Bifurcación vs. þ-bifurcación en teorías de primer orden

Bifurcación vs. þ-bifurcación en teorías de primer orden
Darío Alejandro García
Universidad de los Andes
Resumen
En esta charla se presentará el comportamiento de la bifurcación y la thorn-bifurcación
en algunas clases de teorías de primer orden: teorías estables, teorías dependientes y teorías
simples. En particular se plantearán casos en los cuales bifurcación coincide con thornbifurcación, y las posibles consecuencias de este fenómeno.
1.
Introducción
Una de las herramientas más poderosas que la teoría de modelos ofrece para el análisis de
estructuras tiene que ver con las nociones abstractas de “tamaño” y “dimensión”. Hasta hace poco
tiempo, era común colocar las nociones de “tamaño” y “dimensión” juntas, eso es, se suponía que
en un contexto dado la noción correcta de tamaño era aquella que proporcionaba una buena
noción de dimensión e independencia. Este acercamiento ha cambiado recientemente, cuando la
teoría de la medida ha jugado un papel importante en teoría de modelos, especialmente en el
análisis de conjuntos definibles en teorías o-minimales, y más generalmente, en teorías dependientes. En este caso, el uso de diferentes ideales de medida 0 arrojaba información importante
para el entendimiento de las estructuras.
La dos nociones más comunes para medir conjuntos “pequeños” en teoría de modelos son
bifurcación (también llamado forking, que captura la nociones de independencia “algebraica” en
teorías estables y simples, y recientemente se ha demostrado que corresponden a ciertos ideales
de medida 0) y thorn-bifurcación (þ-forking, que captura la noción de dimensión “topológica” o
“analítica” en teorías o-minimales.)
En teorías estables estas dos nociones coinciden y es un hecho que tiene consecuencias interesantes. Por ejemplo, en la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados, este resultados corresponde
en cierto sentido a la igualdad entre la dimensión analítica y la dimensión algebraica (dimensión
de Krull) en geometría algebraica.
De esta manera, una pregunta natural e interesante es la siguiente: bajo qué condiciones
bifurcación y þ-bifurcación coinciden, y qué tipo de consecuencias se pueden esperar de esto.
Adler probó en [1] que cualquier noción de independencia está ubicada entre bifurcación y
þ-bifurcación. Esto es, cualquier relación de independencia que satisfaga los axiomas expuestos
en [1] es implicada por la independencia dada por bifurcación, e implica la independencia dada por la þ-bifurcación. Así, una de las posibles aplicaciones de la equivalencia entre forking y
þ-forking es que si dos conjuntos son independientes bajo cualquier relación de independencia,
1
serían independientes bajo las relaciones dadas por la bifurcación y la þ-bifurcación.
En presencia de un orden definible, bifurcación y þ-bifurcación son muy diferentes. De esta
forma, si uno quiere estudiar situaciones en las cuales bifurcación y þ-bifurcación coinciden en
una teoría arbitraria, es necesario trabajar con objetos que estén lejos de tener órdenes definibles,
esto es, que presenten cierto tipo de comportamiento “estable”. De tal suerte, los primeros candidatos serían las teorías simples, y los tipos genéricamente estables.
2.
Resultados
Existen dos conjeturas sumamente fuertes en teorías simples: la primera es conocida como
la conjetura de forking estable, y establece que si una fórmula bifurca sobre un conjunto, dicha
bifurcación es atestiguada por una fórmula estable. La segunda es la eliminación de hiperimaginarios, y establece que cualquier teoría simple admite eliminación de hiperimaginarios.
En su tesis doctoral, el profesor Alf Onshuus probó que bifurcación era equivalente a þbifurcación en teorías estables, y que esto también se cumple en teorías simples que cumplen la
propiedad de forking estable (ver [4]). Trabajando en este mismo contexto, Ealy probó en [2] que
si una teoría simple admite eliminación de hiperimaginarios, entonces bifurcación y þ-bifurcación
son equivalentes.
Es claro que en cualquier teoría que tenga un orden lineal denso definible, bifurcación y
þ-bifurcación no son equivalentes. Sin embargo, existen ciertos tipos conocidos como los tipos
genéricamente estables que preservan propiedades de los tipos en teorías estables, y para los
cuales probamos junto con los profesores Onshuus y Usvyatsov en [3] que las nociones de bifurcación y þ-bifurcación coinciden, esto es, si un tipo genéricamente estable bifurca sobre un
conjunto, también þ-bifurca sobre dicho conjunto. Esto es un gran avance con respecto a lo
obtenido hasta 2009, año en el cual presenté una ponencia en el CCM donde este resultado aún
era una conjetura.
Un trabajo que me encuentro realizando actualmente tiene que ver con probar que, si para
una fórmula φ(x, b) bifurcación no coincide con þ-bifurcación, entonces usando dicha fórmula es
posible definir órdenes lineales infinitos. Esto, entre otras cosas, probaría la equivalencia entre
bifurcación y þ-bifurcación para teorías simples sin las hipótesis antes mencionadas.
3.
Conclusiones
Para teorías estables, y para todos los ejemplos conocidos de teorías simples, las nociones
de bifurcación y þ-bifurcación son equivalentes.
Para tipos genéricamente estables en teorías arbitrarias, bifurcación y þ-bifurcación coinciden.
Existe la siguiente conjetura al respecto de las condiciones bajo las cuales bifurcación y
þ-bifurcación son equivalentes:
2
Conjetura 1. Si una fórmula φ(x, b) bifurca pero no þ-bifurca sobre un conjunto A, existe
una φ-fórmula (una combinación booleana de instancias de φ(x, my) que tiene la propiedad
estricta del orden (SOP).
4.
Esquema de la charla
El esquema de la charla que propongo es el siguiente:
1. Introducción.
2. Presentación de definiciones y ejemplos: bifurcación, þ-bifurcación, teorías estables, teorías
simples, teorías dependientes.
3. Resultado 1: Bifurcación es equivalente a þ-bifurcación en teorías estables y simples.
4. Resultado 2: Bifurcación es equivalente a þ-bifurcación para tipos genéricamente estables.
5. Presentación de la conjetura: algunos ejemplos.
De esta manera, pienso que lo más conveniente para entrar un poco en detalles sería una charla
larga de 50 minutos. De todas formas, todo este material podría exponerse de forma meramente
informativa en 20 minutos sin ningún inconveniente.
Referencias
[1] H. Adler. A geometric introduction to forking and thorn-forking. Mathematics preprint Series, No. 390. Institut de Matemàtica. Universitat de Barcelona. Feb 2007. To appear in the
Journal of Mathematical Logic.
[2] C. Ealy. Thorn-forking in Simple Theories and a Manin-Mumford Theorem for T -modules.
University of California at Berkeley. 2004
[3] D. García. A. Onshuus. A. Usvyatsov. Generic stability, forking and þ-forking. Transactions
of the American Mathematical Society. To appear.
[4] A. Onshuus. Properties and consequences of thorn-independence. J. Symbolic Logic 71
(2006), 1-21.
[5] A. Onshuus. Th-forking, algebraic independence and examples of rosy theories. ArXiv:
math.LO/0306003 v1. 2003
[6] A. Usvyatsov. On generically stable types in dependent theories. J. Symbolic Logic 74 (2009),
216-250.
3