EJERCICIO 1 EJERCICIO 2

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
EJERCICIO 1
Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las
próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200
individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un
nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.
SOLUCIÓN
La proporción de abstencionistas es p0 =
40
= 0,4 ⇒ q0 = 0,6
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≥ 0,4
H1 : p < 0,4
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,4 ,

n 


0,4 ⋅ 0,6 
= N (0,4 , 0,0346)
200 
y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,4
0,0346
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 1% ⇒ α = 0,01 y (1 − α ) = 0,99
P(z ≤ 2,32) = 0,9898
2,32 + 2,33
0,99 = P(z ≥ −zα ) = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 2,325
(
)
P
z
≤
2
,
33
=
0
,
9901
2

Región de aceptación: (− 2,325 , + ∞ )
5º.- Localización del valor del estadístico
Si los dispuestos a votar son 75 de 200, los abstencionistas serán 125
125
0,625 − 0,4
Para p̂ =
= 0,625 ⇒ z =
= 6,5029 ∈ (− 2,325 , + ∞ )
200
0,0346
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la abstención será como mínimo del
40%.
EJERCICIO 2
Un profesor afirma que, en su centro, el porcentaje de alumnos que fuman no sobrepasa el 15%.
Si en una muestra de 60 alumnos se observa que 12 fuman:
a) ¿Es aceptable la afirmación del profesor con un nivel de significación del 0,01?
b) La afirmación anterior, ¿es la misma con un nivel de confianza del 90%?
SOLUCIÓN
1
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
p0 =
15
= 0,15 ⇒ q0 = 0,85
100
a)
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≤ 0,15
H1 : p > 0,15
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,15 ,

n 


0,15 ⋅ 0,85 
 = N (0,15 , 0,0461)
60

y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,15
0,0461
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 1% ⇒ α = 0,01 y (1 − α ) = 0,99
P(z ≤ 2,32) = 0,9898
2,32 + 2,33
0,99 = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 2,325
2
P(z ≤ 2,33) = 0,9901
Región de aceptación: (− ∞ , 2,325)
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
12
0,2 − 0,15
= 0,2 ⇒ z =
= 1,0846 ∈ (− ∞ , 2,325)
60
0,0461
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que el porcentaje de alumnos que fuman
no sobrepasa el 15%.
b)
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NC = 90% ⇒ (1 − α ) = 0,90 y α = 0,10
P(z ≤ 1,28) = 0,9897
1,28 + 1,29
0,90 = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 1,285
(
)
2
P z ≤ 1,29 = 0,9015
Región de aceptación: (− ∞ , 1,285)
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
12
0,2 − 0,15
= 0,2 ⇒ z =
= 1,0846 ∈ (− ∞ , 1,285)
60
0,0461
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Podemos afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el porcentaje de alumnos que fuman
no sobrepasa el 15%.
2
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
La decisión sobre ambas afirmaciones no sufre variación, si bien, al aumentar el nivel de
significación (o disminuir el de confianza), disminuye la abscisa positiva de la región de
aceptación al no ser tan exigente.
EJERCICIO 3
Hace diez años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 40% de los
estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas
conclusiones, se tomó una muestra de 78 estudiantes entre los que 38 eran fumadores.
a) Con un nivel de significación del 10%, ¿Se acepta que el porcentaje de fumadores entre los
universitarios es menor o igual que el 40%?
b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel
de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior?
SOLUCIÓN
a)
40
p0 =
= 0,4 ⇒ q0 = 0,6
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≤ 0,4
H1 : p > 0,4
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,4 ,

n 


0,4 ⋅ 0,6 
= N (0,4 , 0,0555)
78 
y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,4
0,0555
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 10% ⇒ α = 0,1 y (1 − α ) = 0,9
P(z ≤ 1,28) = 0,8997
1,28 + 1,29
0,9 = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 1,285
2
P(z ≤ 1,29) = 0,9015
Región de aceptación: (− ∞ , 1,285)
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
38
0,487 − 0,4
= 0,487 ⇒ z =
= 1,5676 ∉ (− ∞ , 1,285)
78
0,0555
6º. Conclusión
Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 10%, el porcentaje de alumnos que fuman supera el 40%.
b)
40
p0 =
= 0,4 ⇒ q0 = 0,6
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
3
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
H0 : p ≤ 0,4
H1 : p > 0,4
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,4 ,

n 


0,4 ⋅ 0,6 
= N (0,4 , 0,0447)
120 
y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,4
0,0447
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 5% ⇒ α = 0,05 y (1 − α ) = 0,95
P(z ≤ 1,64) = 0,9495
1,64 + 1,65
0,95 = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 1,645
(
)
P
z
≤
1
,
65
=
0
,
9505
2

Región de aceptación: (− ∞ , 1,285)
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
54
0,45 − 0,4
= 0,45 ⇒ z =
= 1,1186 ∈ (− ∞ , 1,645)
120
0,0447
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 5%, el porcentaje de alumnos que fuman no supera el 40%.
EJERCICIO 4
En una muestra aleatoria de 950 personas, el 20% estaba en desacuerdo con la política
económica del Gobierno. Contrasta, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis nula de
que al menos el 25% está en desacuerdo.
SOLUCIÓN
25
p0 =
= 0,25 ⇒ q 0 = 0,75
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≥ 0,25
H1 : p < 0,25
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,25 ,

n 


0,25 ⋅ 0,75 
 = N (0,25 , 0,014)
950

y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,25
0,014
4
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste bilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 5% ⇒ α = 0,05 y (1 − α ) = 0,95
P(z ≤ 1,64) = 0,9495
0,95 = P(z ≥ −zα ) = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒
P(z ≤ 1,65) = 0,9505
Región de aceptación: (− 1,645 , + ∞ )
zα = 1,645
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
20
0,2 − 0,25
= 0,2 ⇒ z =
= -3,5714 ∉ (− 1,645 , + ∞ )
100
0,014
6º. Conclusión
Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 5%, no es cierto que al menos el 25% esté en desacuerdo con la
política aludida.
EJERCICIO 5
De una muestra aleatoria de 170 propietarios de pequeños negocios, 119 manifestaron que la
fuente de financiación inicial fueron sus ahorros. Contrasta la hipótesis nula de que los ahorros
personales son la fuente de financiación para el 75% de los propietarios de pequeños negocios,
con un nivel de confianza del 90%
SOLUCIÓN
75
p0 =
= 0,75 ⇒ q0 = 0,25
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p = 0,75
H1 : p ≠ 0,75
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,75 ,

n 


0,75 ⋅ 0,25 
 = N (0,75 , 0,0332)
170

y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,75
0,0332
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste bilateral
5
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NC = 90% ⇒ α = 0,10 y (1 − α ) = 0,90
0,90 = P z ≤ z α  = Pz ≤ z α  − Pz ≤ − z α  = Pz ≤ z α  − 1 − Pz ≤ z α  =

2 
2 
2 
2 
2 








= 2 ⋅ Pz ≤ z α  − 1
2 

P(z ≤ 1,64) = 0,9495
1 + 0,90
Por tanto, Pz ≤ z α  =
= 0,95
⇒
z α = 1,645

2 
2

2
P(z ≤ 1,65) = 0,9505
Región de aceptación: (− 1,645 , 1,645)
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
119
0,7 − 0,75
= 0,7 ⇒ z =
= -1,506 ∈ (− 1,645 , 1,645)
170
0,0332
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 10%, la fuente de financiación inicial son los ahorros
personales.
EJERCICIO 6
A principios de año, un estudio en cierta ciudad indicaba que un 15% de los conductores
utilizaban el móvil con el vehículo en marcha. Con el fin de investigar la efectividad de las
campañas que se han realizado desde entonces para reducir estos hábitos, recientemente se ha
hecho una encuesta a 120 conductores y 12 hacían un uso indebido del móvil.
Plantea un test para contrastar que las campañas no han cumplido su objetivo, frente a que sí lo
han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de
significación del 4%?
SOLUCIÓN
15
p0 =
= 0,15 ⇒ q0 = 0,85
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≥ 0,15
H1 : p < 0,15
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,4 ,

n 


0,15 ⋅ 0,85 
 = N (0,15 , 0,0326)
120

y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,15
0,0326
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
6
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
NS = 4% ⇒ α = 0,04 y (1 − α ) = 0,96
P(z ≤ 1,75) = 0,9599
1,75 + 1,76
0,96 = P(z ≥ −zα ) = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 1,755
2
P(z ≤ 1,76) = 0,9608
Región de aceptación: (− 1,755 , + ∞ )
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
12
0,1 − 0,15
= 0,1 ⇒ z =
= -1,5337 ∈ (− 1,755 , + ∞ )
120
0,0326
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 4%, las campañas no han cumplido su objetivo
EJERCICIO 7
La empresa de transportes urgentes El Rápido afirma en su publicidad que al menos el 70% de
sus envíos llegan al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la
Asociación de Consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos y observa que 39 no llegaron
al día siguiente a su destino. Con una significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la
empresa?
SOLUCIÓN
70
= 0,7 ⇒ q0 = 0,3
p0 =
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p ≥ 0,7
H1 : p < 0,3
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,7 ,

n 


0,7 ⋅ 0,3 
= N (0,7 , 0,0458)
100 
y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,7
0,0458
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste unilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
7
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
NS = 1% ⇒ α = 0,01 y (1 − α ) = 0,99
P(z ≤ 2,32) = 0,9898
2,32 + 2,33
0,99 = P(z ≥ −zα ) = P(z ≤ zα ) ⇒ 
⇒ zα =
= 2,325
(
)
P
z
≤
2
,
33
=
0
,
9901
2

Región de aceptación: (− 2,325 , + ∞ )
5º.- Localización del valor del estadístico
Si 36 de 100 no llegaron a su destino, 61 sí lo hicieron.
61
0,61 − 0,7
= 0,61 ⇒ z =
= -1,9651 ∈ (− 2,325 , + ∞ )
Para p̂ =
100
0,0458
6º. Conclusión
Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 1%, damos por válida la afirmación de la empresa.
EJERCICIO 8
Una empresa de productos farmacéuticos afirma en su publicidad que uno de sus
medicamentos reduce considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90% de la
población.
Una asociación de consumidores ha experimentado dicho fármaco en una muestra de 200 socios
de la misma, y obtenido el resultado indicado en la publicidad en 170 personas.
Determina si la asociación de consumidores puede considerar que la afirmación de la empresa
es estadísticamente correcta a un nivel de significación de 0,05.
SOLUCIÓN
90
p0 =
= 0,9 ⇒ q0 = 0,1
100
1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa
H0 : p = 0,9
H1 : p ≠ 0,9
2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste
Contraste para la proporción:


p ⋅ q 
P̂ = N  p ,
= N 0,9 ,

n 


0,9 ⋅ 0,1 
= N (0,9 , 0,0212)
200 
y por tanto, el estadístico de contraste es Z =
P̂ − p
p⋅q
n
=
P̂ − 0,9
0,0212
3º.- Selección del tipo de contraste
Contraste bilateral
4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo
α = 0,05 y (1 − α ) = 0,95
0,95 = P z ≤ z α  = Pz ≤ z α  − Pz ≤ − z α  = Pz ≤ z α  − 1 − Pz ≤ z α  =

2 
2 
2 
2 
2 








= 2 ⋅ Pz ≤ z α  − 1
2 

8
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
1 + 0,95
Por tanto, Pz ≤ z α  =
= 0,975
2 

2
Región de aceptación: (− 1,96 , 1,96)
⇒
z α = 1,96
2
5º.- Localización del valor del estadístico
Para p̂ =
170
0,85 − 0,9
= 0,85 ⇒ z =
= -2,3589 ∉ (− 1,96 , 1,96)
200
0,0212
6º. Conclusión
Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.
Con un nivel de significación del 5%, el producto no reduce los síntomas de la alergia en más
del 90%
9