Postulados de la mecánica cuántica

POSTULADOS DE LA MECÁNICA
CUÁNTICA
Que es la mecánica cuántica?

Es una teoría axiomática debido a que
está bien fundamentada en algunos
principios (del latín principium), o axiomas
(del griego, axios), o postulados (del latín
postulatum).

Postulado: es un elemento fundamental;
un principio básico.
Existen 6 postulados en Mecánica Cuántica:
Los primeros cuatro postulados tratan acerca
del fundamento matemático de la Mecánica
Cuántica, y el quinto y sexto es la conexión
entre la matemática explicada en los primero
cuatro postulados y los resultados de un
proceso de medición.
Estos postulados son el fundamento de la
mecánica cuántica, y las aplicaciones de la
mecánica cuántica están construidas en este
fundamento
Postulado I: la función de onda

El estado de un sistema físico es completamente descrito por una
función de onda
Un sistema físico (desde el punto de vista cuántico) es una partícula libre,
una partícula moviéndose en alguna potencia, un átomo de hidrogeno,
una molécula de hidrogeno, o un átomo o molécula de cualquier tipo.
 Que es una función de onda? Esta relacionada con la probabilidad de
encontrar una partícula en una posición x0 a un tiempo t0 a través de:


En la mecánica cuántica el significado físico de una función de onda es
difícil de describir ya que puede ser negativo, complejo, etc.
Pensaremos en una función de onda como una simple descripción del
sistema de interés y con esta descripción varias propiedades del sistema
pueden ser determinadas como lo veremos.
Postulado I (cont.)

Existen ciertos requerimientos en una función de onda:
Normalizada
Univaluada
Continua
Normalizada requiere que lo siguiente sea verdad (para un
sistema 1D)
Que el cuadrado integrable de la función de un valor
finito
Postulado I (cont.)

Univaluada. Requiere que haya un único
valor de función para un intervalo dado.
Postulado I (cont.)

Continua. Una función continua requiere
que esta y su primera derivada sea suave,
es decir; no tenga discontinuidad.
Segundo postulado
Observables y Operadores
Hermiticidad y espectros
A) “A cada variable dinámica u observable del sistema le corresponde
un operador lineal y hermitico”

Operadores asociados
hermíticos
 Espectro/ auto
valores
Posibles auto valores o
espectro en el dominio de
números reales
Continuos , discretos o
mixtos.
9
Expresión de los operadores

Cualquier función que dependa de las variables posición y
momento en coordenadas cartesianas puede “cuantizarse“,
reemplazando aquellas por los operadores de posición y
movimiento.
10
¿Y en el caso de la Energía?
11
Tercer postulado
La amplitud de probabilidad o función de onda de un
sistema
mecanocuántico, Ψ=Ψ(x,y,z,t), debe
satisfacer la ecuación de Schröedinger dependiente
del tiempo
Energía Cinética
Energía Potencial
Ecuación de Schrödinger dependiente
del tiempo
Ecuación de Schrödinger
independiente
del tiempo( estados
estacionarios)
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Cuarto postulado
Cualquier resultado de la medición de
una variable dinámica es uno de los
valores propios del correspondiente
operador.
Se dice que Ψn es una función Â, con
valor propio an si se cumple lo siguiente:
ÂΨn=anΨn
Cualquier medición
es un número real
Se requiere que los
valores propios del
operador apropiado
sean reales
Operadores
hermitianos
satisfacen este
requerimiento
Quinto postulado
Sea Ψn una función propia arbitraria de
 = ÂΨn =an Ψn
El conjunto de todas las funciones propias
independientes forma un conjunto completo
La función de onda de un estado cualquiera del
sistema se puede describir siempre como una
combinación lineal de las funciones propias
independientes
Sexto postulado
La evolución temporal del estado de un sistema
mecanocuántico no perturbado se da por la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo:
La función de estado a lo largo del tiempo permite establecer
la función de probabilidad de distribución de partículas.
Ψ se relaciona con su derivada en el tiempo , cuya
relación debe ser lineal conforme al principio de
superposición durante el intervalo de tiempo en el cual
los sistemas no interactuantes idénticos son aislados
Sexto postulado
Al instante posterior t de un mismo intervalo es:
El operador que conduce
dentro de
generar
cuando se aplique a
debe
1
Séptimo postulado. Principio de exclusión de Pauli
Ψ debe ser antisimétrica para el intercambio de fermiones
idénticos (bosones).
Sexto postulado
Asumiendo la continuidad física para el conjunto aislado, el
límite matemático existe como:
2
Combinando 1 en 2:
Multiplicando por i, el operador lineal hermitiano forma:
Presentación de artículo
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
Partículas cuánticas identicas.
-
-
Pueden llevar a interferencias cuánticas que afecten su
dispersión.
Amplitud de probabilidad de dos partículas idénticas se
superponen a la izquierda o derecha, siendo imposible
distinguir una partícula de la otra.
Bosones (fotones). Partículas con ψ totalmente
simétrica. Las interferencias constructivas entre
amplitudes de probabilidad puede mejorar la
probabilidad de ser detectados en la misma dirección
(“agrupamiento”).
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
-
-
Fermiones (electrones). Partículas con ψ totalmente
antisimétricas. Interferencias destructivas suprimen las
amplitudes de probabilidad (“antiagrupamiento”).
→ Origen del principio de exclusión de Pauli
2 electrones nunca pueden ocupar el mismo estado
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
Proceso estocástico.
Induce fluctuaciones (partición ruido) en flujo de salida
dependiendo de la probabilidad de transmisión T.
Si se dispersan N partículas idénticas en serie, resulta una
distribución binomial para el número de partículas
transmitidas a la salida Nout, siendo la varianza normalizada
(factor Fano):
Δ𝑁2𝑜𝑢𝑡 / 𝑁𝑜𝑢𝑡 = (1 - T)
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
Aplicación de postulados de mecánica cuántica.
Los resultados pueden depender de sí el estado se
describe matemáticamente por;
Partícula 1 (izquierda)
1: 𝛹𝐿 ; 2: 𝛹𝑅
Partícula 2 (derecha)
1: 𝛹𝑅 ; 2: 𝛹𝐿
Combinaciones simétricas y antisimétricas de
estos resultados producen resultados reales:
1
𝛹± = ( ) 1: 𝛹𝐿 ; 2: 𝛹𝑅 ± 1: 𝛹𝑅 ; 2: 𝛹𝐿
2
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Bosones: probabilidad de dispersión: ½
Fermiones → interferencia destructiva
(nunca se dispersan en el mismo estado)
Bosones: interferencia destructiva
completa
Fermiones: probabilidad de dispersión: 1
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Objetivo
 Realizar la interferencia cuántica destructiva en
la colisión de electrones en un divisor de haz.
Equipo utilizado
 Divisor mesoscópico de electrones por
litografía de haz de electrones en GaAs de alta
mobilidad, con sistemas de gas de electrones en
dos dimensiones.
Nota: los electrones son inyectados con estocasticidad
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Ruido de colisión fermiónico: 52% del
ruido de colisión clásico.
Supresión observada del ruido de
colisión: 56% del valor clásico
Interferencia cuántica fermiónica
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Supresión de ruido no
completa ni duradera, ya que
después de la colisión los
electrones abandonan puertos
de entrada para causar un flujo
de electrones en la salida
derecha para fluctuar
- El ancho del punto de contacto incrementa a la mitad de la longitud de
onda de Broglie de los electrones (100 nm).
- La transmisión parcial a través de su nodo transversal más pequeño es
posible, aumentando la conductancia y disminuyendo la partición del nodo.
- Una vez transmitido el nodo transversal más bajo en el punto de contacto,
una meseta alcanza la conductancia correspondiente a la unidad cuántica
con espín degenerado (GQ = 2e2/h), suprimiendo la partición del ruido.
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Conclusiones del artículo.
La interferencia cuántica responsable para el principio
de exclusión de Pauli se manifiesta como la supresión
en el ruido de corriente de electrones después de la
colisión.
 La simetrización y antisimetrización de las funciones
de onda resultan de la contribución de la amplitud de
probabilidad: directa o periodo de intercambio.
 Las interferencias cuánticas afectan profundamente el
ruido de colisión, por lo que la medición del ruido de
salida debería confirmar la estadística cuántica para
las partículas.

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Referencias


Levine Irina, N. Química Cuántica ,5ª edición. Pearson,
España, 2001, pp. 186-193.
Lowe Jhon P. Quantum Chemistry. 3ª edición. El Sevier ,
EUA, 2006,pp. 166-186.
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