
Dado que estos dos triángulos comparten
, se tiene por el
1º criterio de igualdad de
triángulos, se tiene que
.
de donde se sigue que
Análogamente,
entonces,
De lo anterior se
Tiene que:
y por tanto O equidista de los lados del <BAC, por lo
que la bisectriz de este ángulo pasa por O.
Criterios de igualdad de triángulos
Pimer criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado
respectivamente iguales, son iguales.
Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales, son iguales.
Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales,
son iguales.
Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado
mayor respectivamente iguales, son iguales.
Propiedad:
“En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente”
Apoyo el compás en A, abro hasta B.
Giro hasta cortar en D, al lado AC.
Por construcción, el ABD es
isósceles, de base BD, por tanto los
ángulos ε y ε 1 son iguales. Como
D es interior al lado AC => se
cumple que β > ε y como ε 1 es
externo del BDC, entonces por el
teorema del ángulo exterior, es ε 1 > γ , por último por transitiva de las desigualdades se
tiene que β > γ . C.q.p.
Para la proposición recíproca, es decir para la proposición que afirma que si β > γ ,
entonces el lado AC > AB, razonamos por el absurdo. Supongo inicialmente que AC ≤
AB y sea primera la hipótesis de la igualdad. Es decir supongo que AC = AB, pero
entonces el triángulo ABC sería isósceles de base BC, por lo que los ángulos en la base,
β y γ deben ser iguales lo que es absurdo pues sabemos que β > γ .
Sea ahora la hipótesis de AC < AB, pero entonces por la proposición Directa deben
estar los ángulos opuestos, a estos lados, en la misma relación de desigualdad. O sea,
debería ser β < γ , lo cual por hipótesis, es también falso. Por tanto si es absurdo que
AC = AB y también es falso que AC < AB, entonces resulta probado que AC > AB.
C.q.p.
Propiedad:
“En todo triángulo un lado es siempre ≤ que la suma de los otros 2”
Demostración:
Vamos a probar que AC ≤ AB + BC . Para ello hacemos centro en B, abrimos hasta C
y giramos hasta corta a la recta AB en el punto D. Por construcción será entonces el
triángulo BCD isósceles, de base BD. Por tanto sus ángulos en la base son iguales, así
que ε = ε 1.El ángulo ACD = γ + ε , por lo tanto vale que ACD > ε = ε 1, entonces en
el triángulo ACD, se cumple por la propiedad anterior, que AC < AD = AB + BD, pero
como por construcción BD = BC, queda probada la desigualdad inicial llamada
desigualdad triangular.