Se anotan las coordenadas de los vectores de los tres lugares

2 2
1. Un turista escala la gran pirámide de Giza (altitud h, base h h), y lo hace
directamente desde el punto 1 al punto 2 (lo cuál se sitúa a la mitad de
la altitud total) y desde allá hacía la cima en punto 3. Vuelve bajando de
punto 3 directamente al punto 1. Con una velocidad constante de
=
el turista necesita para esta vuelta completa
.
¾Qué altitud tiene la pirámide?
28min
22m min
Se anotan las coordenadas de los vectores de los tres lugares, después se
calcula
~r
12
etc. Valores numéricos se usan a lo más tarde posible. Para
este problema se prohibe usar trigonometría.
= (0 0)
2. El agua del rió Baker uye en todos lados con la misma velocidad u
~
; u; .
Un salmón quiere llegar directamente al otro lado del rió (es decir en el eje x
indicado en la gura).
a ) ¾Con qué velocidad
velocidad
v
0
?
v propaga el pez si se mueve relativo al agua con la
b ) Pero también si quiere moverse en el agua en una trayectoria no ortog-
onal a la corriente se puede obtener v .
¾Cuál es el resultado para v en este caso?
1
120km h
3. En el regreso del aeropuerto nos quedamos con
= precisamente debajo
un avión despegando, mientras su sombra (incidencia de la luz solar con
ángulo = ) se mueve con
= en la autopista.
4
170km h
a ) ¾Qué velocidad tiene el avión?
b ) ¾Cuantos metros sube el avión por segundo?
4. Muestre que dos vectores tienen que estar ortogonales si su suma y diferencia
tienen el mismo largo.
Usar calculo vectorial, no usar trigonometría.
5. Un punto de masa tiene una trayectoria en un plano dado por
1 cos(!t) + a sin(!t)] ~e + p1 [
2
2
~r(t) = p [a
1
2
1
a
1
cos(!t) + a sin(!t)] ~e ;
donde ~e1 y ~e2 denen las direcciones de los ejes
Además, a1 , a2 , y ! son constantes y > .
0
a ) Cambie a una nueva base de vectores
~e0 , ~e0 ,
1
2
2
x
e
y,
2
respectivamente.
es decir a un nuevo sis-
tema de coordenadas x0 y y 0 , para que la formula de la trayectoria se
simplique. ¾Cómo es la trayectoria el el sistema x0 , y 0 como función de
!t?
b ) ¾Qué forma geométrica tiene la trayectoria?
c ) Determine los ángulos
'(t)
(t)
= ^(~e0 ; ~r(t));
= ^(~e0 ; ~r(t)):
d ) Calcule los valores absolutos de ~
r(t), ~v(t) = ~r_ (t), ~a(t) = ~r(t). ¾Qué
relación existe entre j~r(t)j y j~a(t)j?
1
2
2
e ) Calcule
r_ (t) = dtd j~r(t)j.
f ) Determine los ángulos
(t)
(t)
(t)
= ^(~r(t); ~v(t));
= ^(~v(t);~a(t));
= ^(~r(t);~a(t)):
6. La trayectoria de un punto de masa es
0
B
~r t B
@
3 sin tt 1C
()=
4 tt CA :
3 cos tt
0
0
0
Calcule:
s(t);donde se dene s(t = 0) = 0,
el vector tangencial con largo 1 ~t,
la curvatura y el radio de curvatura de la trayectoria,
el vector normal con largo 1 ~n,
el tripod acompañante (~t,~n,~b) para t = 5t .
a ) el camino recorrido
b)
c)
d)
e)
0
(t),
7. Pruebe las siguentes reglas de diferenciación para funciones vectoriales ~a
~b t :
()
~a(t) ~b(t) = ~a_ (t) ~b(t) + ~a(t) ~b_ (t),
h
i
d ~a(t) ~b(t) = ~a_ (t) ~b(t) + ~a(t) ~b_ (t).
dt
d
a ) dt
b)
h
i
8. Un punto de masa se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante
v
= . En esta trayectoria en el vector de la velocidad cambia su
dirección por .
= 50cm s
2s
60
a ) Calcule el cambio de velocidad
j~vj en este intervalo de 2s.
b ) ¾Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de este movimiento cir-
cular uniforme?
9. La dinámica de una partícula cerca de la supercie de la tierra esta descrita
por
~r = ~g;
3
donde
0
B
B
@
1
0C
~g = 0 C
A
con ~ez apuntando hacia el cielo y
restre.
g
g
siendo la aceleración gravitacional ter-
a ) ¾Cómo se ve la solución de esta ecuación de movimiento si la partícula
=0
parte en t
en el origen del sistema de coordenadas cartesianas con
velocidad inicial
1
0
v
0;x
C
B
C
~v0 B
@ v0;y A
=
v ;z
?
0
b ) Muestre que el movimiento ocurre en un plano jo. ¾Qué dirección tiene
el vector normal de este plano?
c ) Elige ahora la dirección de la velocidad inicial como eje
x0
(vector nor-
malizado ~e0x ) de un nuevo sistema de coordenadas con el mismo origen.
Encuentre ortogonal a ~e0 el vector ~e0 (nuevo eje y 0 ), que dene con ~e0
x
y
x
el plano del movimiento de la partícula.
d ) Dene ~
e0z para que ~e0x , ~e0y , ~e0z representen un sistema ortonormal de mano
derecha.
10. Se lanzan verticalmente dos piedras con la misma rapidez inicial
retardo t0 en el campo gravitacional terrestre.
v
0
pero con
a ) Obtenga las ecuaciones de movimiento e integre las.
b ) ¾Después cuanto tiempo se encuentran las dos piedras?
c ) ¾Cuales son sus velocidades en el punto de encuentro?
11. Dos masas
m
1
y
m (m < m
2
1
2
) están conectados con un hilo de largo
m?
Calcule las aceleraciones de las masas como función de m
a ) ¾Cuales son las ecuaciones de movimiento para
b)
m
1
y
L.
2
1
y
m
2
.
12. Un plano inclinado con ángulo se encuentre encima de una pesa. Encima
del plano inclinado hay un cuerpo de masa m que se encuentra jado en este
momento. La pesa muestra el peso.
a ) Ahora se suelta la jación y el cuerpo baja sin fricción en el plano incli-
nado. ¾Cambia el peso mostrado por la pesa?
b ) ¾Cómo cambia la fuerza que presiona el cuerpo al plano inclinado?
4
13. Un cable de masa m y largo
fricción sea despreciable.
L
desliza a través de un canto, ver gura. La
a ) ¾Cuál es la ecuación de movimiento?
b ) ¾Cuál es la solución en el caso en que en el tiempo t
tiene largo
x
0
y se suelta el cable?
= 0 la parte colgante
c ) ¾Cuál es la velocidad en el momento en que el n del cable pasa el canto?
14. Discuta el tiro vertical de una masa
campo gravitacional terrestre,
~r
GmM :
r
La velocidad inicial del tiro sea v . Se busca la velocidad v de la masa
como función de la distancia z del centro de la tierra.
¾Qué magnitud mínima debe tener v para que la masa puede salir del
F~
a)
b)
m desde la supercie de la tierra en el
=
3
0
0
campo gravitacional de la tierra?
15. Un cuerpo de masa m se mueve en el campo gravitacional de la tierra y bajo
la inuencia de la fricción de Newton.
a ) ¾Cómo se ve su ecuación de movimiento? Por favor considerar solamente
el movimiento vertical.
b ) ¾Con qué velocidad inicial resultaría un movimiento uniforme?
c ) Calcule la dependencia de la velocidad del tiempo para el caso en que el
cuerpo empieza a caer al tiempo
t = 0 con velocidad v(t = 0) = 0.
d ) Calcule la distancia de la caída como función del tiempo para el caso en
=0
que se suelta el cuerpo al tiempo t
a una altitud h. Discute el caso
límite cuando el coeciente de fricción ! .
0
16. Determine las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales:
7x 4x_ 3x = 6
b ) z 10z_ + 9z = 9t
a)
5
17. Un péndulo con largo L y masa m en realidad puede moverse no solamente
en una dirección sino en dos direcciones, es decir en una supercie que corresponde a una parte de una esfera con radio igual al largo del hilo L. Así se
pueden introducir dos ángulos y que corresponden a las dos direcciones
de movimiento, como indica la gura.
a ) Deriva las ecuaciones de movimiento para los ángulos
(t) usando las condiciones iniciales (0) = , _ (0) = ; , (0) = , _ (0) = ; .
¾Existen otros dos variables (en vez de y ) en que las ecuaciones de
b ) Obtenga las solución generales
0
c)
(t)
y .
0
y
0
0
movimiento se simplican? Piensen en un ángulo axial y una distancia
radial del punto de equilibrio.
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
L
18. Imagínese un péndulo con largo L y masa m colgante. Se reemplaza el hilo
de largo L jo por un hilo elástico, que se comporta como un resorte con
constante elástica k y que tiene en el equilibrio el mismo largo L.
a ) Derive las ecuaciones de movimiento en direcciones radiales y angulares.
b ) Indique el problema que tienen estas ecuaciones diferenciales. ¾Por qué
no es fácil obtener su solución?
c ) Use su intuición física para describir el tipo de movimiento que va a
mostrar un péndulo de este tipo.
6
19. Las ruedas de un auto están conectadas con amortiguadores que consisten
de un resorte y una válvula con aceite. Si uno levanta el auto suavemente y
lo deja caer libremente el auto oscila con frecuencia f
y la amplitud
2
inicial A0 de esta oscilación decae en un tiempo 3 a un valor A0 =e (con
e constante de Euler). El auto pasa por un camino de ripio destruido por
camiones con hoyos cada
.
1s
=
= 1Hz
5m
a ) ¾Cuál es la frecuencia de libre oscilación del auto?
b ) ¾Con qué velocidad tiene que andar el auto para que el conductor sufra
lo máximo, pensando que su auto se desarmará? El conductor sufra lo
máximo cuando su auto oscila con amplitud máxima.
20. Un parlante tiene un diafragma rígido de masa m, que esta colgado con un
resorte, es decir con un material elástico (espuma o goma) de constante elástica k. El mismo material genera además roce con una constante de fricción
. Una bobina de N vueltas de radio R esta conectada mecánicamente con el
diafragma y se encuentra inmerso en un campo magnético B producido por
un imán permanente de simetría cilíndrica, ver gráco.
Al aplicar una corriente alterna I t
I0 !I t en la bobina, el diafragma
recibe una fuerza y empieza a oscilar en dirección x así se produce un
sonido (despreciamos la parte acústica del problema). La fuerza que genera
la corriente en la bobina es dada por F F0
!I t con F0 RNBI0 .
( ) = cos( )
= cos( )
=2
a ) ¾Con qué amplitud oscila el diafragma? (2 ptos)
b ) ¾Cuál es la energía cinética del diafragma promediada sobre un periodo
de oscilación? (1 pto)
c ) ¾Para qué frecuencia de la corriente
es máxima? (1 pto)
!I
la energía cinética promediada
11111
00000
00000
11111
1111
0000
0000
1111
x
resorte
diafragma
iman
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
S
N
00000000000000000000
11111111111111111111
S
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
7
bobina
21. En la gura hay un oscilador armónico amortiguado y forzado con acoplamiento cinético, es decir la fuerza externa F generada por el movimiento circular
de la rueda de radio R y frecuencia angular ! no actúa directamente a
la masa colgante m. El resorte tiene constante elástica k y el baño de aceite
genera una fricción de Stokes con coeciente de fricción . Se supone que
F t
.
( = 0) = 0
a ) Determine la ecuación de movimiento para
b ) Resuelve a) con las condiciones iniciales
x(t).
x(0) = 0, x_ (0) = 0.
c ) Graque la solución de b) para el caso de amortiguamiento critico.
!
R
111
000
000
111
000
111
000
000 111
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
000 111
111
000
111
000
111
000
000 111
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
000 111
111
000
111
k
x
m
8
23
22. En equilibrio un cilindro de madera se encuentra con = de su largo debajo
del agua.
¾Qué trabajo hay que entregar en el proceso de sacar el cilindro del agua, si
su radio y largo son r
yL
; , respectivamente?
= 10cm
= 0 6m
23. Se lanza un cuerpo de masa m = 0;8kg verticalmente hacia arriba. En la
altitud h = 10m todavía tiene la energía cinética E = 200J.
cin
¾Qué altitud máxima puede alcanzar?
= 0 8m
= 20N
24. Un resorte de acero con largo l0
; se estira con la fuerza F1
por
el largo x1
; .
¾Qué trabajo hay que entregar cuando se estira el resorte al doble de su largo
original, si la fuerza que entrega este trabajo es proporcional al estiramiento
del resorte?
= 0 05m
25. Un punto de masa
m se mueve en un campo de fuerza
F~ (~r) = (ay; ax; b);
donde
a; b 2 R
+
.
a ) Muestre que se trata de una fuerza conservativa.
b ) Calcule el trabajo necesario para mover el punto de masa en una linea
recta de
P
0
= (0; 0; 0) a P = (x; y; z).
c ) ¾Cuál es la energía potencial correspondiente a la fuerza?
d ) ¾Cómo se cambia el trabajo necesario, si uno desplaza el punto de masa
de
P aP
0
a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas cartesianos,
(0; 0; 0) ! (x; 0; 0) ! (x; y; 0) ! (x; y; z)?
26. Dados dos energías potenciales
= kr2 ;
mh
V (~r) =
2 (!~ ~r)
V (~r)
2
1
2
donde
2
i
!r ;
2
2
!~ es un vector constante.
a ) Calcule la fuerza
F~
= F~ (~r) generada por cada uno de los potenciales.
b ) ¾Qué signicado físico tienen estos potenciales?
c ) ¾Se trata de fuerzas centrales?
9
27. Una partícula con masa m
que depende del tiempo:
= 3g se mueve en un campo de fuerza homogéneo
!
45
t
18
t
6
t
F~ =
s ; s ; 3; s 10 N;
2
5
2
con las condiciones iniciales:
~r(t = 0s)
~r_ (t = 0s)
= (0; 0; 0)cm;
= (0; 0; 6)cms
1
:
a ) Calcule la velocidad de la partícula después de un segundo.
b ) ¾Qué energía cinética tiene la partícula después de un segundo?
W entrega el campo de fuerza en el desplazamiento de la
partícula de ~r(t = 0s) a ~r(t = 1s)?
c ) ¾Qué trabajo
28. Pensamos en obtener la solución general del oscilador armónico a través de
la ley de la conservación de energía.
a ) ¾Por qué la aplicación de esta ley es valida?
b ) Use la conservación de energía para obtener la solución general
x(t). Ella
dependerá de algunos parámetros independientes, que elegimos como la
energía total E y el tiempo t1 en que el oscilador alcanza su amplitud
máxima xmax .
c ) Elige la solución en tal manera para que E y t2 sean los parámetros inde-
pendientes, donde
máxima.
t
2
es el tiempo en que el oscilador tiene su velocidad
29. Un cohete funciona a través de expulsar masa con velocidad constante ve . Así
en el espacio, despreciando fuerzas gravitacionales, el cambio de la rapidez
v del cohete a través de una expulsión total de masa me , empezando con
la masa inicial m0 del cohete, esta dado por la ecuación de Ziolkowski:
v = v ln m m m :
0
e
0
e
Obtenga esta ecuación usando la conservación de momento lineal del sistema
total basado en el gráco.
10
30. ¾Cuál es la rapidez mínima, que tiene que tener un cuerpo en el momento de
su lanzamiento de la tierra, para alcanzar la luna?
31. Un satélite geosíncrono se encuentra en una orbita al largo del ecuador y se
mueve con la tierra. Así siempre mantiene su posición relativa a la supercie
de la tierra.
a ) ¾Cuál es la distancia de un satélite geosíncrono del centro de la tierra?
b ) ¾Cuál es la energía necesaria para el lanzamiento del satélite?
c ) ¾Qué precisión en la distancia satélite-centro de tierra se requiere para
que el satélite geosíncrono cambia esta distancia en menos que
0;1km=d?
r alrededor de la
32. Un satélite se mueve en una trayectoria circular con radio
tierra.
a ) ¾Cómo cambian la energía potencial, energía cinética, y energía total
r de la trayectoria circular?
¾Cuál es la razón E =E ? ¾Depende del radio r?
Escribe la energía total en dependencia de M (masa de la tierra), m
(masa del satélite), g (aceleración gravitacional terrestre), y r. ¾Se nece-
con el radio
b)
c)
cin
pot
sitan más variables?
=( )
= ( 0)
33. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P
x; y , para los cuales
la suma de las distancias hacia dos puntos jos (focos) F1
e; y F2 e;
es constante (
a), ver gráco.
=2
a ) Escribe
(
0)
b como función de a y e.
b ) Determine la ecuación de la elipse en coordenadas Cartesianas.
(' ).
< 1
c ) Determine la ecuación de la elipse en coordenadas polares, es decir, r
Para este propósito use las magnitudes
( excentricidad de la elipse).
=
k
d ) Determine la forma paramétrica de la elipse,
e ) Considere el circulo como caso especial.
11
=
b =a
2
x
y
!
y
=
=
f (t)
g(t)
e=a
!
.
34. Una partícula con masa
potencial
m se encuentra en un campo de fuerza con energía
E
pot
(~r) = r :
2
a ) ¾Qué se puede decir sobre fuerza, energía y momento angular?
b ) El inicio del tiempo y el sistema de coordenadas sean elegidos para que
> 0 (fuerza repulsiva) se cumple
con
r
m
n
r
Calcule
m
n
= r(t = 0);
como función de
'(r
m
n
) = 0:
L y E.
r(t) y la trayectoria r = r(') para E > 0 y > 0.
¾Qué trayectoria resulta en el caso especial = 0?
¾En qué caso resulta un movimiento ligado para < 0 (atracción)?
Determine para este caso r .
Calcule con la condición inicial r(t = 0) = r
el tiempo t , después del
cual la partícula llega al centro r = 0.
Calcule la trayectoria r = r(') con la condición inicial '(r ) = 0.
c ) Determine la función
d)
m
ax
e)
f)
m
ax
0
m
ax
35. Dos cuerpos con masas m1 y m2 se mueven desde sus lugares iniciales ~r1;0
y ~r2;0 con velocidades iniciales ~v1;0 y ~v2;0 . El cuerpo 2 ejerce al cuerpo 1 la
fuerza
= F ~r d ~r ;
son constantes con [F ] = N y [d ] = m.
F~
donde
F
0
y
d
0
2
1
0
0
0
0
a ) Resuelva el movimiento relativo de los cuerpos.
b ) Calcule las trayectorias de ambos cuerpos.
36. Observaciones terrestres detectan un cuerpo momentáneamente a una distancia de r
, que se acerca a la tierra con velocidad v
= en
una dirección que tiene ángulo con la dirección radial, ver gráco.
La masa del cuerpo se estima como m M=
donde M 24 es la
masa de la tierra.
= 84 000km
= 135
=
= 100km s
100
a ) Calcule los valores numéricos de la energía
6 10 kg
E
y de la magnitud del
momento angular (relativo) L del cuerpo, suponiendo que el centro de
masa del sistema tierra-cuerpo se encuentra en el centro de la tierra.
11
3
Usar como valor para la constante gravitacional G = 2.
7 10 m (kgs )
b ) ¾Qué trayectoria tiene el cuerpo (elipse, parábola o hipérbola)?
Pruebelo matemáticamente.
12
c ) Si el cuerpo llegaría a una distancia de solamente
120km, entraría en la
atmósfera de la tierra con consecuencias catastrócas.
¾Ocurre eso? y
¾Cuál es el valor numérico de la distancia mínima?
~
v
Tierra
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
37.
111
000
000
111
000
111
Cuerpo
r
y sean dos sistemas de coordenadas cartesianas con ejes paralelos que se
mueven relativamente. La posición de un cuerpo en es
~r(t) = 6 t 4 t ~ex 3 t ~ey + 3 ~ez ;
en la posición
y el mismo cuerpo se encuentra en ~r(t) = 6 t + 3 t ~ex 3 t 11 ~ey + 4 t~ez :
relativo a ?
a ) ¾Con qué velocidad se mueve ?
b ) ¾Qué aceleración siente el cuerpo en y en también un sistema inercial?
c ) sea un sistema inercial. ¾Es entonces 2
3
1
2
3
2
4
3
1
2
3
5
6
38. Aunque sistemas inerciales simplican las ecuaciones de movimiento, los
movimientos en la tierra se describen típicamente en un sistema de coordenadas que esta rotando con la tierra (sistema del laboratorio). Este sistema
en estricto rigor no es un sistema inercial.
En la supercie de la tierra se ja en un punto con latitud ' un sistema de
coordenadas cartesianas :
eje z verticalmente hacia arriba,
eje y hacia norte,
eje x hacia este.
La velocidad angular de la tierra es
!=
2 = 7;27 10 s
24h
5
1
:
a ) ¾Cuál es la ecuación de movimiento de un punto de masa en este sistema
de coordenadas cercano a la supercie de la tierra (despreciar términos
del orden ! 2 )?
13
b ) Calcule la aceleración
denadas
~r
del origen de relativo a un sistema de coorque se encuentra jo en el centro de la tierra.
c ) ¾Cuál es la en
0
medible verdadera aceleración terrestre ~g0? ¾Cómo
afecta eso la supercie de la tierra?
d ) ¾Cómo depende la fuerza Coriolis de la latitud?
e ) Ponga el sistema
en tal manera para que el eje z apunta perpendicular
a la supercie real de la tierra. ¾Cuál es la ecuación de movimiento ahora
para un punto de masa cercano a la supercie de la tierra? Se puede usar
la fuerza Coriolis de d) porque entre ~g y ~g 0 hay un ángulo muy pequeño.
f ) Un cuerpo inicialmente en reposo se deja caer de una altitud h. Resuelve
_ _
la ecuación de movimiento de e) suponiendo que x y y mantienen valores pequeños durante la caída. Determine la desviación causado por la
rotación de la tierra.
39. En ruedas dentadas el numero de dientes es proporcional al diámetro. Entonces, si se mueve una rueda dentada de
dientes con un torque M1 , y si
esta rueda mueve otra rueda dentada con
dientes,
¾cuál es el torque M2 que siente la segunda rueda dentada?
50
120
40. Calcule el momento de inercia de:
a ) un cascaron esférico con radio exterior
R, espesor d R y masa m, con
respecto a un eje de rotación que pasa por el centro del cascaron,
b ) un cubo con densidad de masa homogénea con largo de su cantos
masa
m, con respecto a uno de sus cantos como eje de rotación.
a
y
41. El cubo de 40. b) esta colgando con su eje de rotación horizontal y jo en el
campo gravitacional terrestre. Ejerce pequeñas oscilaciones.
a ) Escribe la ecuación de movimiento y determine la frecuencia angular y
el periodo de la oscilación.
b ) ¾Qué largo tendría un péndulo con hilo equivalente si tiene la misma
masa colgando?
1 5 10 N m
42. Si el límite elástico del cobre es ; 8 = 2 , determinar el díametro mínimo
que un alambre puede tener bajo una carga de
si su límite elástico no
va a excederse.
3cm
500m
10kg
2
43. Un cable de acero de
de sección transversal tiene una densidad de masa
lineal de ; = . Si
de cable se cuelgan desde un extremo, ¾cuánto
se estira el cable bajo su propio peso? Modulo de elasticidad de acero es
11 = 2.
2 4g m
2 10 N m
14
44. A una barra de cobre se le da un golpe longitudinal en un extremo. El sonido
del golpe viajando por el aire llega al otro extremo de la barra ;
después
de que el sonido atraviesa la barra. ¾Cuál es la longitud de la barra? La
velocidad del sonido en cobre es
=.
6 4ms
3560m s
45. Dos barras de largos L1 y L2 se colocan una tras otra. Las densidades de
masa son ; 3 = 3 y ; 3 = 3 respectivamente y con modulos de
elasticidad 10 = 2 y ; 10 = 2 . Se tiene una tercera barra de largo
L3 L1 L2 con densidad de masa y modulo de elasticidad ; 3 = 3
y
10 = 21. Si L3 ; , ¾cuál debe ser a la proporción L1=L2 para
que una onda sonora atraviese ambos sistemas en tiempos iguales?
2 7 10 kg m 11 3 10 kg m
7 10 N m 1 6 10 N m
= +
11 10 N m
= 1 5m
15
8 8 10 kg m