05-LOGARITMOS Y APLICACIONES

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato
I.E.S. “Ramón Giraldo”
LOGARITMOS Y APLICACIONES
1.- LOGARITMOS
(
)
El logaritmo en base a > 0 y ¹ 1 de un número N es el exponente al que hay que elevar la base
para que dé dicho número:
log a N = x Û a x = N
Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base
el número e se llaman naturales o neperianos y se representaban por ln o L.
Propiedades elementales:
1) log a a = 1 y log a 1 = 0
2) log a a x = x
Otras propiedades:
3) log a MN = log a M + log a N
( )
æ Mö
4) log a ç ÷ = log a M - log a N siempre que N ¹ 0
èNø
5) log a N m = mlog a N
"m ÎR
Transformación de logaritmos:
log b N
ln N
6) log a N =
o mas generalmente log a N =
ln a
log b a
Otras propiedades:
1
son opuestos.
a
8) Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en
cualquier otra base.
7) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y
2. ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente.
Vamos a resolver los siguientes tipos de ecuaciones exponenciales:
1) Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base
2) Resolubles por cambio de variable
2.1. Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base
Para resolverlas, generalmente se descomponen en factores primos las bases, y se realizan las
operaciones necesarias hasta conseguir una igualdad de potencias con la misma base.
1
Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log para representar el logaritmo neperiano.
Cipri
Departamento de Matemáticas
1
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Ejemplo 1:
Resolver la ecuación 41- 3x = 2 x - 2
(2 )
2 1- 3x
= 2x- 2
Descomponemos en factores la base 4
2 2(1- 3x ) = 2 x - 2
Potencia de una potencia: se deja la base y se
multiplican los exponentes
Igualamos los exponentes (ya que las potencias
tienen la misma base)
Quitamos paréntesis
Agrupamos: las x a un miembro y los números
al otro
Operamos
2 (1 - 3x ) = x - 2
2 - 6x = x - 2
-6x - x = -2 - 2
-7x = -4
x=
-4 4
=
-7 7
Resolvemos: el coeficiente de x, pasa al otro
miembro diviendo, pero con su signo.
Ejemplo 2:
Resolver la ecuación 3 × 4 3x = 768
4 3x =
768
3
El 3 que está muliplicando, pasa dividiendo.
4 3x = 256
Efectuamos la división
(2 )
Descomponemos en factores primos las bases.
2 3x
= 28
Potencia de una potencia: se multiplican los
exponentes.
Igualamos los exponentes.
2 6 x = 28
6x = 8
x=
8 4
=
6 3
Resolvemos.
2.2. Resolubles por cambio de variable
Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir (factorizando las bases, aplicando las
propiedades de las potencias…) que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma. Dicha
exponencial nos da el cambio de variable que hay que hacer. Al realizar dicho cambio queda una
ecuación de las que ya sabemos resolver (de primer grado, de segundo, bicuadradas...).
Ejemplo 3:
Resolver la ecuación 9 x - 8 × 3 x - 5913 = 0
(3 ) - 8 × 3
x
- 5913 = 0
Descomponemos 9 en factores primos.
(3 ) - 8 × 3
x
- 5913 = 0
Intercambiamos los exponentes.
2 x
x 2
y 2 - 8y - 5913 = 0
Hacemos el cambio de variable 3x = y .
ì 8 + 154
= 81
8 ± 8 - 4 ×1× (-5913) ïï 2
y=
=í
2 ×1
ï 8 - 154 = -73
ïî 2
Resolvemos la ecuación cuadrática.
2
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
2
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ì81 ® 3x = 34 ® x = 3
3 =í
î-73 ® No tiene solución
x
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Deshacemos el cambio de variable y resolvemos
la ecuación original.
3. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Un sistema de ecuaciones es exponencial cuando al menos una de sus ecuaciones lo es.
Para resolver dichos sistemas utilizaremos las técnicas vistas en el apartado anterior, y los
transformaremos en sistemas lineales, que resolveremos por método que consideremos más
adecuado.
Ejemplo 4:
ì2 x × 2 y = 256
Resolver el sistema exponencial í
îx - y = 4
2 x × 2 y = 28
2 x + y = 28
x+y=8
ìx + y = 8
í
îx - y = 4
ìx + y = 8
í
îx - y = 4
2x
12
= 12 ® x =
= 6® y= 8-6= 2
2
(x, y ) = (6, 2 )
Factorizamos 256 en la primera ecuación.
Multiplicamos potencias que tienen la misma
base.
Igualamos los exponentes, ya que tienen la
misma base.
Este es el sistema lineal que tenemos que
resolver.
Lo hemos resuelto por el método de reducción.
Es la solución del sistema.
Ejemplo 5:
ì2 x + 5 y = 9
ï
Resolver el sistema exponencial í 1 x
y
ï2 × 2 + 5 ×5 = 9
î
u = 2x
v = 5x
Cambio de variable
despejamos ru = 9 - v
ìu + v = 9 uuuuuuuuuuuuuuuuu
1
ï
] ( 9 - v ) + 5v = 9
í1
2
ï u + 5v = 9
î2
Resolvemos el correspondiente sistema
lineal.
(u,v ) = (8,1)
Solución del sistema lineal.
2x = 8 ® x = 3
5 = 1® y = 0
y
Cipri
Sustituimos en el cambio de variable y
resolvemos el sistema original.
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3
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4. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Son ecuaciones en las que la incógnita viene afectada por el logaritmo.
No existe un procedimiento general para resolver todas las ecuaciones logarítmicas, por lo que en
cada caso concreto habrá que utilizar lo que sabemos:
1) Definición de logaritmo
2) Propiedades de los logaritmos
3) Igualdad de logaritmos
Ejemplo 6:
Resolver la siguiente ecuación: log 2 + log 11 - x 2 = 2 log (5 - x )
(
(
)
2
log éë 2 × 11 - x 2 ùû = log (5 - x )
(
)
)
Aplicamos las propiedades de los logaritmos.
2 × 11 - x 2 = (5 - x )
Igualamos las expresiones que hay dentro de los
logaritmos.
ì3
ï
3x - 10x + 3 = 0 ® x = í 1
ïî 3
Resolvemos la ecuación de segundo grado
correspondiente.
2
2
11 - 32 > 0 y 5 - 3 > 0
2
1
æ 1ö
11 - ç ÷ > 0 y 5 - > 0
è 3ø
3
x=3 y x=
1
3
Hay que comprobar que las soluciones cumplen
la ecuación logarítmica, es decir, que
11 - x 2 > 0 y 5 - x > 0 , para las x obtenidas.
Soluciones de la ecución.
5. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de las ecuaciones que lo forman lo
es.
Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas se aplicarán los procedimientos vistos en el
apartado anterior, para transformarlo en un sistema lineal o no lineal, que resolveremos por el
método que consideremos más adecuado.
Ejemplo 7:
ì x 2 - y 2 = 11
Resolver el siguiente sistema: í
îlog x - log y = 1
log
x
x
= 1 = log10 ® = 10 ® x = 10y
y
y
(10y )2 - y2 = 11
99y 2 = 11 ® y = ±
x = ±10 ×
1
3
Transformamos la segunda ecuación.
Sustituimos en la primera ecuación.
11
1
=±
33
3
Resolvemos la correspondiente ecuación de
segundo grado.
Hallamos los valores de x.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
4
Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato
(x, y ) = æç
10 1 ö
,
è 3 3 ÷ø
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Solución. Los valores negativos no valen.
6. APLICACIONES
Cipri
·
Se utilizan para resolver las ecuaciones en que la incógnita está en el exponente. Por
ejemplo, si nos piden el número de períodos T que hay que tener cierto capital C, para
que el montante (capital existente en cada momento) M, sea el que nosotros queramos,
hay de despejar T de la siguiente ecuación, aplicando logaritmos:
T
rö
log M - logC
æ
M = C ç1 + ÷ ® T =
è
rö
nø
æ
log ç 1 + ÷
è
nø
R
donde M = montante, C = capital, r =
= tanto por uno (R = rédito), n = número de
100
períodos por año y T = número de períodos total.
·
Para medir la sensibilidad de una película.
·
Para calcular números grandes.
·
Escala Richter para los terremotos.
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