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Mecánica de Fluidos
Tema 2
H I D R O S TAT I C A
Estática de fluidos
Presión
La presión se define como una fuerza por unidad de superficie.
Por ejemplo un sólido apoyado sobre una superficie ejerce una presión igual al peso sobre el área d ela superficie de
contacto.
W
Area A
P=
W
A
P
Ecuación fundamental de la hidrostática
Esta es una expresión que permite determinar el campo de
presiones dentro de un fluido.
Consideremos un elemento diferencial (dm) de masa del fluido de
lados dx, dy, dz.
Como todo fluido, este elemento puede estar sometido a fuerzas
superficiales y fuerzas volumétricas:
• La única fuerza volumétrica que por lo general interesa en
los problemas de ingeniería es la debida a la gravedad o
peso propio:
z
dz
PL
r
r
r
r
dFB = gdm = gρdV = ρg dx dy dz
•
PR
y
dx
Al estar el fluido en reposo la única fuerza superficial a la
que está sometido es la debida a la presión, ya que no
x
dy
soporta fuerzas cortantes.
Luego ésta se puede expresar haciendo un desarrollo en
serie de Taylor alrededor del punto “O” (centro del elemento) para cada una de las caras del elemento. Así, si P
es la presión en el centro del elemento y se desprecian los términos de orden superior, para la cara izquierda:
PL = P +
∂P
(YL − y ) = P + ∂P ⎛⎜ − dy ⎞⎟ = P − ∂P dy
∂y
∂y ⎝ 2 ⎠
∂y 2
Y se pueden obtener expresiones similares para las demás caras del elemento, así para la cara derecha:
PR = P +
∂P
(YR − y ) = P + ∂P dy
∂y 2
∂y
Cada fuerza de presión es entonces el producto de tres factores:
• La magnitud de la presión (ecuación anterior)
• El área de la cara donde actúa la fuerza (para las caras izquierda y derecha será dxdz)
• El vector unitario correspondiente (para las caras izquierda j y derecha –j)
La ecuación para las fuerzas superficiales queda entonces como:
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Mecánica de Fluidos
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r ⎛
∂P dx ⎞
∂P dx ⎞
⎛
dFS = ⎜ P −
⎟(dydz )(i ) + ⎜ P +
⎟(dydz )(− i )
∂x 2 ⎠
∂x 2 ⎠
⎝
⎝
⎛
⎛
∂P dy ⎞
∂P dy ⎞
⎟⎟(dxdz )( j ) + ⎜⎜ P +
⎟(dxdz )(− j )
+ ⎜⎜ P −
∂y 2 ⎠
∂y 2 ⎟⎠
⎝
⎝
∂P dz ⎞
∂P dz ⎞
⎛
⎛
+⎜P −
⎟(dxdy )(k ) + ⎜ P +
⎟(dxdy )(− k )
∂z 2 ⎠
∂z 2 ⎠
⎝
⎝
Agrupando y cancelando términos obtenemos:
r
⎛ ∂P ∂P
∂P ⎞
dFS = −⎜⎜ i +
j+
k ⎟ dx dy dz = −∇P dx dy dz
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂
∂
∂⎞
+ j + k ⎟⎟ P se denomina gradiente de presión.
Donde ∇P = ⎜⎜ i
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
La fuerza total en el elemento será entonces:
r
r
r
r
dF = dFB + dFS = (ρg − ∇P ) dx dy dz
Que podemos expresar por unidad de volumen como:
r
r
r
dF
dF
=
= (ρg − ∇P )
dV dx dy dz
Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:
r
dF r
⇔
= aρ
dV
r
r
dF
Como el fluido está estático a = 0 , por lo tanto
=0
dV
Igualando las dos ecuaciones obtenemos:
r
ρg − ∇ P = 0
r r
dF = aρdV
Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes:
∂P
= 0 en dirección x
∂x
∂P
= 0 en dirección y
ρg y −
∂y
∂P
ρg z −
= 0 en dirección z
∂z
ρg x −
Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo)
entonces tendremos que:
∂P
=0
∂x
∂P
=0
∂y
∂P
= − ρg
∂z
Obtenemos así la ecuación fundamental de la hidrostática:
dP = − ρgdz
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Mecánica de Fluidos
Esta ecuación es válida bajo las condiciones siguientes:
1. Fluido en reposo
2. La única fuerza volumétrica es la gravedad
3. Eje z vertical hacia arriba
Si consideramos que el fluido es incompresible, lo cual se puede suponer para muchos casos prácticos, entonces se
puede integrar esta expresión entre el nivel de referencia z0 al cual corresponde una P0 y un nivel z al cual corresponde
una presión P:
Si
ρ
∫
P
P0
z
dP = − ∫ ρgdz
z0
y g son constantes:
P − P0 = − ρg (z − z 0 )
Y si llamamos h = ( z − z 0 ) , siendo h positiva de arriba hacia abajo tendremos:
P = P0 + ρgh
P0
h
P
Propiedades de la presión en un fluido
•
•
•
•
•
La presión en un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de Pascal)
La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la
misma.
La estática de los fluidos ideales no se diferencia de la estática de los fluidos reales.
La fuerza de presión en un fluido en reposo es siempre a compresión y jamás a tracción
La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.
Presión atmosférica
Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la superficie terrestre.
Se ha aceptado internacionalmente a la atmósfera estándar a nivel del mar (altitud 0 m) como:
T = 288 ºK
P = 101.3 KPa
En Mérida la presión es del orden de 85 KPa (alrededor de la facultad de Ingeniería), pero varía en función de la zona de
la ciudad debido a los cambios de altitud y condiciones climáticas.
Referencias de presión
Las presiones de pueden medir como presiones absolutas o relativas.
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Mecánica de Fluidos
Presión absoluta
La presión absoluta es la medida de la presión referida al cero absoluto (vacío total o ausencia total de materia)
Presión relativa
Las presiones relativas son las presiones referidas a otra presión. La presión de referencia más utilizada es la presión
atmosférica. Se tiene así diversas denominaciones de presión como:
Presión manométrica
Es la presión referida a la `presión atmosférica.
Presión de vacío
Es la presión referida a la presión atmosférica pero por debajo de ella.
Presión diferencial
Es la diferencia entre dos presiones cualesquiera
Presión atmosférica
Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la tierra. AS nivel del mar esta es de aproximadamente
760 mm de Hg , 14.7 psia o 100 KPa. En Merida que se encuentra a aproximadamente 1600 metros de altitud
esta es de aproximadamente 85 KPa.
Presión barométrica
Es la medida de la presión atmosférica la cual varía levemente con las condiciones climáticas.
P. diferencial
P2
P1
P. manométrica
P. atmosférica
P. absoluta
P. vacío
P. barométrica
P1
Vacío absoluto
Unidades de presión
Las unidades de presión expresan una unidad de fuerza sobre unidad de área. Las más usadas son Kg/cm2, psi
(lbf/pulg2), Pascal (N/m2), bar, atmósfera, Torr (mm de columna de Hg).
La siguiente tabla resume los factores de conversión de las unidades de presión más comunes.
Pulg
Bar
Atmósfera
Torr
Cm H2O
psi
Pa
Kg/cm2
Pulg Hg
H2O
1
6896.5
0.0703
0.0689
0.0680
51.715
70.31
27.68
2.036
psi
0.000145
1
0.00001019
0.00001
0.00000987
0.0075
0.01
0.0039
0.00029
Pa
14.22
98067
1
0.9807
0.9678
735.58
1000
393.7
28.96
Kg/cm2
14.50
100000
1.019
1
0.9869
750.062
1024
401.46
29.53
Bar
14.70
101325
1.0332
1.01325
1
760
1033
406.78
29.92
Atmósfera
0.01934
133.32
0.001359
0.00133
0.001316
1
1.359
0.5352
0.0394
Torr
0.0142
100
0.0010
0.0009
0.00096
0.7356
1
0.3937
0.0289
Cm H2O
0.0361
254.6
0.00254
0.00249
0.00246
1.8683
2.540
1
0.07355
Pulg H2O
0.4912
3386
0.0345
0.0333
0.0334
25.40
34.53
13.6
1
Pulg Hg
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Mecánica de Fluidos
Ejercicios.
Ejercicio 1
A través de los tubos A y B, vistos en corte en la figura, fluye agua. En el tubo en forma de U invertida se tiene aceite
con una densidad relativa de 0.8. En los otros dos segmentos del manómetro se tiene mercurio con una densidad relativa
de 13.6. Determine la diferencia de presión entre los tubos A y B en lbf/pulg2.
H2O
A
B
Aceite
8”
4”
10”
3”
5”
4”
Hg
Ejercicio 2
El manómetro de depósito de la figura
tiene un tubo de diámetro 10 mm y un
depósito de diámetro 32 mm. El líquido
manométrico es aceite rojo merian con
DR=0.827. Determine el desplazamiento
de líquido en el tubo del manómetro por
cada milímetro de agua de presión
diferencial aplicada.
d
D
h
Nivel de líquido en
equilibrio
H
Ejercicio 3
El
manómetro
inclinado
mostrado en la figura tiene un
depósito con diámetro D = 90
mm y un tubo medidor con
diámetro d=6 mm. El fluido
manométrico es aceite rojo
merian con DR=0.827. La
longitud del tubo medidor es 0.6
m y posee un angulo θ = 30º.
Determinar la presión máxima
en Pa que puede medirse con
este manómetro.
d
P1
h
D
Línea de
cero
H
θ
L
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P2
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Mecánica de Fluidos
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas
La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de:
1. La magnitud de la fuerza.
2. La dirección de la fuerza.
3. La línea de acción de la fuerza.
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas
Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta está bajo la presión de un
líquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada.
z
dA
h
θ
x
dF
FR
dy
y
y
dA
Cg
y
Cp
y'
x'
Cp: centro de presión
Cg: centroide
x , y : coordenadas del
centroide de la placa
x' , y ' : coordenadas del centro
de presión de la placa.
y : coordenada del elemento
diferencial de presión
θ : ángulo de la placa con el
eje vertical
h : altura desde la superficie
libre la elemento diferencial
FR : fuerza resultante
x
y
Como ya se dijo la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier superficie en el fluido.
dF = PdA
La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:
FR = ∫ PdA
A
Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la altura viene dada por:
h
P = P0 + ∫ ρgdh = P0 + ρgh = P0 + γh
0
Si se usan presiones manométricas, en general P0 es cero, luego:
P = γh
Y como la geometría de la placa se expresa en función de x e y, h se puede expresar como:
h = y sin θ
En este caso la ecuación de la fuerza será:
FR = γ ∫ hdA = γ sin θ ∫ y dA
A
A
La distancia a un centroide se define como:
y=
1
ydA
A ∫A
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Mecánica de Fluidos
Por lo tanto la fuerza se puede expresar como:
FR = γ sin θ yA = γ h A
Donde h es la distancia vertical desde la superficie libre hasta el centroide del área.
El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual
al momento de la fuerza distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del punto de aplicación de la
fuerza resultante a x’, y’.
El valor de la coordenada y’ se puede obtener igualando momentos alrededor del eje x, siendo este horizontal:
y ' FR = ∫ yPdA
A
Luego la coordenada y’ será:
y' =
1
FR
∫
A
yPdA =
1
1
y (γ y sin θ )dA =
y 2 dA
∫
∫
A
A
γ sin θ y A
yA
Donde el momento de inercia del área A se define como:
I x = ∫ y 2 dA
A
Este momento de inercia se puede determinar a partir del momento de inercia respecto al centroide con la ayuda del
teorema de transferencia de ejes paralelos:
I x = I + Ay 2
Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada y’ obtenemos:
y' =
I + Ay 2
I
=
+y
yA
yA
Y el valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos alrededor del eje y:
x' FR = ∫ xPdA
A
Luego la coordenada y’ será:
x' =
1
1
1
xPdA =
x(γ y sin θ )dA =
xydA
∫
∫
FR A
y A ∫A
γ sin θ y A A
Donde el producto de inercia del área A se define como:
I xy = ∫ xydA
A
Utilizando el teorema de transferencia para el producto de inercia:
I xy = I xy + Ax y
Obtenemos:
x' =
I xy + Ax y
yA
=
I xy
yA
+x
Nótese que si la superficie tiene un área simétrica x’ coincide con
x.
En resumen tenemos que:
1. La magnitud de la fuerza esta dada por la ecuación:
FR = γ h A
2.
3.
La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie.
La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto (x’, y’), cuyas coordenadas se obtienen con las
expresiones:
x' =
I xy
yA
+ x;
y' =
I
+y
yA
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Mecánica de Fluidos
Propiedades de superficies planas
Figura
Rectángulo
Centroide
h
y
Momento de
Inercia
Area
y=
h
2
A = bh
y=
h
3
A=
I=
bh 3
12
b
Triángulo
h
y
bh
2
bh 3
36
I=
b
d
y
Círculo
Semicírculo
r
r
y
y=r
y=
4r
3π
A=
A=
2r
2b
Elipse
y
y =b
πd 2
I=
4
πd 2
8
A = πab
πd 4
64
πd 4
Ix =
I=
128
πab 3
4
2a
Semielipse
b
y
y=
4b
3π
A=
πab
2
2a
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Ix =
πab 3
8
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Mecánica de Fluidos
Ejercicios.
Ejercicio 4
La superficie inclinada que se muestra en la figura, está articulada en el punto A y tiene 5 metros de ancho. Determine la
fuerza resultante, FR que ejerce el agua sobre ésta.
D = 2m
30º
L = 4m
4m
Ejercicio 5
Para el problema anterior se cambia la compuerta rectangular por una
compuerta trapezoidal, como se muestra en la figura. Determine la
fuerza resultante, FR que ejerce el agua sobre ésta.
5m
5m
Ejercicio 6
Un submarino se encuentra a 100 pies por debajo de la superficie del agua como se muestra en la figura. Determine la
fuerza F necesaria para abrir la escotilla circular, cuya forma es como se indica en la figura. Suponga la presión dentro
del submarino igual a la presión atmosférica.
100 pies
5 pies
30º
F
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Mecánica de Fluidos
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas
La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el
hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección
diferente.
Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un
eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la
superficie.
Componentes de la fuerza
Si se tiene la superficie mostrada en la figura.
z
FRz
z’
dAy
FR
dAx
FRy
dA
FRx
x’
y’
dAz
y
x
La fuerza de presión en este caso esta dada por:
dF = PdA
La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:
FR = ∫ PdA
A
Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:
FR = FRxi + FRy j + FRz k
Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente.
Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:
FRx = ∫ P cosθ x dA = ∫ PdAx
A
A
FRy = ∫ P cos θ y dA = ∫ PdAy
A
A
FRz = ∫ P cos θ z dA = ∫ PdAz
A
Donde
θx , θ y
y
A
θ z son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente.
Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y y z
respectivamente.
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Mecánica de Fluidos
Aquí se pueden diferenciar dos casos:
• Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de
las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales.
• La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se
encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre.
Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que P = γ h obtenemos lo
siguiente:
FRz = ∫ P cos θ z dA = γ ∫ h cos θ z dA =γ ∫ dV
A
A
V
Línea de acción de la fuerza
Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente,
utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de
la fuerza resultante debe ser igual al momentote la fuerza distribuida, respecto al mismo eje.
Así se tiene:
x' =
1
FRy + FRz
∫ xP(dA
y' =
1
FRx + FRz
∫
z' =
1
FRx + FRy
∫ zP(dA
y
A
A
+ dAz )
yP(dAx + dAz )
A
x
+ dAy )
Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones
Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso
de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie
curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no
existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.
La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz.
En este caso las componentes de la fuerza se expresan:
FRy = ∫ P cos θ y dA = ∫ PdAy
A
z
FR
FRy
FRz
z’
A
FRz = ∫ P cos θ z dA = ∫ PdAz
A
A
Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:
y' =
1
FRz
∫
yPdAz
z' =
1
FRy
∫
zPdAy =
Az
Ay
y
y’
1
xdV
V ∫V
Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura
constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de
barrido en la circunferencia, es decir:
dA
dA = WRdθ
Donde:
R: radio del cilindro
W: ancho de la superficie
θ : ángulo de barrido de la circunferencia.
De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración,
quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:
θ
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l
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Mecánica de Fluidos
θ2
Donde
θ
FRl = ∫ P cosθ dA = ∫ P cos θWRdθ
A
θ1
es el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.
Ejercicios.
Ejercicio 7
La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante de W
z
= 5 m. La ecuación que describe la superficie es x = y a donde
a = 4 m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta es 4
m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza
resultante debida al agua y la línea de acción de cada una.
2
x
10 pies
Ejercicio 8
El tanque abierto mostrado en la figura se llena con
agua hasta un nivel de 10 pies. Determine las
magnitudes y las líneas de acción de las componentes
vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce
el agua sobre la parte curva en el fondo del tanque.
10 pies
Radio 4 pies
12 pies
Ejercicio 9
La compuerta de la figura que tiene forma de cuarto de cilindro está
articulada en el punto A y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al
plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m por
debajo de la superficie del agua, determine:
a. Magnitudes de la fuerza horizontal y vertical
b. Líneas de acción de la fuerza.
A
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3m
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Mecánica de Fluidos
Flotación y estabilidad
Flotación
Se denomina flotación o fuerza de empuje a la fuerza que experimenta un cuerpo cuando se sumerge o flota sobre una
superficie, debido a la presión del líquido.
La expresión para determinar la fuerza de empuje puede encontrarse fácilmente utilizando las expresiones para fuerza
sobre superficies sumergidas. Consideremos el cuerpo de la siguiente figura que se encuentra sumergido.
P1dA
h2
h1
PA
dA
z
dV
P2 dA
y
x
Si suponemos que el cuerpo está formado por elementos de volumen de forma cilíndrica, se tendrá que la fuerza neta
aplicada sobre cada elemento cilíndrico será igual a la sumatoria de las fuerzas de presión aplicadas.
La fuerza horizontal es cero ya que al estar sometido a la misma presión por todos lados, la fuerza ejercida de un lado
contrarresta la del otro.
Para la fuerza vertical en cambio las presiones en la parte superior e inferior son diferentes por lo tanto existirá una
fuerza resultante que se puede determinar con la expresión:
dFZ = P2 dA − P1dA
Siendo la dirección positiva de z de abajo hacia arriba.
Como la presión en un fluido en reposo es igual a:
P = P0 + ρgh
Tendremos entonces:
dFZ = (P0 + ρgh2 )dA − (P0 + ρgh1 )dA
dFZ = ρg (h2 − h1 )dA
Resulta que:
(h2 − h1 )dA = dV
Donde dV es el diferencial de volumen del elemento cilíndrico.
Por lo tanto:
FZ = ∫ dFZ =ρg ∫ dV = ρgV
V
Por lo tanto deducimos que la fuerza de empuje, la cual permite flotar a algunos cuerpos, es igual al peso del volumen de
líquido desplazado, esto ultimo es conocido como el principio de Arquímedes, quien en el año 220 a.c. lo utilizo para
determinar si la corona del rey Hieron II estaba hecha de oro puro. Hoy en día este principio es utilizado para el diseño
de embarcaciones.
Este principio nos indica que un cuerpo flota si su peso es inferior al peso del volumen del líquido desalojado, si no es
así el cuerpo se hunde.
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Mecánica de Fluidos
Estabilidad
La estabilidad del cuerpo viene determinada por la línea de acción de la fuerza, la cual se puede determinar mediante el
procedimiento expuesto para superficies sumergidas.
Un cuerpo se encuentra en equilibrio estable cuando el par T (o momento) formado por el peso y la fuerza de flotación
tienden a reestablecer la posición del cuerpo. En el caso contrario la fuerza de flotación tenderá a voltear el cuerpo y por
lo tanto este será inestable.
En general se puede decir que un cuerpo es estable cuando su centro de gravedad se encuentra por debajo de la línea de
flotación, de lo contrario es inestable.
T
Cg
Cg
T
W
W
FZ
Estable
FZ
Inestable
Ejercicio 10
Un hydrómetro, como el mostrado en la figura, es un dispositivo para
medir la densidad relativa de un líquido. El valor de esa propiedad queda
indicado por el nivel donde la superficie libre interfecta el vástago del
dispositivo, cuando a éste se le permite flotar en el líquido.
1
h
El nivel 1 corresponde al agua destilada. Para el dispositivo mostrado en
la figura de 6 mm de diámetro el volumen sumergido en agua destilada
fue de 15 cm3.
D
Determine la distancia h desde el nivel 1 hasta la superficie cuando el
hidrómetro se coloca en una solución de ácido nítrico cuya densidad
relativa es 1.5.
Ácido nítrico
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Mecánica de Fluidos
Fluidos con movimiento de cuerpo rígido
Cuando un fluido se somete a un movimiento de cuerpo rígido (un vaso lleno de agua que se muevo, por ejemplo), este
se mueve sin deformarse como si se tratase de un sólido.
Al no haber deformación el único esfuerzo que actúa sobre el elemento es la presión.
Por lo tanto si este movimiento pose aceleración, entonces la variación de presión en el fluido ya no será solo función de
h por la gravedad, sino también función de la dirección de la aceleración al cual está sometido. Por lo tanto la superficie
libre del líquido ya no será un plano horizontal.
Recordemos que la presión en un fluido estático viene dada por la expresión:
r
r
dF
= ρg − ∇P
dV
Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:
r
dF r
= aρ
dV
Igualando las dos ecuaciones obtenemos:
r
r
ρg − ∇P = ρa
Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes:
∂P
= ρa x en dirección x
∂x
∂P
ρg y −
= ρa y en dirección y
∂y
∂P
ρg z −
= ρa z en dirección z
∂z
ρg x −
Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo)
entonces tendremos que:
∂P
= − ρa x
∂x
∂P
= − ρa y
∂y
∂P
= ρg z − ρa z
∂z
z
b
Aceleración lineal uniforme
Si se tiene un tanque con una aceleración lineal uniforme
como el mostrado en la figura:
En este caso para simplificar las expresiones se hace
coincidir la dirección de la aceleración con el plano xz, de
esta manera la presión en el fluido se podrá expresar con
solo dos componentes:
∂P
= − ρa x
∂x
∂P
= ρg z − ρa z
∂z
La diferencia de presión en el seno de un fluido es:
e
θ
az
a
ax
d
g
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x
16
Mecánica de Fluidos
dP =
∂P
∂P
dx +
dz
∂x
∂z
Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero:
∂P
∂P
dx +
dz = 0
∂x
∂z
Sustituyendo las expresiones para las derivadas, y tomando en cuanta que
− ρa x dx − ρ ( g + a z )dz = 0
g x = − g , tendremos:
La superficie libre queda definida por la expresión:
− ax
dz
=
dx g + a z
Esto muestra que la superficie libre será una recta inclinada, cuya pendiente está definida por:
− ax
z 2e
=
= tan θ =
x b
g + az
Rotación uniforme alrededor de un eje vertical
En este caso utilizaremos coordenadas polares para resolver
el problema.
Aquí el fluido se somete a una aceleración centrífuga, la cual
lleva la dirección radial hacia afuera y su expresión es:
aR = ω 2 R
Por lo tanto solo existe aceleración en la dirección radial R.
De esta manera la presión en el fluido se puede expresar con
solo dos componentes una radial y una vertical:
∂P
= ρa R
∂R
∂P
= ρg z
∂z
z
ω
b
e
d
Sustituyendo la expresión de la aceleración en función de la
velocidad angular nos queda:
∂P
= ρω 2 R
∂R
∂P
= ρg z
∂z
g
La diferencia de presión en el seno de un fluido se expresa en este caso como:
dP =
∂P
∂P
dR +
dz
∂R
∂z
Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero:
∂P
∂P
dR +
dz = 0
∂R
∂z
Sustituyendo las expresiones para las derivadas y tomando en cuanta que
g x = − g , tendremos:
ρω RdR − ρgdz = 0
2
Integrando a ambos lados obtenemos:
g ∫ dz = ω 2 ∫ RdR
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R
17
Mecánica de Fluidos
gz = ω 2
R2
2
La superficie libre queda definida por la expresión:
z=
ω 2R2
2g
Esta expresión representa una parábola en el plano zR lo que indica que la superficie libre será un paraboloide de
revolución.
Ejercicio 11
Una persona debe mudarse a otra localidad. De sus pertenencias, debe llevar consigo una pecera en la parte trasera d esu
vehículo. La pecera tiene forma de prisma rectangular de 12 por 24 por 12 pulgadas. Si suponemos que la aceleración
máxima que puede producir el vehículo es de 2/3 de g y que esta es horizontal. ¿Qué cantidad de agua debe colocar en la
pecera con el objeto de asegurar que el agua no se derrame durante el viaje?.
Ejercicio 12
El cilindro que se muestra en la figura gira alrededor de su línea central.
a. ¿Qué velocidad de rotación se requiere para que el agua apenas toque el origen O?
b. Calcule la presión en los puntos A y B.
NOTA: El volumen de un paraboloide de revolución es la mitad del de un cilindro con el mismo radio y altura.
z
R
B
ω
2 cm
10 cm
A
O
r
20 cm
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