6.6.1.1. Circuito RLC Serie

LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
PRÁCTICA 6
CIRCUITO RLC EN SERIE,
PARALELO, CIRCUITO RC COMO
INTEGRADOR Y DERIVADOR:
6.1. ASUNTO: Analizar la respuesta natural de los circuitos RLC en serie y paralelo,
Propiedad integradora y derivadora del circuito RC.
6.2. OBJETIVOS:
 Mediante simulación en Circuit Maker obtener los tres tipos de respuesta natural para el
circuito RLC en serie y paralelo.
 Determinar la constante de tiempo.
 Obtener la medida del sobreimpulso y del tiempo de estabilización.
 Desarrollar la respuesta que presenta el circuito RC ante un estímulo en forma de escalón.
 Observar la propiedad integradora del circuito RC.
 Verificar el momento en que aparece la propiedad derivadora del circuito RC.
6.3. MARCO TEÓRICO:
6.3.1. CIRCUITO RLC EN SERIE:
El circuito formado por una sola resistencia, una sola inductancia y una sola capacitancia es
el más sencillo en que tiene lugar disipación y almacenamiento de energía, tanto eléctrica
como magnética.
La ecuación diferencial del circuito RLC serie es de segundo orden; por lo tanto su solución
contiene dos constantes que están determinadas por dos condiciones, impuestas usualmente
a t=0. Según los valores relativos de los parámetros de los circuitos, la solución será
sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada.
El circuito RLC en serie mostrado en la figura 6.1. contiene una fuente de onda cuadrada.
6-1
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La función cuadrada se puede definir como una sucesión de funciones pares:

T
T
 

v (t )   AU 1  t  n   U 1  t   n  1  

2
2
 
n 0
T Periodo de la onda
A Amplitud
La transformada de una función paso desplazada es:

F ( s)   f ( t ) e

 st
dt  A  e
nT
2
0
 st
nT
A s
dt  e 2
s
Por lo tanto la transformada de v(t) será:

V ( s)  
n 0
nT
T
 s n  1 
A  s 2
2
e

e


s

y la corriente será:
I ( s) 
V ( s) 

Z
n 0
nT
T
 s n  1 
A  s 2
2
e

e


s

1

s R  Ls  

Cs 


nT
T

 s n 1  
A  s 2
1
2
I (s)   e
e


n 0 L 
 s2  R s  1 
L
CL 


factorizando el denominador se obtiene:
s2 
R
1
s
  s  s1  s  s2 
L
CL
con:
6-2
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2
S1  
R
1
 R
   
   
 2L
2L
LC
S2  
R
1
 R
   
   
 2L
2L
LC
2
donde

R
2L
w0 =
1
   2  w02
LC
w0 es la frecuencia angular con que oscila la respuesta.
 es la constante de amortiguamiento, es la que marca la rata de disminución de la
respuesta transitoria.
Se presentan tres casos posibles en esta solución: subamortiguado, críticamente
amortiguado y sobreamortiguado.
R
i
+
vR
-+
+
v
-
L
vL
C
+
vC
Figura 6.1. Circuito RLC serie
6.3.1.1 TIPOS DE RESPUESTA: FACTOR DE CALIDAD Q0:
Para estudiar las ondas de la solución, hay que distinguir, dependiendo de la naturaleza de
las raíces características, tres casos; estos tres casos se definen en la tabla . Las
condiciones que conducen a estos tres casos dependen de los valores relacionados a la
frecuencia angular y la constante de amortiguamiento.
6-3
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Tabla 
Condición
2
1
 R
  
 2 L  LC
Nombre del caso
Subamortiguado u
oscilatorio
Naturaleza de las raíces
Complejas conjugadas con
parte real negativa
2
Críticamente amortiguado
Negativas, reales e iguales
(S1=S2)
2
Sobreamortiguado
Negativas, reales y diferentes (S1 S2)
1
 R
  
 2L
LC
1
 R
  
 2 L  LC
El número L C R se representa por el símbolo Q0 y es llamado “el Q” del circuito RLC.
Los tres casos están relacionados por el Q, a través de las relaciones
Q02 > ¼ subamortiguado
Q02 = ¼ críticamente amortiguado
Q02 < ¼ sobreamortiguado
La transformada de la corriente queda en cada caso:
 Caso subamortiguado:

I (s)  
n 0
nT
T

 s n  1  
A  s 2
1
2
e

e

L
   s    jw0  s    jw0  
en el dominio del tiempo:

i (t )  
n 0
nT
 nT 
   jw0   t   
A  
nT      jw0   t  2 
2
e

 e
U 1  t 
jw0 L  
2  


  n  1 T 
  n 1 T 

 n  1T      jw0  t  2     jw0  t  2  
U 1  t 
e
 e

2 




 Caso críticamente amortiguado:

I (s)  
n 0
nT
T
 s n 1  
A  s 2
1 
2
e

e

2
L
   s    
6-4
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
en el dominio del tiempo:
 nT 
nT  
nT     t  2  


i (t )   U 1  t 

  I a  I b  t 
 e


2  
2 
n 0


  n  1 T 


 n  1T  
 n  1T    t  2  
U 1  t 
 Ia  Ib  t 
 e
2  
2  





Ia constante
Ib constante
 Caso sobreamortiguado:

I (s)  
n 0
nT
T

 s n  1  
A  s 2
1
2
e

e

L
   s    w0  s    w0  
en el dominio del tiempo:

i (t )  
n 0
nT
 nT 
   w0   t   
A  
nT      w0  t  2 
2
e

 e
U 1  t 
jw0 L  
2  


  n  1 T 
  n  1 T 

 n  1T      w0  t  2     w0  t  2  
U 1  t 
e
 e

2 




Las expresiones anteriores sólo representan unas respuestas que se repiten periódicamente
cada vez que aparece una de las ondas cuadradas:
A
t
Figura 6.2. Respuesta subamortiguada
6-5
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
A
t
Figura 6.3. Respuesta críticamente amortiguada
A
t
6.4. Respuesta sobreamortiguada
6.3.2. CIRCUITO RLC EN PARALELO:
El circuito RLC en paralelo es el dual del circuito RLC en serie, por lo cual su análisis es
similar al realizado en la práctica del circuito RLC en serie.
Con referencia al circuito de la figura 6.5. se puede escribir la ecuación de nodos:
v
i
R
L
C
Figura 6.5. Circuito RLC en paralelo
6-6
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
t
v (t ) 1
dv (t )
  v (t )dt  it 0   C
0
R
L t0
dt
con i (0  )  I 0 y v (0  )  V0
C
d 2 v (t ) 1 dv (t ) 1

 v (t )  0
R dt
L
dt 2
cuya solución v(t) es la respuesta natural buscada.
Con la ayuda de las ecuaciones diferenciales podemos deducir que la forma de la respuesta
natural para el circuito esta dado por la siguiente expresión:
v(t )  A1e S1t  A2 e S2t
S1     2  w02
S 2     2  w02
donde

1
2RC
w0 
1
LC
A1 y A2 son constantes arbitrarias que deben satisfacer las condiciones iniciales.
La respuesta descrita por las ecuaciones anteriores se aplica no sólo al voltaje v(t), sino
también a la corriente que circula en cada uno de los tres elementos del circuito. Obviamente , los valores de las constantes A1 y A2 para v(t) serán diferentes para las corrientes.
6.3.2.1. El circuito RLC en paralelo sobreamortiguado: El radical usado para calcular S1 y
S2 será real, y ambos, S1 y S2, serán reales cuando W0<. Por tanto , la respuesta v(t) puede
expresarse como la suma (algebraica) de dos términos exponenciales decrecientes, los
cuales tienden a cero conforme el tiempo aumenta sin límite. De hecho, como el valor
absoluto de S2 es mayor que el de S1, el término que contiene a S2 decrece más rápidamente
(figura 6.6), y para valores grandes del tiempo, puede escribirse la expresión límite:
v(t )  A1e S1t  0 conforme t  
6.3.2.2. El circuito RLC en paralelo críticamente amortiguado: ahora se ajustarán los
valores de los elementos para que  y W0 sean iguales. Si se intenta armar un circuito RLC
en paralelo que sea críticamente amortiguado, se estará intentando lo imposible; es
6-7
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
imposible poder hacer  exactamente igual a W0. El resultado de tal intento será siempre un
circuito sobreamortiguado o subamortiguado.
El amortiguamiento crítico se alcanza cuando =W0 y la ecuación diferencial queda:
d 2 v (t )
dv (t )
 2
  2 v (t )  0
2
dt
dt
La solución a la anterior ecuación es de la forma:
v(t )  e t  A1t  A2 
Debe notarse que la solución puede expresarse como la suma de dos términos, donde uno
de ellos es la exponencial negativa, pero el otro es t multiplicado por una exponencial
negativa (figura 6.6.).
6.3.2.3. El circuito RLC en paralelo subamortiguado: el coeficiente de amortiguamiento 
es menor que W0, por lo cual el radical que aparece en las expresiones de S1 y S2 se vuelve
negativo. Esto hace que la respuesta tome un carácter ligeramente diferente. Usando
números complejos, la respuesta exponencial se transforma en una respuesta senoidal
amortiguada (figura 6.6.); esta respuesta se compone por completo de cantidades reales,
siendo necesarias las cantidades complejas sólo para la obtención.
La respuesta después del proceso de simplificación queda de la siguiente forma:
v(t )  e t  A1  A2 Coswd t  j A1  A2 Senwd t
donde

V

w  w2   2
d
0
Subamortiguado
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado
t
Figura 6.6. Respuesta del circuito RLC en paralelo
6.3.3. PROPIEDAD INTEGRADORA DEL CIRCUITO RC:
6-8
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Una propiedad muy importante del circuito RC se encuentra al examinar la respuesta en el
intervalo 0<t<, es decir, al comienzo del régimen transitorio.
Para el circuito de la figura 6.7., supongamos que la capacidad esta inicialmente
descargada, con lo cual, para una fuente de tensión en escalón, la respuesta está dada por:
a
m
i(t)
+
v(t)
-
R
C
b
b
Figura 6.7. Circuito RC integrador
t
v mb (t )  V  1  e  
t 0 
  RC
vab
tensión de la entrada.
vmb tensión de la salida.
Si se estudia solamente el comienzo del régimen transitorio t/  1, la expansión en serie de
potencia de la función exponencial se puede aproximar a:
e
 t
 t
 1  
 
vmb (t )  V
t

La respuesta (tensión en la capacidad), para valores de t suficientemente “pequeños”, puede
aproximarse a la función rampa
vmb (t )  V
t

u( t )
t 
dado que la entrada al circuito es el escalón:
v(t )  VU (t )
Se deduce que, dentro de los límites de aproximación, la onda de la tensión en la capacidad
es proporcional a la integral de la onda de la fuente de tensión.
6-9
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
En la figura 6.8., se muestra la tensión en la capacidad debida a una tensión de entrada en
escalón, junto a la integral de esta última, que es una tensión en rampa. Es de observar en
este caso que la diferencia entre la tensión de salida y la integral de la tensión de entrada es
del 37% a t=, pero sólo del 5% a t=0.1.
vmb/v
1.0
Solución aprox.
(integral exacta)
Error 37%
0.63
0.12
Solución exacta
t/
0.5
Figura 6.8. Propiedad integradora del circuito serie RC
6.3.4. PROPIEDAD DERIVADORA DEL CIRCUITO RC:
Suponiendo que en el circuito de la figura 6.7., con la tensión en escalón aplicada, se desea
hallar la corriente i(t) en el circuito, o la tensión vam(t) en la resistencia.
Con la ley de tensiones de Kirchhoff
vam  vmb  V  Vu(t )
i (t ) 
V  V0  t 
e
R
vmb (0  )  V0
t  0
Se ve que la solución es la conocida caída exponencial mostrada en la figura 6.9.
v
i
 am
v
V
R
1

V0
V
V0 
6-10
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
t/
Figura 6.9. Propiedad derivada del circuito serie RC
Refiriéndose a la figura 6.9., se nota que la tensión en R es menor del 5% de su valor
inicial, después de transcurridas tres constantes de tiempo; es decir, es “prácticamente” cero
o igual a la pendiente de la tensión de entrada. Por este motivo, el circuito RC se denomina
circuito derivador, cuando se toma como “salida” la tensión en la resistencia, y para t>3.
6.4. PREINFORME:
6.4.1. Para un circuito RLC serie, determinar la expresión analítica general de la respuesta
natural de dicho circuito. Explicar los tres posibles casos de respuesta en función de la
frecuencia y del coeficiente de amortiguamiento. No repetir la misma teoría incluida en la
guía.
6.4.2. Exponer gráficamente cada uno de los comportamientos.
6.4.3. En un circuito RLC Tanto en serie y paralelo, como se define:
 La constante de tiempo.
 El sobreimpulso.
 El tiempo de estabilización.
6.4.4. Dado un circuito RLC serie, y otro paralelo; con L = 15 mH y C = 0.1 F, calcular los
valores necesarios de R para producir alternativamente los tres tipos de respuesta natural.
6.4.5. Tener claro los instrumentos a utilizar de tal forma que permitan medir con las
escalas correctas los datos necesarios (hacer lista de ellos).
6.4.6. Generalizar con un desarrollo matemático la propiedad integradora del circuito RC.
6-11
PRÁCTICA 6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS
6.4.7. Determinar cuales son las condiciones necesarias y suficientes para que un circuito
RC tenga propiedad integradora y derivadora.
6.4.8. Diseñar lo valores de R y C para que se cumpla la condición del numeral anterior.
6.5. PROCEDIMIENTO:
6.5.1. Simule en Circuit Maker todos los circuitos diseñados (RLC serie y paralelo, RC) con
sus correspondientes valores, y compruebe en forma práctica las respuestas para cada valor
de R.
6.6. INFORME:
6.6.1. Obtener de las simulaciones la constante de tiempo, el sobreimpulso y el tiempo de
estabilización. Mostrar y exponer la forma como se obtuvieron.
6.6.1.1. Circuito RLC Serie
 Caso Sobreamortiguado:
Tabla 1
Sobreimpulso
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
 Caso críticamente amortiguado:
Tabla 2
Sobreimpulso
6-12
LABORATORIO CIRCUITOS ELÉCTRICOS
 Caso subamortiguado:
Tabla 3
Sobreimpulso
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
Constante de tiempo
Tiempo de estabilización
6.6.1.2. Circuito RLC Paralelo
 Caso Sobreamortiguado:
Tabla 1
Sobreimpulso
 Caso críticamente amortiguado:
Tabla 2
Sobreimpulso
 Caso subamortiguado:
Tabla 3
Sobreimpulso
6.6.3. Realizar una comparación de las gráficas teóricas y las simuladas.
6.6.4. Examinar si en cada uno de los circuitos de derivación e integración se cumplieron
las condiciones para observar las propiedades.
6.6.5. Realizar conclusiones.
6.6.6. Indicar los problemas que se presentaron en la práctica.
6-13