Tema 6: Movimiento relativo

Tema 6: Movimiento relativo
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11
1
Situación en la asignatura
Introducción
Punto Material
Sólido Rígido
5 – Cinemática del sólido rígido
6 – Movimiento relativo
7 – Movimiento plano
Ondas
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2
Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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3
Movimiento relativo: traslación
Z0 Z
1
Z1
Y1
X1
X0
Trayectoria del coche vista
desde el suelo
Trayectoria del coche vista
desde el tren
Y1
X1
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Y0
X1
Y1
Y0
X0
4
Movimiento relativo: rotación
Z1
Z1 Z0
Y0
X1
Y1
Y1
X1
X0
Trayectoria del coche vista
desde el sistema que gira
con la plataforma
Y0
X0
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Trayectoria del coche vista
desde el sistema fijo al suelo
Y1
X1
5
Movimiento relativo: aplicaciones
Rotación de la Tierra
Z 1 Z0
Un sistema solidario a la tierra
es un sistema en rotación
Y0
X1
Y1
X0
Composición de movimientos
El movimiento de un punto de
la hélice se describe más
fácilmente intercalando un
sistema de referencia auxiliar
Y2
P
X2
Z1 Z0
Y0
Z2
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X1
X0
Y1
6
Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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7
Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de Poisson
P
El vector a(t) se mueve solidariamente con el
sólido (triedro) 0
0
Z0
Z1
1
0
Q
O
O1
Y1
Y0
X0
X1
 0 1 es el vector rotación total instantáneo del
0
Z0
Z1
1
0
O
1
X1
O1
Y1
X0
Y0
movimiento del sólido 0 respecto al sólido 1
La fórmula también funciona a la inversa,
suponiendo el sólido 0 en reposo y el 1 moviéndose
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Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de Poisson
Z0
Z1
1
i0
k1
i1
O1 j1
X0
k0
0
Los vectores de la base del triedro 0 se mueven
respecto al triedro 1
O
j0
Y0
Y1
X1
Un vector cualquiera puede expresarse en los dos sistemas
Variación temporal del vector A(t) respecto
al triedro 1
Variación temporal del vector A(t) respecto
al triedro 0
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Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de Poisson
Z0
Z1
1
i0
k1
i1
0
k0
O
X0
O1 j1
Notación en forma de operador
j0
Y0
Y1
X1
Notación en forma de operador con subíndices
generalizados
Zi
Zj
ki
j
ii
kj
ij
Oj
Xi
jj
Oi
ji
i
Yi
Yj
Xj
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10
Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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Notación y definiciones
Cada sólido rígido es un triedro infinito, tenga o
Z1
Z0
X0
1
0
no partes materiales
Al moverse, los sólidos se ”atraviesan” unos a
1
X1
O
O1
Y1
Y0
otros
Cada punto geométrico del espacio pertenece
Z2
P2
simultáneamente a todos los sólidos definidos
P1
En cada punto geométrico del espacio se
superponen en cada instante varios puntos
2
O2
2
P0
X2
1
puntos superpuestos se mueve con su
X0
sólido correspondiente
X1
O2
O1
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Y1
X0
O
Y0
Z0
0
Y2
Y2
X2
Z1
En el instante posterior, cada uno de esos
Z2
Z0
0
O
Y0
12
Notación y definiciones
{ij} mov. del sólido ”i” respecto al sólido observador ”j”
Magnitudes cinemáticas
Velocidad angular del sólido “i” respecto al “j”
Aceleración angular del sólido “i” respecto al “j”
Vector de posición del punto P perteneciente al sólido “i” respecto al sólido “j”
Vector de velocidad del punto P perteneciente al sólido “i” respecto al sólido “j”
Vector de aceleración del punto P perteneciente al sólido “i” respecto al sólido “j”
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Notación y definiciones
2
Z1
Si sólo hay tres sólidos
O1P
”1” sólido de referencia
”0” sólido intermedio
”2” sólido problema
1
X1
Z2
P
1
Y1
O1
2
O2
OP
X2
Z0
X0
0
O1O
0
Y2
O
Y0
{21} mov. absoluto
{20} mov. relativo
{01} mov. arrastre
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14
Notación y definiciones
2
Z1
Para dos sólidos genéricos “i”, “j”
O1P
1
X1
Y1
O1
2
O2
OP
X2
0
O1O
0
Y2
Z0
X0
Campos de velocidad y aceleración
Z2
P
1
O
Y0
El movimiento entre dos sólidos se puede descomponer en dos movimientos
introduciendo un sólido intermedio
{ij}={ik}+{kj}
Leyes de composición
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Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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Composición de velocidades
2
Z1
En un instante dado
Z2
P
1
2
O2
1
X1
O1
Y1
Esta expresión no es derivable en el tiempo
El punto P no está asignado a un sólido
determinado
Para cualquier instante
X2
Z0
X0
0
Y2
0
O
Y0
Cada uno de los vectores esta asociado a un punto de un sólido
Esta expresión es derivable en el tiempo
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Composición de velocidades
2
Z1
Derivamos respecto del tiempo
Z2
P
1
2
O2
1
X1
O1
Y1
OP
X0
0
Derivable en el tiempo
Y2
X2
O
0
Z0
Y0
Con validez instantánea
No derivable en el tiempo
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Composición de velocidades angulares
2
Z1
Ley de composición de velocidades
Z2
P
1
2
O2
Ecuación del campo de velocidades
1
X1
O1
Y1
X2
Z0
X0
Reagrupando
0
Y2
0
O
Y0
Ley de composición de velocidades angulares
Esta expresión es derivable en el tiempo
Tomando i=j
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Composición de velocidades: traslación
Z2
Z0 Z
1
0
vT=vO01
2
vc=vP21
P
2
O1
X0
0
X1
O
O2
X2
Coche respecto al paso a nivel {21}
Tren respecto al paso a nivel {01}
1
Y1≡Y2
Coche respecto al tren {20}
Y0
Trayectoria respecto al suelo
Y1
P
X1
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20
Composición de velocidades: traslación
Z2
Z0 Z
1
0
vT=vO01
2
vc=vP21
P
2
O1
X0
0
X1
O
O2
X2
Coche respecto al paso a nivel
Tren respecto al paso a nivel
1
Y1≡Y2
Coche respecto al tren
Y0
Trayectoria respecto al tren
P
Y0
X0
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21
Composición de velocidades: rotación
Z1≡Z0
Z2
O1=O
1
X1
Y2
2
Y1
P
X2
0
X0
X0
X2

P
0
0
Plataforma respecto al suelo {01}
Y1
Y0
Y0
2
0
2
d(t)

O1=O
1
X1
Coche respecto al suelo {21}
Coche respecto a la plataforma {20}
Distancia recorrida sobre la plataforma
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22
Composición de velocidades: rotación
Z1≡Z0
Z2
2
0
O1=O
1
X1
Y0
Y2
Y1
P
Y1
Y0
2
X2
2
d(t)
0
X0
X2

P
0

0
O1=O
X0
1
X1
Trayectoria respecto a la plataforma
Y0
P
El vector i0 es constante visto desde “0”
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X0
23
Composición de velocidades: rotación
Trayectoria respecto al suelo
2
d(t)
Y1
Y0
0
Expresión en la base fija
X0
X2

P
0

O1=O
Integrando en el tiempo
1
X1
Y
X
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Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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25
Composición de aceleraciones
2
Z1
Ley de composición de velocidades derivable en el tiempo
Z2
P
1
2
O2
Derivación respecto del tiempo desde el sólido “1”
1
X1
O1
Y1
OP
X0
0
Y2
X2
O
0
Z0
Y0
Derivable en el tiempo
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26
Composición de aceleraciones
2
Z1
Buscamos una expresión mas sencilla en términos de
composición de movimientos
Z2
P
1
2
O2
1
X1
O1
Y1
OP
X0
Validez instantánea
0
Y2
X2
O
0
Z0
Y0
Teorema de Coriolis
Tomando i=j
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Composición de aceleraciones angulares
2
Z1
Ley de composición de velocidades angulares
Z2
P
1
2
O2
Derivamos respecto al tiempo desde el sólido “1”
1
X1
O1
Y1
OP
X0
0
Y2
X2
O
0
Z0
Y0
Ley de composición de aceleraciones angulares
Tomando i=j
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Composición de movimientos
2
Z1
Velocidades
Z2
P
1
2
O2
Instantánea
1
X1
O1
Y1
OP
X0
Velocidades angulares
0
Y2
X2
O
0
Z0
Y0
Aceleraciones
Instantánea
Aceleraciones angulares
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29
Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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30
Pares cinemáticos
Z2
El sólido rígido libre tiene 6 grados de libertad
X2
2
Z1
Y2
La reducción cinemática en cualquier punto tiene 6
componentes independientes
1
O1
X1
Y1
Z2
X2
Z1
Y1
1
O1
X1
2
Y2
El sólido rígido vinculado tiene sus movimientos
limitados, por tanto tiene menos grados de libertad
El numero de componentes independientes de la
reducción cinemática es igual al número de grados de
libertad
Un par de sólidos vinculados y en movimiento relativo
es un par cinemático
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31
Sólidos en contacto puntual
Las superficies de los sólidos están siempre
en contacto puntual
2
 es el plano tangente común

O
1
 r o d2 1 (rodadura) es la rotación alrededor de un eje paralelo al plano 
 p i v2 1 (pivotamiento) es la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano 
vd e s2 1 es la velocidad de desplazamiento, paralela al plano 
Cada sólido tiene 5 grados de libertad
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32
Pares cinemáticos: ejemplos
Par
cilíndrico
Par de
revolución
Z1
Par
esférico
Par
helicoidal
Z1
Z1
Z1
2
2
2
O
O
2
O
Y1
1
X1
1
Y1
Cojinete de
sustentación
X1
1
X1
Y1
Bisagra
1
h
Y1
X1
Rótula
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Tornillo
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Índice
Introducción
Derivación en triedros móviles
Notación y definiciones
Composición de velocidades
Traslaciones
Rotaciones
Composición de aceleraciones
Traslaciones
Rotaciones
Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
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34
Sistemas de referencia no inerciales
Un punto material realiza un movimiento circular con velocidad angular constante
Z1,Z0
0 1
Y0
Y1
O
R

X1
Z2
F
a P2 1 P
v P2 1
X0,X2
Aplicamos la Segunda Ley de Newton en el sistema OX1Y1Z1 para obtener la fuerza
Es una fuerza centrípeta
Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton pues el sistema “1” es un S.R.I.
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35
Sistemas de referencia no inerciales
¿Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en el sistema “0”?
Es un sistema no inercial
No se puede aplicar la Segunda Ley
¿Hay alguna forma de analizar el problema desde el sistema “0”?
Z1,Z0
R
Z2
0 1
Y0
Y1
O

X1
F
P
-maP0 1
X0,X2
En el sistema “0” la partícula está en reposo
Para poder analizar la dinámica en el sistema “0” hay que introducir fuerzas de inercia
-maP0 1 es, en este caso, la fuerza centrífuga, que no es la reacción de la centrípeta
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36
Sistemas de referencia no inerciales
Segunda Ley de Newton en un sistema no inercial ( 0 1≠0 y/o aO0 1≠0 )
m
2
Fa r r es la fuerza de arrastre
Fc o r es la fuerza de Coriolis
Propiedades de la fuerzas de inercia
Fa r r
Fc o r
F
F es la fuerza real en el S.R.I.
P
0
O
S.R. no
inercial
1
S.R.I.
Son aparentes o ficticias para el observador inercial, pero para el no inercial tienen los
mismos efectos que una fuerza real (realizan trabajo, pueden ser conservativas)
Son proporcionales a la masa
No añaden incógnitas al problema dinámico {20} (conocido el movimiento {01})
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37
Fuerza de Coriolis
El sólido 2 es un punto P moviéndose con velocidad v0
Z1,Z0
paralela la superficie de la Tierra
0 1
Fc o r
Derecha
P
vP 2 0 Y 0
El término de Coriolis empuja el sólido hacia la derecha en
Fc o r
el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur
v P2 0
X1
Hemisferio norte
0 1
Fc o r
Hemisferio sur
Fc o r
P Y1
Izquierda
X0
Derecha
vP 2 0
vP 2 0
Izquierda
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38
Fuerza de Coriolis
Este efecto se deja sentir sólo en sistemas de tamaño muy grande o que
se mueven muy rápido, o en los que se acumula el efecto en el tiempo
Huracanes
Péndulo de Foucault
El efecto en el sentido de giro del agua en los desagües es despreciable
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39
Fuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanes
En las tormentas, una zona de bajas presiones relativas atrae el aire formando un
corriente convergente de aire
En el hemisferio norte el flujo de aire se desvía hacia la derecha, y en el hemisferio
sur hacia la izquierda, formando la estructura espiral del torbellino
Hemisferio norte
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Hemisferio sur
40
Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault
El término de Coriolis hace girar el plano de oscilación de un péndulo


vP2 0
0
Fc o r=-2m0 1×vP2 0
En cada oscilación, el término de
Coriolis empuja al péndulo hacia
la derecha (en el hemisferio norte)
2
Z1,Z0
B1

 01
B2
Y0

X1
Y1
X0
A2
A1
Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11
A lo largo del tiempo, el plano de
oscilación gira respecto a la
Tierra, pero no respecto al
espacio. Esto demuestra que la
Tierra tiene un movimiento de
rotación
41
Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault
Experimento de Foucault en
el Pantheon en París, 1851
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Péndulo de Foucault en
el Pantheon en París
42
Resumen
Fórmulas de Poisson
Describe como varía en el tiempo un vector solidario con un sólido rígido
Notación y definiciones
Velocidad, aceleración, velocidad angular y aceleración angular
Leyes de composición
Velocidades
Aceleraciones
Velocidades angulares
Aceleraciones angulares
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43
Resumen
Pares cinemáticos
El sólido vinculado tiene menos grados de libertad
Ejemplos de pares
Contacto puntual
Revolución (bisagra)
Esférico (rótula)
Helicoidal (tornillo)
Cilíndrico (cojinete)
Dinámica en sistemas de referencia no inerciales
Fuerzas de inercia
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44