variaciones sin repetición.

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Sean A un conjunto finito con n elementos (n>0), es decir:
A = {a 1, a 2,..., a n }
Y sea r un número natural (r ≤ n).
ÍUna VARIACIÓN ORDINARIA O SIN REPETICIÓN DE ORDEN r DE A, es
una lista ordenada de elementos distintos de A, es decir:
(a 1, a 2,..., a r ) ∈ Ar es una VARIACIÓN ORDINARIA de r elementos de A, si
a i ≠ a j i ≠ j, i, j = 1, 2,...,r..
Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes si alguno de los elementos
de las dos listas no se encuentran en la otra, o bien si las dos listas contienen los
mismos elementos en distinto orden.
& Ejemplo, si A = {a,b,c}. Las posibles conjuntos de dos elementos sin repetición que
podemos formar son: {a,b};{a,c};{b,a};{b,c};{c,a};{c,b}.
ÍSi
(a1, a2, ... , ar) es una variación sin repetición de r elementos de A, entonces
podemos asociarle la aplicación f : {1,2, . . . ,r} → A : i → f(i) = a i . f(i) ≠ f(j) ∀ i ≠ j ;
1 ≤ i , j ≤ r;
ÍAnálogamente a cada aplicación inyectiva f : {1,2, ... ,r} → A. Le podemos asociar
una variación sin repetición de orden r (a1, a2 , ... , a r). Donde, ai = f(i).
ÍPodemos
definir una variación sin repetición de orden r como una lista ordenada
(a1,a 2,...,a r ) de elementos de A, o como una aplicación inyectiva f : {1,2, . . . ,r} → A.
) Cuando el conjunto A tiene pocos elementos, una forma gráfica de representar las
variaciones sin repetición de orden r, de un conjunto A que a veces nos es útil, es
mediante un bosque (conjuntos de grafos). Es decir, para cada elemento de A
representar un árbol con tantas ramificaciones, como variaciones posibles podamos
generar. Una representación gráfica de las variaciones sin repetición de dos elementos
del conjunto A = {a,b,c,d}, sería:
a
a
b
(a,b)
c
(a,c)
d
(a,d)
b
(b,a)
c
(b,c)
d
(b,d)
a
c
(c,a)
b
(c,b)
d
(c,d)
(d,a)
a
d
b
(d,b)
c
(d,c)
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ÍComo
el número de elementos del producto cartesiano de varios conjuntos, es el
producto de los números de elementos de dichos conjuntos, es claro que el número de
variaciones sin repetición de orden r de un conjunto de n elementos, es:
n veces
Vnr = ni( n − 1)i( n − 2 )i ... i( n − r + 1) =
n!
( n − r )!
# DEMOSTRACIÓN:La demostración de este resultado se basa en que el número de
aplicaciones inyectivas de un conjunto finito B de r elementos en otro conjunto A de n
elementos es n.(n-1)...(n-r+1). Pues si elegimos un elemento cualquiera de B, en el
conjunto de las aplicaciones inyectivas de B en A tendrá por imagen n posibles
elementos de A.
Una vez fijada dicha imagen, disponemos de n-1 posibles elementos de A como
imágenes del segundo elemento. Y continuando así el proceso, disponemos de n-(r-1) =
n-r+1 elementos distintos de A.
Y por el principio de multiplicación de conjuntos (|AXBX...XC|=|A|X|B|X...|C|)
Obtenemos:
n.(n-1) . . . (n-r+1) aplicaciones inyectivas de B en A.
Y en particular para B = {1,2, . . . , r} y A un conjunto de n elementos, obtenemos dicho
resultado. C.Q.D.
& Ejemplo, El número de variaciones sin repetición de dos elementos de un conjunto de tres
elementos es V32 = 3i2 = 6
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