9. LA LUZ EN LOS MEDIOS ABSORBENTES

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
9. LA LUZ EN LOS MEDIOS ABSORBENTES
9.1. Medios absorbentes
Las substancias transparentes (dieléctricas) son aquellas que,
desde un punto de vista óptico, pueden ser estudiadas a partir del
análisis de la luz que atraviesa una lámina de aproximadamente 30µm
de espesor. Hay otras substancias que no son suficientemente
transparentes para ser analizadas de este modo, porque una lámina de
30µm no deja pasar suficiente luz a su través: son los denominados
medios
opacos,
aunque
parece
preferible
la
denominación
absorbentes. En general, se corresponden con los materiales
conductores de la electricidad, o al menos, con aquellos en que la
conductividad eléctrica adquiere valores significativos. La división
entre transparentes y absorbentes de basa en la potencial aplicación de
un procedimiento experimental u otro para su estudio y, de hecho, es
una división un tanto artificiosa, sobre todo porque existe una amplia
gama de compuestos de propiedades intermedias, en los que una
lámina de 30 µm deja pasar algo de luz.
En realidad, no es posible afirmar que unos (los absorbentes)
absorben la luz y los otros (los transparentes), no. Los minerales
coloreados absorben parte de las radiaciones del espectro visible y
dejan pasar las otras en mayor o menor proporción. Sin embargo, si
dejan pasar suficiente luz para ser estudiados por transmisión, se dirá
que son “transparentes”. A nadie se le ocurriría decir que los
piroxenos, anfíboles, granates o micas son minerales opacos, a pesar
de presentar cierta absorción para algunas de las frecuencias del
visible.
Existe
una
teoría
óptica
general
para
explicar
el
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comportamiento de los compuestos absorbentes, según la cual los
“menos absorbentes” pueden ser considerados un caso particular en
que la absorción puede llegar a ser nula para ciertas frecuencias. En
el capítulo anterior, al estudiar la dispersión de la velocidad de
propagación de la luz en los medios transparentes, se dedujo la
existencia de zonas del espectro para las cuales apenas hay absorción,
separadas por otras (las llamadas anómalas) en las que cierta
frecuencia es fuertemente absorbida. Por tanto, el concepto de
“transparente” o “absorbente” depende, entre otras cosas, de la
frecuencia aunque, en general, se aplica a la franja visible del
espectro.
En cualquier caso, que las substancias denominadas
absorbentes no pueden ser estudiadas por transmisión y, por tanto, hay
que analizarlas mediante el estudio óptico por reflexión sobre una
superficie pulida. En consecuencia, se requiere una teoría óptica que
sirva de base para este tipo de estudio.
9.2. Propiedades ópticas de los medios conductores
Los metales no son los únicos medios absorbentes, la
experiencia diaria sugiere que muchos sulfuros y óxidos son opacos
y brillan (reflejan la luz) como los metales. Sin embargo, los
compuestos típicamente absorbentes y, que en general, lo son para
todo el rango de frecuencias del espectro visible, son los metales y el
estudio de sus propiedades permite interpretar las de otros cristales
absorbentes de comportamiento algo más “anómalo”.
Los materiales conductores tienen cargas eléctricas libres
(electrones no ligados a un espacio limitado, como ocurre en los
cristales covalentes, por ejemplo) que son capaces de circular en
presencia de una diferencia de potencial creada por un campo
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eléctrico externo. En los metales, estas cargas son electrones de
enlace delocalizados, y en ellos la intensidad de corriente eléctrica y
el campo eléctrico E que la provoca se relacionan mediante la
conductividad eléctrica σ. El valor de esta propiedad es cero en los
medios dieléctricos, mientras que en un conductor perfecto valdría
infinito.
En lo que concierne a la interacción de los electrones con una
onda electromagnética, a partir de esta hipótesis podemos considerar
que los electrones convertidos en osciladores por una onda harmónica,
siguen las oscilaciones del campo eléctrico sin que exista una “fuerza
de restauración”, ni rozamiento alguno, que implique pérdida de
energía. En estas condiciones, la luz no sería absorbida, sino
simplemente reemitida por los electrones convertidos en osciladores.
En los conductores reales, los electrones de conducción
colisionan entre sí, o interaccionan con la red cristalina sometida a
vibraciones térmicas, o con imperfecciones del cristal. Por tanto, parte
de la energía aportada por la onda luminosa incidente se convierte,
irremisiblemente, en calor (ley de Joule), lo que implica la absorción
parcial de la luz y, por lo tanto, que no es reeemitida en su totalidad.
La onda que penetra en un medio conductor convierte parte de
su elergía en calor y su amplitud se ve atenuada. En estas condiciones,
el índice de refracción es un número complejo
n = nr − ini
La ecuación de la onda que se propaga sobre el eje x es
 t x
E = E0 cos 2π  −  , donde incorporando n queda,
T λ
nx 

E = E0 cosω  t −


c
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Substituyendo n por su expresión compleja, y aplicando la ley
de Moivre
− ω n x c ) iω ( t − n x c )
(
E = E 0e
e
,
i
E = E0e
r
(
( − ωn x c ) cosω t − n x
r
c
i
es decir
)
ésta es la ecuación de una onda que avanza en la dirección +x a una
velocidad c n (n r es la parte real del índice de refracción) y que es
r
amortiguada según la expresión
E = E0 e
− ω ni x c
,
donde n i es la parte imaginaria del índice de refracción,
y como ω = 2π T y c = λ T , substituyendo en la anterior expresión
E = E0 e
− 2π ni x λ
Donde la constante característica del medio es n i, y la parte imaginaria
de la expresión general del índice de refracción, que se denomina
coeficiente de absorción k, de modo que la expresión del índice de
refracción se puede reescribir como
n = nr − ik
En estos medios, la parte real del índice de refracción n r no
representa la velocidad del tren de ondas en el interior del medio, sino
la velocidad de la fase dentro del tren de ondas y ésta puede ser
superior a c, lo cual implica que n r puede ser menor que la unidad.
En términos de intensidad, la expresión de la absorción de una
onda que ha atravesado un espesor x de un medio, teniendo en cuenta
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que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, se puede
escribir del siguiente modo
I = I 0e
− 4π ni x λ
Todas las ecuaciones deducidas en este apartado son de
aplicación a medios absorbentes y los medios transparentes son una
caso particular en el que k=0. En éstos, el término que representa la
amortiguación de la amplitud de la onda está elevado a cero, lo que
equivale a la unidad. Es decir, la onda no es absorbida. Y de igual
modo, la expresión general del índice de refracción es aplicable a
medios transparentes, donde k=0, y el índice sólo tiene parte real.
Es posible deducir estas mismas expresiones de una manera más
intuitiva, como se verá a continuación
9.3. Absorción de la luz
Imaginemos que la luz penetra en un medio absorbente, que se
puede suponerse dividido en finísimas láminas de idéntico espesor. La
amplitud inicial E 0 disminuye progresivamente al ir atravesando la
primera de las laminillas, y luego la segunda, y la tercera... Si cada
lámina tiene un espesor infinitesimal, para una determinada longitud
de onda λ 0, la reducción de la amplitud es un factor exponencial
E
= e− µx
E0
donde E es la amplitud de la onda tras atravesar un espesor x y µ una
constante del medio
Es mejor adoptar la unidad de absorción en una única
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revolución de la luz, es decir 2π λ (o 2π λ
0
si se considera la
longitud de onda en el interior del medio, ( λ = nλ0 ). Por lo tanto, la
expresión anterior queda como la que ya se había deducido antes
E
−2πk x λ
0
=e
,o
E0
− 2 πκ x λ
E
=e
E0
donde
k es el coeficiente de absorción, y κ (kappa) el índice de absorción (k
= nκ)
Y como la intensidad es proporcional al cuadrado de la
amplitud, la expresión se convierte en una idéntica a la deducida
anteriormente
T=
I
− 4 πk x λ
0
=e
I0
en la que T es la transmitancia interna de un espesor x del medio
Se puede definir la profundidad de penetración (o piel) como
el espesor que ocasiona una disminución de la intensidad equivalente
a e -1=1/2.7, aproximadamente un tercio. En cierta medida, la
profundidad de penetración representa una valoración de la capacidad
absorbente de un medio.
Para un dieléctrico (k=0) la profundidad de penetración es
infinita, en cualquier caso, muy grande en relación a la unidad de
medición (la longitud de onda de la luz que lo atraviesa). Pero para los
metales, este parámetro es muy pequeño. Por ejemplo, el cobre tiene
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una profundidad de penetración de unos 0.6nm para el ultravioleta
(λ=100nm), y alcanza los 6nm para el infrarojo (λ=10µm), lo cual
sugiere que el coeficiente de absorción presenta una dispersión
significativa a lo largo del espectro electromagnético. Ésta es el
motivo de que los metales sean opacos: su profundidad de penetración
es, generalmente, inferior a una micra.
Por otra parte, el brillo característico de los metales y los
conductores en general (su elevada reflectancia), se debe a que la luz
apenas penetra en el medio y pocos son los electrones que llegan a ser
“tocados” por la radiación. Y a pesar de que cada uno de ellos disipa
calor, la realidad es que una fracción muy pequeña de la energía
luminosa se convierte en calor.
En cambio, gran parte de la energía incidente reaparece como
una onda reflejada debida a la reemisión causada por los
electrones libres de la banda de conducción. Ésta es
prácticamente
una
banda
contínua
de
energías
permitidas y los electrones de esta banda pueden
absorber
cualquier
energía
de
la
radiación
electromagnética (especialmente del espectro visible) y
reemitirla cuando vuelven al estado de reposo. Casi
todos los saltos energéticos son posibles en el rango de
energías del visible, porque se trata de una banda
contínua de energías y los electrones son libres de
oscilar, con mucha mayor libertad que si estuvieran
confinados en orbitales de energías definidas.
Según este modelo simple del comportamiento
de los metales y los conductores en general, éstos
Figure 1 Curvas de dispersión de la reflectancia
en inmersión en aire y aceite, y del índice de
refracción y coeficiente de absorción de la plata
tendrían una reflectancia elevada para todas las
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frecuencias del espectro, lo que es más o menos cierto para las
frecuencias del visible. Por esta razón muchos metales, óxidos y
sulfuros tienen un brillo “plateado”, de color blanco, porque como se
ha descrito la totalidad del espectro visible es reemitido.
No obstante, no es así para frecuencias elevadas. Por ejemplo
la plata tiene una reflectancia elevada para la totalidad del espectro
visible, pero los valores de reflectancia son muy bajos para algunas
frecuencias del ultravioleta cercano.
La explicación basada en la teoría cuántica es compleja, sin
embargo, como en el caso de los materiales dieléctricos, se puede
intentar una aproximación intuitiva.
9.4. Dispersión
La realidad muestra que los valores de la reflectancia no son
iguales para la totalidad de frecuencias del espectro visible, aun
siendo éste el comportamiento teórico previsto en el modelo expuesto
más arriba. Metales como el oro o el cobre no son de color blanco y
son muchos los sulfuros y óxidos (los minerales mayoritariamente
opacos) que presentan un color distinto del blanco.
Se puede aproximar el comportamiento de los medios opacos
imaginando que un conductor es un conjunto de osciladores, algunos
de los cuales corresponden a electrones libres y otros a electrones
vinculados a los átomos. En este modelo simple, se puede admitir que
los electrones libres pueden oscilar libremente, sin fuerza alguna que
lo impida, mientras que los otros se comportan como en los medios
dieléctricos. Son los electrones libres los que contribuyen
mayoritariamente a las propiedades ópticas de los medios
conductores, porque son los que oscilan en la banda de conducción y
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pocos de los electrones asociados a átomos son “tocados” por la
radiación electromagnética incidente.
Como se ha dicho anteriormente, este modelo podrá explicar
las propiedades ópticas de cualquier medio. Los dieléctricos,
simplemente, no tienen electrones libres y toda la contribución la
aportan los electrones de enlace vinculados a los átomos.
El desplazamiento de un electrón vibrando es
qe
x (t ) =
me
E (t )
(ω − ω 2 )
2
0
donde q e y m e son la carga y la masa del electrón, respectivamente
E el campo eléctrico aplicado,
ω0 la frecuencia natural de vibración
ω la frecuencia a la que vibra tras someterse al campo eléctrico E
los electrones de enlace vibran a la frecuencia ω0 sin estar sometidos
a campo eléctrico alguno y para los electrones libres no vinculados a
un enlace concreto, ω0 adquiere el valor cero. Ésto implica que, para
los electrones libres, el desplazamiento x(t) es opuesto al campo E(t)
y la onda que producen tiene un desfase de 180º respecto de la
incidente E(t). Ocurre al revés que en el caso de los medios
dieléctricos en que los electrones oscilan en fase con la luz incidente.
Asumiendo que la fuerza ejercida sobre un electrón es el campo
eléctrico aplicado E(t) y extendiendo la ecuación de la dispersión
desarrollada en el capítulo 2,
Nqe2
n (ω ) = 1 +
ε 0me
2

fe
+

2
 − ω + iγ eω
∑
j


ω 02 j − ω 2 + iγ jω 
fj
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en que n es el índice de refracción y N el número de átomos por unidad
de volumen. El primer sumando entre corchetes es la contribución de
los electrones libres f e, mientras que el segundo es la de los electrones
de enlace.
Si existe cierta absorción selectiva por parte de los electrones
de enlace, además de la absorción propia de los electrones libres, la
luz reflejada por el conductor adquiere determinado color. Un medio
fuertemente absorbente para determinado rango de frecuencias, lo que
realmente hace es reflejar selectivamente. Es decir, mayor absorción
de cierta frecuencia, implica mayor reflexión de ésta. El cobre es
rojizo porque el valor coeficiente de absorción k se incrementa con la
longitud de onda y en el visible, las longitudes de onda largas (rojo)
son más fuertemente reflejadas.
Se
puede
hacer
una
aproximación
al
comportamiento óptico de los medios conductores a
partir de la ecuación anterior, haciendo algunas
suposiciones genéricas: a) despreciar la intervención de
los electrones de enlace f j; porque pocos de ellos
intervienen en la interacción con la luz; y
b)
suponer
que,
amortiguamiento
para
de
frecuencias
los
electrones
grandes,
el
libres
es
prácticamente nulo (γ e=0) porque a frecuencias muy
altas, los electrones pueden llegar a efectuar un gran
número de oscilaciones entre cada colisión con otros
electrones o núcleos que las amortigüen.
La ecuación queda simplificada de la siguiente manera
Nqe2
n (ω ) = 1 −
ε 0meω 2
2
Figure 2 Curvas de dispersión de la reflectancia
en inmersión en aire y aceite, y del índice de
refracción y coeficiente de absorción del cobre.
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Los electrones libres de un conductor pueden ser imaginados
como un plasma cuya densidad oscila a una frecuencia natural ωp
(frecuencia de plasma), que se puede demostrar que vale
 Nqe2 
ωp = 

 ε 0me 
1
2
con lo que la ecuación que expresa la dispersión de n, queda
 ωp 
n (ω ) = 1 − 

 ω 
2
2
la frecuencia de plasma es un valor crítico, por debajo del cual el
índice de refracción es un número complejo y la onda incidente es
amortiguada exponencialmente, mientras que para frecuencias
superiores a la de plasma, n es real, la absorción pequeña y el medio
transparente. Por esto muchos metales son ligeramente transparentes
a radiaciones de alta frecuencia, como los rayos X
Por ejemplo: la parte superior de la atmosfera está ionizada y
contiene cierta cantidad de electrones libres, como los metales, que
oscilan a cierta frecuencia (la de plasma). Por esto ciertas ondas de
radio son reflejadas por la ionosfera. Si se desea hablar por radio con
alguien en la Luna habrá que emplear frecuencias superiores a la de
plasma de la ionosfera para que ésta sea transparente a la radiación.
Por el contrario, es posible hablar por radio entre dos puntos de la
Tierra (que nunca están unidos por una recta debido a la curvatura de
la misma) utilizando un frecuencia baja (ondas cortas de radio) que se
refleje en la ionosfera.
9.5. Reflexión de la luz en medios absorbentes
-171-
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Para analizar la reflexión de la luz sobre una superficie de un
medio absorbente se puede hacer la misma aproximación que se hizo
para los medios dieléctricos, aunque aquí sólo se considerará la
reflexión. Se discutirá la intensidad de las componentes longitudinal
(p) y transversal (s), así como sus diferencias de fase para distintos
ángulos de incidencia entre 0º y 90º. En este caso se elude considerar
las relaciones de amplitud por su complejidad y se analizan
únicamente las intensidades de ambas componentes.
La Figura 3 muestra las curvas de
intensidad de la onda reflejada en relación a
los ángulos de incidencia para las
componentes s y p de la plata, del oro y del
diamante, para comparación con un medio
transparente. Las curvas corresponden a
una radiación monocromática, y serían
ligeramente distintas para otras
frecuencias o longitudes de onda.
Figure 3
En este caso, los respectivos
ángulos de Brewster de la plata y del oro
corresponden a los valores mínimos de
las
curvas
de
las
componentes
longitudinales, que no llegan a anularse
porque la diferencia de fase entre ambas
es de 90º, en lugar de 180º como ocurre
en el diamante, en que la componente p
llega a ser nula para el correspondiente
ángulo de Brewster (67º). El estado de
Figura 4. El estado de la fase de las componentes s y p de la plata se fase, así como la diferencia de fase entre
han representado en la figura, y la diferencia entre ellas se ha
las dos componentes, se observa en las
dibujado en color gris. Para el ángulo de Brewster, la diferencia entre
ambas es de 90º.
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curvas del estado de fase (Figura 4)
Se puede observar que el mínimo de intensidades de reflexión
de la componente longitudinal p es más bajo en el oro que en la plata.
Ésto se debe a que el coeficiente de absorción de la plata es mayor que
el del oro, y la diferencia sería todavía más acentuada si se tratara de
medios con coeficiente de absorción aún menor, de modo que, en los
medios dieléctricos, como el ejemplo del diamante, el valor mínimo
llega a ser cero.
Sobre la base de las curvas de la figura anterior es posible
deducir el estado de polarización de la onda reflejada para distintos
ángulos de incidencia.
- Para incidencia normal (i=0º) ambas componentes sufren un cambio
de fase de 180º, pero la diferencia de fase entre ellas se mantiene a
180º, por lo que de la resultante es luz linealmente polarizada. La luz
reflejada está desfasa 180º respecto de la incidente, pero su estado de
polarización no ha variado.
- Para ángulos de incidencia pequeños, inferiores al ángulo de
Brewster ( 0 < i < i ) la diferencia de fase entre las dos componentes
es menor de 180º y, por tanto, la onda resultante está elípticamente
polarizada, con el eje mayor inclinado hacia la componente
transversal s porque ésta es mayor que la longitudinal p.
- Para la incidencia en el ángulo de Brewster ( i = i ) la componente
longitudinal p adquiere el valor mínimo y, como la diferencia de fase
entre ambas es de 90º, los ejes de la elipse resultante coinciden con las
direcciones de s y p.
- Cuando la incidencia ocurre en ángulos mayores que el de Brewster
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( i > i ), la componente p crece respecto del valor que tenía para el
caso anterior y la diferencia de fase entre componentes se mantiene
por debajo de 90º, con lo que la polarización de la onda resultante es
elíptica con el eje mayor inclinado hacia la componente s.
- Para el caso de incidencia rasante (i=90º), la diferencia de fase es
cero y, por tanto, no varía el estado de polarización de la luz
incidente.
9.6. Reflectancia
Para la incidencia normal (reflectancia) la ecuación de Fresnel
en los medios absorbentes se convierte en
(n − n1 )2 + k 2
R=
(n + n1 ) 2 + k 2
en la cual n y k son las constantes del medio (parte real del índice de
refracción y coeficiente de absorción, respectivamente) y n 1 es el
índice de refracción del medio en el que se produce la reflexión. Para
el caso del aire se puede considerar la unidad.
Esta expresión general de la ecuación de Fresnel es aplicable
a los medios dieléctricos en los que el coeficiente de absorción es
nulo, o prácticamente nulo. Para valores muy bajos, también lo es la
contribución de k porque la segunda potencia significa, muy a
menudo, un valor insignificante.
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