Campo gravitacional.2

Campo Gravitacional
Se le define como toda situación física
producida por una masa m en el espacio que
lo rodea y que es perceptible debido a la
fuerza que ejerce sobre una masa m’ colocada
en dicho espacio.
Dada una masa m en el espacio y una masa m’ en
diferentes posiciones alrededor de la primera, la
segunda experimenta una fuerza de atracción dada
por:
r
m m' r
F = −G
e
1
2 r
r
2
m
r
g
1
r
r
er
P
m
3
m’
La
intensidad
del
campo
gravitacional viene definida por :
r
r F
mr
g=
= −G er
m'
r2
2
Consideremos un conjunto de masas m1,m2,m3,
actuando sobre una partícula, entonces la fuerza
resultante es:
r
r
r
r
r r r
r
F = m g1 + m g2 + m g3 + ...... = m(g1 + g2 + g3 + .....+ gi ) = m
r
v
⇒ F = mg
∑
i
3
r
g1
rm1
g2
r
g3
m2
m3
Un campo gravitacional se puede representar
mediante líneas de fuerza tal que en cada punto
la dirección del campo es tangente a la línea que
pasa por el punto.
r
gi
Potencial Gravitacional
Se le define como la energía potencial gravitacional por
unidad de masa colocada en el campo gravitacional.
Luego el potencial gravitacional para una masa m’, es:
m m'
−G
φP
m
r
V=
=
⇒ V = −G
m'
m'
r
Si se tiene un conjunto de partículas, el
potencial gravitacional es:
n
 m1 m2 m3

mi
V = −G +
+
+ ...... = −G
r2
r3
r
 r1

i =1 i
∑
v
r
∂V
r
∂V r
∂V r
∂V 

ó g = −∇V  g x = −
⇒g=−
;gy = −
; gz = −
∂r
∂x
∂y
∂z 

El campo gravitacional es perpendicular a las
superficies equipotenciales.
Las superficies equipotenciales, son aquellas en las
que el potencial gravitacional posee el mismo
valor.
Ejemps:
1.- Considere dos masas de valor m y 2m, que se
encuentran separadas por una distancia 2a, como se
muestra en la figura. (a) Calcule el valor de la energía
potencial gravitacional de una masa m’ ubicada en el
punto medio de las dos; (b)¿Cuál es la fuerza
gravitacional ejercida sobre m’ ?; (c) ¿Cuál es la
velocidad de escape ve?¿Dependerá ésta de la
dirección
?.
a
m
a
m’
2m
La energía potencial
gravitacional de la masa m’ es:
m m'
m m'
m' ( 2m)
m m'
φ = −G
⇒ φ = −G
−G
= −3G
r
a
a
a
La fuerza que actúa sobre m’, es:
r
r
mr
2m r 
m m' r

F = m' g = m'  − G i + G
i  = G
i
a2
a2 
a2

a
m
a
-i
m’
i
F
2m
La velocidad de escape se define como la mínima velocidad
que debe darse a la partícula para que se aleje llegando al
infinito (se escape del sistema). Para que la masa m’ se
escape del sistema su energía debe ser no negativa. La
mínima energía que debe tener es por consiguiente E = 0, o
sea, la energía cinética debe ser de igual magnitud que la
energía potencial pero de signo contrario.
1 2
3mm'
Ek = m ve = G
de donde ve =
a
2
6Gm
a
2.- Una barra homogénea de longitud L y masa M está
a una distancia h de una masa puntual m. Calcúlese la
fuerza sobre m.
Como existe una interacción entre dos masas, una m y otra
M, la segunda dependerá de su acercamiento a la masa m,
entonces su masa por unidad de longitud es constante,
luego:
y
M dM
M
=
⇒ dM =
dx
L
dx
L
h
L
dx
m
x
x
r
r
l + h M dx r
dM r
F = −Gm
er ⇒ F = Gm
i
2
2
h
L
r
x
∫
r
mM
F =G
L
∫
L+h r
 1
− x 
 h
1
1 r

− L + h + h  i


r
r
mM  L  r
mM r
F =G
i ⇒F =G
i


L  h( L + h ) 
h(L + h )
mM
i =G
L
3.-Discutir el campo gravitacional producido por dos
masas iguales separadas por una distancia 2 a.
P(x,y)
y
r2
r
m2
r1
m1 θ
(a,0) (x-a)
(-a,0)
El potencial gravitacional en el punto P viene dado por:
1 1
V = −G m + 
 r1 r2 
[
De la figura: r1 = ( x − a ) + y
2
2
]
1
2
1
[
r2 = ( x + a ) + y
2
2
]
1
2
2
De 2 en 1:
Para el cálculo
del campo
gravitacional
empleamos la
relación:
Asi tenemos:


1
1


V = −G m
+
1
1 
 (x − a )2 + y 2 2 ( x + a )2 + y 2 2 


[
] [
]
dV
dV
r
g = −∇φ ó g x = −
; gy = −
dx
dy

dV
x−a
gx = −
= −G m
dx
 (x − a )2 + y 2

dV
y
gy = −
= −G m
dy
 ( x − a )2 + y 2

+
3 
2
2 2
(x + a ) + y 

y
+
3 
2
2 2
(x + a ) + y 
[
] [
[
] [
3
2
3
2
x+a
]
]
2a
m
O
x
m
V
4.-Hallar el campo gravitacional producido por una
capa de materia extendida sobre un plano infinito
P
g
z
dR
r
O
R
Consideremos un plano constituido por una serie de
anillos, todos concéntricos, considerando el cálculo en
un punto P del espacio, cuya proyección es O en el
plano. Cada anillo posee radio R y espesor dR. Luego el
área cubierta es : 2πR dR.
Gm
V =−
r
Para una distribución discreta de masa:
En una distribución continua de masa,
tenemos:
Donde
M
dm = 
 A
dV = −

 dA = σ (2π R dR ) = 2π σ R dR

G (2πσ ) R dR
dV = −
De 3 en 2 :
r
(
r = z +R
De la figura :
De 5 en 4: V = −2πσ G
∫
∞
0
G dm
r
(z
R dR
2
+ R2
)
1
2
2
)
1
2
= −2πσ G (∞ − z )
2
1
2
3
4
5
6
La ecuación 6 es el potencial para el punto P, pero lo
que se requiere es la diferencia de potencial entre este
punto y el plano, por ello:
El potencial en el plano, o sea cuando z = 0
V = − 2πσ ∞
7
Luego la diferencia de potencial será;
V = −2πσ ∞ + 2 π σ z − ( −2πσ ∞ )
8
⇒ V = 2 πσ G z
El campo puede ser hallado mediante:
g=−
∂V
∂z
9
luego
g = −2πσG
10
5.- Determine el campo gravitacional debido a un
cuerpo esférico, en un punto P del espacio.
Consideremos una esfera hueca de radio a,
tal que su campo será hallado en el punto P,
ubicado a una distancia r del centro C de la
misma. Dividiremos la esfera en zonas
circulares estrechas, cuyos centros están
ubicados en la línea AB.