Taller 3 - Universidad de Talca

Universidad de Talca
Taller de Matemática, año 2000
Estudiantes de Enseñanza Media
Taller 3
Profesores:
Claudio del Pino, Cristian Mardones
Conceptos básicos de los enteros.
Al dividir 132 entre 7 se obtiene un cuociente 19 y un resto 2. Lo anterior se puede
expresar como 132=7· 19 +2 y significa que 7 no es divisor de 132, o bien, 132 no es
múltiplo de 7.
Definición: Sean a y b números enteros, a distinto de 0. a es divisor de b, si y sólo si,
existe c en Z tal que a• c = b
Nota. Se dice: "a es divisor de b", o bien, "a es factor de b", ó, "b es múltiplo de a".
Ejemplo: 3 es divisor de 132; −4 es divisor de 24;
7 no es divisor de 132.
Algoritmo de la División en Z:
Sean a y b números enteros, siendo a > 0. Existen
únicos enteros q y r tal que: b = a·q + r y 0 ≤ r < a.
El entero q se denomina cuociente, y r se llama resto.
Ejemplo: Como 23 = 6· 3 + 5, se tiene que, al dividir 23 por el entero 6, se obtiene:
cuociente 3 y resto 5.
Nota:
1. a es un divisor de b, si y sólo si, al dividir b por el entero a se obtiene resto cero.
Ejemplos: 3 es divisor de 21; 6 es divisor de (−18); −6 es divisor de 30;
6 no es factor de 15
2. Sean a y b números enteros distintos de 0 tal que a es un divisor de b. Se tiene que:
a también es un divisor de (−b); (−a) es un divisor de b, y, (−a) es un divisor de
(−b).
3. Considerando (2), se trabajará sólo con enteros positivos.
Ejercicios propuestos.
1. Si el resto de dividir un entero a por 11 es 3 ¿Cuál es el resto de dividir a+5 por 11?, ¿
y el resto de dividir a + 9 por 11?
2. Sea A el conjunto de todos los números enteros menores que 1400.
i) ¿Cuál es el mayor elemento de A que es múltiplo de 12?;
ii) ¿Cuántos elementos de A son múltiplos de 12?. ¿Cuántos son múltiplos de 12 y de
15?
3. ¿Cuál es el mayor entero positivo k que hay que sumar 601, tal que al dividir 601+k
por 57, se obtiene el mismo cuociente que al dividir 601 por 57?
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4. Sean m, n números enteros tales que: el resto de dividir m por 14 es 11, y el resto de
dividir n por 21 es 8. Determinar: a) el resto de dividir 2m por 11, b) el resto de
dividir n+m por 7, c) el resto de dividir n−3m por 21 y c) el resto de dividir
n−3m por 7?.
Definición. Sea p un entero positivo distinto de 1. "p es un número primo" si y sólo si,
los únicos divisores positivos de p son 1 y p mismo.
Sea A={1, 2, 3, ... , 200}. ¿Cuántos números primos de la forma 3x+1 hay en el conjunto
A?
Nota. Un número entero positivo m distinto de 1 que no es primo, se llama número
compuesto.
Dos proposiciones importantes:
1. Sea m entero positivo distinto de 1.
• "m es compuesto" si y sólo si, existe un divisor d de m, tal que 1<d<m
• "m es compuesto" si y sólo si, existen enteros positivos a, b tal que
siendo 1<a<b.
2. Existen infinitos números primos positivos.
m = a·b,
Teorema Fundamental de la Aritmética
Dado un entero positivo a distinto de 1. Existen únicos números primos p1, p2 ,...., pt tal
(*)
que: a = p1 · p2 · ... · pt considerando p1≤ p2 ≤ .... ≤ pt
Nota: Cada factor primo que se repite en la factorización (*), se agrupa en una potencia de
ese primo.
Ejemplo:
72 = 2· 2·2·3·3 = 23 · 32
y
64 = 2·2·2·2·2·2 = 26
Ejercicios.
1
2
3
4
5
Determine la factorización completa del número n = 102· 63 .
Sean m = 792 y n= 1176. Determine la factorización de los siguientes enteros:
m, n, m·n, m2·n, m2·n2.
Factorizar el número m = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9· 10
¿Cuál es la máxima potencia de 5 que divide a 20! ? (20! = 1·2·3· .. ·20 )
Determine n2 +1, para n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, y ¿cuáles de los números enteros
obtenidos, son primos?.
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Problemas Propuestos
Problema 1. Contando ...
¿Cuántos de los siguientes números son múltiplos de 60:
1 ⋅ 84, 2 ⋅ 84, 3 ⋅ 84, K, 60 ⋅ 84 ?
Problema 2. Con papel cuadriculado
En una hoja cuadriculada se construye un rectángulo de 154 por 198
cuadraditos.
¿Cuántos vértices de los cuadraditos quedan en las
diagonales del rectángulo?
Problema 3. Cortando una tira de papel
Una tira larga de papel se corta en 6 pedazos. De los pedazos que se obtienen, se lo puede
cortar en seis partes o dejarlo entero. La decisión de si un determinado pedazo debe cortarse
o no, se realiza en forma arbitraria. ¿Será posible obtener exactamente 2000 pedazos de
papel realizando el procedimiento anterior una determinada cantidad de veces?
Problema 4. Otro problemita con papel cuadriculado
Una hoja cuadrada cuadriculada se corta siguiendo una de
las líneas, quedando formados dos rectángulos. Si el
rectángulo mayor tiene en total 60 cuadraditos más que
el rectángulo menor.
Determine las posibles dimensiones de la hoja original
(medida en cuadraditos) e indique como se corta la hoja.
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