SOLUCIONES

SOLUCIONES
Demostrar si los siguientes razonamientos son correctos mediante deducción natural (deben dibujarse las cajas necesarias)
{ (p → q) ∧ r, s → t, ¬r ∨ s } ⇒ q ∨ t
{ (p ∧ q) → r, r → s, q ∧ ¬ s } ⇒ ¬ p
1.- (p → q) ∧ r
Premisa
1.- (p ∧ q) → r
Premisa
2.- s → t
Premisa
2.- r → s
Premisa
3.- ¬r ∨ s
Premisa
3.- q ∧ ¬ s
Premisa
4.- ¬r
Supuesto
4.- p
Supuesto
5.- r
∧E 1
5.- q
∧E 3
6.- r ∧ ¬ r
∧ I 4,5
6.- p ∧ q
∧ I 4,5
7.- F
FI 6
7.- r
→E 1,6
8.- q ∨ t
FE 7
8.- s
→ E 2,7
9.- ¬r → q ∨ t
→I4,8
9.- ¬s
∧E3
10.- s ∧ ¬ s
∧ I 8,9
11.- ¬ p
¬I 4-10
10.- s
Supuesto
11.- t
→E2,9
12.- q ∨ t
∨ I 10
13.- s → q ∨ t
→I 10,12
14.- q ∨ t
∨E 3,9,13
Para cada razonamiento, indicar el conjunto de cláusulas a utilizar para demostrar si es correcto y los pasos de resolución que llevan a la
cláusula vacía:
{ (p → q) ∧ r, s → t, ¬r ∨ s } ⇒ q ∨ t
Cláusulas a utilizar
¬ ∨
¬
∨
¬ ∨
¬ ¬
{ (p ∧ q) → r, r → s, q ∧ ¬ s } ⇒ ¬ p
Cláusulas a utilizar
Pasos de resolución
¬ ∨ ¬
∨
¬ ∨
¬ Pasos de resolución
¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ¬!
¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ # ¬#$
¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ "
¬
"
!" #" !$ %%! &' (%%&)* ,+-. /%*0 1231 &)4 5! 2%%167,&'8&)31* %! 9
→
∨
:4;
<>=
∧ ¬ :4; ∧
<>=
?@ A,BC%D)EFGH D'H IF3FJD)JKCLH C*M*KNOH D'H JFP J3QCL C%CQL E?CLR I6SH D)C%JKQE6GJLQJFKCL$D)EF*P L CFTNH R H GCG3D'NCFGEL JCR H UCKJRJVCW
JF
↔
;
9
:
→
<>=
D@ A,XF%D)CKE2GJ%JY JD'NP CL$JR6QL E6SL CW
C%JF3W
E6GE2GJQNL CD'H IFZ[KHJRD)EFP CGEL$KE?L JQCKC%JR6R \ W%H P J%GJRCLL CMZ[KJ%GJP JDP C*M*KJ%GJP H JFJ3R C%JY JD'ND'H IF
→
;
→
:]<
9
∧
^$=
G[@ A_6IR E2D'NCFGE2D)CFP CKW
J%CD)EFSE'Y CKZ[KH F%JW%?CL SE6Z[D'NCFGEFEW
J%CD)EFSE'Y CKZ$FE2D)CFP CK
→
:4;
` @A
Dada la función:
<>=
∧ : ¬< → ¬
;=
b ⊕ c si a = 0 y d = 0
f ( a , b , c, d ) = 
si a = d
b + c
Rellenar la tabla de verdad:
acbedgf
h
i
ijijilk
i
La expresión en forma de producto de sumas es:
ijijiji
k
ijilknk
k
ilkmiji
k
ilkmilk
k
f (a, b, c, d ) = ∏ (1,7,8,9,14,15) ⋅ ∏ (0,2,4,6)
ijilkmi
Simplificar por el método de Karnaugh la expresión anterior:
ilknkmi
i
ilknknk
kmijiji
k
i
X
kmijilk
o
kmilkmi
X
k
kmilknk
o
X
knkmiji
0
X
0
0
k
knkmilk
o
knknkmi
knknknk
∅
4
k
o
0
Resultado de la simplificación:
f (a, b, c, d ) = (a + b + c + d )(b + c)
Puntuación:
Pregunta
Puntos
1
5
2
2
3
3
SOLUCIONES
4.-Demostrar si los siguientes razonamientos son correctos mediante deducción natural (deben dibujarse las cajas que sean necesarias)
{ ∃x(P(x)∧Q(x)), ∀x(R(x)→¬Q(x)) } ⇒ ∃x¬R(x)
{ ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y)), ∀x(R(x,x)→¬R(a,x)) } ⇒ ∀x(R(x,x)→¬R(x,a)
1.- ∃x(P(x)∧Q(x))
Premisa
1.- ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y))
Premisa
2.- ∀x(R(x)→¬Q(x))
Premisa
2.- ∀x(R(x,x)→¬R(a,x))
Premisa
3.- (a) P(a) ∧ Q(a)
Supuesto
3.- (b)
libre
4.- R(a)
Supuesto
4.- R(b,b)
Supuesto
5.- R(a) → ¬Q(a)
∀E 2
5.- R(b,b) → ¬R(a,b)
∀E2
6.- ¬Q(a)
→E4,5
6.- ¬R(a,b)
→E4,5
7.- Q(a)
∧E3
7.- ∀y(¬R(y,b) → ¬R(b,y))
∀E1
8.- Q(a) ∧ ¬Q(a)
∧I6,7
8.- ¬R(a,b) → ¬R(b,a)
∀E7
9.- ¬R(a)
¬I4-8
9.- ¬R(b,a)
→E6,8
10.- ∃x¬R(x)
∃I 9
10.- R(b,b) → ¬R(b,a)
→I4-9
11.- ∃x¬R(x)
∃E1,3-10
11.- ∀x(R(x,x)→¬R(x,a)
∀I3-10
Para cada razonamiento, indicar el conjunto de cláusulas a utilizar para demostrar si es correcto y los pasos de resolución que llevan a la
cláusula vacía:
{ ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y)), ∀x(R(x,x)→¬R(a,x)) } ⇒ ∀x(R(x,x)→¬R(x,a)
{ ∃x(P(x)∧Q(x)), ∀x(R(x)→¬Q(x)) } ⇒ ∃x¬R(x)
Cláusulas a utilizar
Cláusulas a utilizar
¬
∨¬
Pasos de resolución
a a ¬!
∨ ¬
¬
∨ ¬
Pasos de resolución
#" ∨¬
#" # " %$
!
'/.103254 (56
∨¬
.10#(74 2864
¬
.10#(74 (56
∨¬
.10#+84 (564.109*49:64.109*4 +65-
'(*)9;-
¬
#" &
'(*),+,-
¬
'2:),+84<(*)9;-
¬
.109*4 +6
&
.10#+849:6
5.- ! " #$ %&')(*+
,.-($/.'10!($32" #&')(#+4
5(
6 730!8 9
,.5 4
∀:<;>=9;?A@ :<B →
CD;E:<BB
FG H)IKJLM N.OJ
P QJ.J5R
S5TUSUVN
W U9X!JYZROOJ
P QJ.J+Z UL
UO
¬∃: ∃[);>=9;E:+@ [)B ∧
CD;\[)BB
∧ ∀:4=9;?A@ :<B
YG H)]O4SNY>NOJ
WM U9^RN.X!JYZROOJ
P QN.J.J
P _`
S5TUSUVJ
W J.^RN.J
P _R
M N
S.OJ
P QN.J.X!JYZRO
∃:4=9;E:+@ ?aB → ∃[);bCD;\[)B ∧
=9;?A@ [)BB
LcG H)I3M S_`
S5TUSU9OJ
P QJ.J.X!JYZROJ5TN
SUO^RN.X!JYZROOJ
P QN.J+Z UL
UO
∃:<;bCD;E:<B ∧
=9;E:+@ ?aBB
→ ∀:4=9;?A@ :<B
6.- Implementar los siguientes predicados:
a.longs(L,M):-M
]d N
T.
V
P UKecf>HP US_
OgEh\es
h Ji Funa
ji h Y>ilista
L
i Njique
h k ji h contiene
_
i lj\ji!mcnG las longitudes de cada una de las listas de L.
m1ophqi risi qj
t uwvAxwy{z
|}~|}€
t uwvAxwy{z
|ƒ‚…„}~|†‡‚…ˆ‰}Š‹at uwvAx<zŒ~ †Œ
~t uwvAxwy{z„+~ ˆ€
t uwvAx<z
|}~ €
t uwvAx<z
|ƒ‚…„}~ †ŒŠ‹at uwvAx<z„+~ ˆ
~Ž† y‘ˆ‡’”“€
b.- repite(N,X,R):-R es una lista formada al repetir N veces el elemento X.
Ejemplo: ?-repite(3,a,V).
V = [a,a,a]
•a–—
•a–—
˜
˜
z™~ Œ~|}€
–
–
z†‘~ Œ~|ƒ‚…ˆ‰}Š‹!†›šœ™~
†“p yž†Ÿ‹ “K~
˜
•a–—
–
z†“K~ Œ~ ˆ€
c.- repes(L,R):-R es una lista formada al repetir N veces cada número N de la lista L.
]d N
T.V
P UKecf>HW N
VNOgEhri qisi qji mcnG
m1ophri ri ri qi qisi qi qj
•a–—{–
•a–—{–
y{z
|}~|}€
y{z
|†‡‚…„}~ ¡‡Š‹
 ˜ z†‘~ †‘~ ˆ
~
•a–—
–
y{z„+~ ˆ+yw
~
•a–—{–
v)˜K¤Žzˆ™~ ˆ+y<~ ¡‡€
¢K£
¢K£
¢K£
v)˜K¤Žz
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v)˜K¤Žz
|ƒ‚…„}~ ¡¥~|ƒ‚b†}Š‹
¢K£
v)˜K¤Žz„+~ ¡¥~ †Œ€