OSCILACIONES FORZADAS EN UN CIRCUITO LRC

Laboratorio II de Física
Práctica Nº 3
Respuesta Transitoria
RESPUESTA TRANSITORIA EN UN CIRCUITO LRC SUBAMORTIGUADO
Prof. Omar Contreras
Para la polaridad indicada en la fuente de voltaje la corriente tiene la dirección
indicada y del signo de la carga en el condensador se debe cumplir que:
i
dq
.
dt
Un aumento en la corriente i produce una fuerza electromotriz inducida en la bobina
que se opone a dicho aumento, como indican los signos en la bobina.
Aplicando Kirchhoff:
L
di
q
 Ri   V (t) .
dt
C
R
-
V(t)
i
q
L
+
VA
C
+
t=0
+
VA
-
t
0
Función escalón de amplitud VA, en t = 0.
Sustituyendo la primera ecuación en la segunda obtenemos:
L
d2 q
dt
2
R
dq q
  V (t ) .
dt C
Para resolver esta ecuación debemos encontrar la solución de la homogénea y
sumarle la de la no homogénea: Para la homogénea supondremos una solución de la
forma:
qh (t)  K e st , con la cual, al sustituirla en la ecuación diferencial, obtenemos para s:
s2 
R
1
s
 0.
L
LC
Esta ecuación de segundo grado nos proporciona dos soluciones para s:
1
s 1 ,2
 R2
R
1  2
 .

  2 
2L 4L
LC 
Es decir, la solución más general, si s1 ≠ s2, será:
qh (t)  K1 e s1t  K 2 e s2t .
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Para la función escalón de amplitud VA en t=0, la solución particular de la no
homogénea es una constante dada por: qn h = C VA, y la solución total es:
q (t)  K1 e s t  K 2 e s t  C VA ,
donde las constantes K1 y K2 se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Para el oscilador subamortiguado, el cual estudiaremos en el laboratorio, por
definición se cumple que:
1
2
R2
1

, con lo cual los valores de s1 y s2 son complejos y la solución toma
2
LC
4L
entonces la forma:


q (t)  e  t K 1 ei' t  K 2 e i' t  C VA ,
donde:
1
R
 
,
 2L
y
 1
R2
'  

2
 LC 4 L
1
 2
 .

Usando
la
formula
de
Euler-De
Moivre:
e i  cos   i sen , la solución puede ser escrita:
q (t)  A e  t sen' t    C VA ,
la cual identificamos como una sinusoidal de frecuencia ’ cuya amplitud no es
constante sino que disminuye exponencialmente con un tiempo de relajación .
Nuevamente, las constantes A y  dependerán de las condiciones iniciales.
El voltaje en el condensador, dado por VC (t) = q(t) / C, lo podemos representar
gráficamente:
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VC(t)
A0 e
A1

t

 VA
A3
A5
VA
A2
o
t1
t2
t1+T’
t1+2T’
t
Para la componente oscilatoria del voltaje definiremos el Factor de Calidad Q como
el ángulo en radianes en que la energía decae desde algún valor inicial hasta dicho
valor dividido entre e. Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud,
podemos escribir:
R 
 t
L
,
El tiempo necesario para que la energía decaiga desde E0 hasta E0 e-1 esta dado por
tE = L/R, durante el cual el oscilador habrá oscilado ’ L / R radianes, así:
E  E0 e
Q
' L
.
R
PRE-LABORATORIO
Efectúe y deduzca todas las ecuaciones y cálculos que solo quedaron planteados
en la parte teórica.
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PARTE EXPERIMENTAL
1. Monte
el
siguiente
circuito,
usando
el
V0
L
generador de onda cuadrada a una frecuencia
VC
R
C
de 200 Hz y L=0,044 H ( n=1000 ), R=200 ,
C=0,1 F:
2. Manteniendo la amplitud de la entrada en 1 V, Mida cuidadosamente los
máximos y mínimos de las amplitudes Ai y los tiempos en los cuales se
obtienen dichos máximos/mínimos:
VA [V]
Si las Amplitudes se miden desde el centro de las oscilaciones, no es necesario el
valor de VA.
punto
1
2
3
4
5
6
7
Amplitud
[divisiones]
Ai - VA
[V]
Tiempo
[divisiones]
Tiempo
[ms]
3. Grafique en papel semilogarítmico los valores absolutos de las amplitudes
máximas menos VA en función del tiempo y a partir de la pendiente calcule el
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tiempo de relajación . Tome en cuenta que la pendiente debe ser calculada
con logaritmos naturales ( base e ).
 [s]
4. A partir de  calcule el valor de R/L:
R/L [/H]
5. Mida con el ohmímetro el valor de R incluyendo la resistencia de la bobina.
Siempre verifique que la fuente no esta conectada con el circuito, para que:
a. El voltaje de la fuente no interfiera con el voltaje de la batería interna
que usa el ohmímetro para medir las resistencias.
b. La fuente no presente otro camino en paralelo con la resistencia.
R []
6. Calcule el valor de L:
L [H]
7. Mida el valor del periodo de oscilación T’ y a partir de este calcule ’:
T’ [s]
’ [rad/s]
8. Calcule el valor de C:
C [F]
9. Calcule el valor de Q:
Q
10. Ajuste el barrido para ver varios periodos de la onda cuadrada y luego
observe en el osciloscopio el voltaje VR. Como VR  R
dq
dt
el término constante de la solución no homogénea desaparece y la oscilación
es alrededor del cero. Cambie la posición del canal del osciloscopio y
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verifíquelo. Si la tierra del osciloscopio es la misma del generador, deberá
modificar el circuito.
11. Escriba las conclusiones generales de la práctica:
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