MODELAMIENTO DE LA CARGA QUE SE TRANSMITE A UN

MODELAMIENTO DE LA CARGA QUE SE TRANSMITE A UN
PILOTE. CASO DEL PUENTE DE BAHÍA DE CARÁQUEZ
Dr. Roberto Aguiar Falconí y Ing. Dalia Espinoza
Centro de investigaciones científicas
Escuela Politécnica del Ejército
RESUMEN
Se presenta la obtención de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento, para el
análisis sísmico de pilotes, empleando elementos finitos con masa uniforme distribuida.
Luego se realiza el análisis de tres pilotes de 7 m, 11 m y 15 m de longitud utilizados en la
construcción del tramo de acceso en Bahía de Caráquez, al puente que une Bahía con San
Vicente; ante la componente horizontal del sismo del Centro de 1940.
La carga proveniente de la superestructura y que gravita sobre el pilote ha sido
considerada en seis modelos que van hasta la profundidad máxima alcanzada en el bulbo de
presiones de Boussinesq. El objetivo del estudio es encontrar el modelo más adecuado para
repartir la carga de la superestructura.
ABSTRACT
One presents the obtaining of the mass, stiffness and damping matrix, for the seismic
analysis of piles, using finite elements method with uniform distributed mass.
Then there is realized the analysis of three piles of 7 m, 11 m and 15 m of length used in
the construction of Bahía de Caráquez’s access section, to the bridge that joins Bahía with San
Vicente; by the horizontal component of El Centro’s earthquake of 1940.
The load from the superstructure that gravitates on the pile has been considered in six
models that they go up to the maximum depth reached in the bulb of Boussinesq's pressures. The
object of the study is to find the model most accurate to distribute the load of the superstructure.
III CONGRESO NACIONAL DE GEOTECNÍA
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2 1. INTRODUCCIÓN
Sobre un pilote de un puente actúan las siguientes cargas verticales: el peso del cabezal
del pilote, el peso de las pilas, el peso de las vigas del puente, el peso del tablero y el peso de los
vehículos y gente que transitan por el puente. Ahora bien, como se puede modelar esta carga
cuando se realiza el análisis sísmico de un pilote en forma aislada. Una forma es concentrar todo
este peso en la parte superior del pilote pero que también es esta modelación cuando se analiza
un pilote con elementos finitos.
Este es el problema a resolver en este artículo examinar las respuestas que se tienen al
concentrar toda la masa en un solo elemento finito, en dos elementos finitos, en tres y así
sucesivamente. Lo lógico sería que el número de elementos a considerar dentro del pilote sea
aquel hasta donde se llega con el Bulbo de presiones de Boussinesq en 1885.
Figura 1 Bulbo de presiones.
En la figura 1 se presenta el bulbo de presiones transmitida al suelo por una carga
concentrada P. La presión σ se obtiene con la siguiente ecuación:
σ z = k.
P
z2
(1)
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 3
Donde P es la carga concentrada, Z es la profundidad media a partir de la superficie libre
de suelo y k es un parámetro que se halla con la siguiente expresión:
k=
3
1
.
5
2
2
2π ⎡
⎤
r
1+
z ⎥⎦
⎢⎣
( )
(2)
Siendo r la distancia perpendicular desde el eje de la carga hasta el punto donde se
desea obtener la presión. Como se observa en la figura 2. Torres (2006)
Figura 2 Representación de la distancia z y r.
En el pilote que se va a analizar, la carga que gravita sobre él es 166,5 T. Al Aplicar las
ecuaciones (1) y (2) se obtienen los bulbos de presiones indicados en la figura 3; se destaca que
se consideró r = 0 , ya que lo que interesa es ver las presiones en el pilote.
Figura 3 Bulbo de Presiones Para la Carga del Pilote
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4 2. MARCO TEÓRICO
Se modela el elemento finito con masas distribuidas, para ello las funciones de forma, para
un elemento totalmente flexible, de sección constante, son: Aguiar (2004)
(3)
Donde L es la longitud del elemento, x es la abscisa que define a un punto P, medida
desde el nudo inicial.
Elementos k (i, j) de la matriz de rigidez del elemento se obtiene con la siguiente fórmula:
(4)
Siendo Фi , Фj la segunda derivada de las Funciones de Forma
Al derivar dos veces las funciones de forma indicadas en la ecuación (3) y luego de integrar
con la ecuación (4) se halla la matriz de rigidez del elemento en las coordenadas locales indicadas
en l figura 4.
5
4
6
2
1
3
L
Figura 4 Sistema de coordenadas locales.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 5
⎡t
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0 −b −t
r 0
0
k
b
t
0
−r
0
0
r
− b⎤
0 ⎥⎥
a ⎥
⎥
b ⎥
0⎥
⎥
k ⎥⎦
(5)
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección
transversal, β es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección transversal,
G es el módulo de corte y L la longitud del elemento.
Por otra parte, para encontrar los elementos m ( i , j ) de la matriz de masa, se obtienen
con la siguiente ecuación.
(6)
Siendo
la masa por unidad de longitud; las otras variables han sido ya indicas
La matriz de masas que se obtiene es la siguiente:
0
0
70
0
0 ⎤
⎡140
⎢ 0
− 13L ⎥⎥
156
22 L
0
54
⎢
− 3L2 ⎥
22 L
4 L2
0
13L
m*L ⎢ 0
⎢
⎥
0
0
140
0
0 ⎥
240 ⎢ 70
⎢ 0
54
13L
0
156 − 22 L ⎥
⎢
⎥
2
0 − 22 L 4 L2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 − 13L − 3L
La matriz de rigidez de la estructura K
directo. Aguiar (2004, 2008)
(7)
y de masa M se obtiene por ensamblaje
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6 Obtenidos los modos de vibración, con las matrices K y M, se calcula la matriz de
amortiguamiento por el Algoritmo de Wilson y Penzien.
(8)
(9)
Donde ξ es el factor de Amortiguamiento, Wni es las frecuencias de vibración, M es la
matriz de masas y Ф es el modo de vibración.
Finalmente se obtiene la respuesta en el tiempo con el sistema de ecuaciones
diferenciales:
M +C +K q =
Donde
(10)
es el vector de incidencia de los grados de libertad con el movimiento del suelo y
es la aceleración del suelo.
Es importante destacar que las matrices M, C, K
fueron
condensadas a los grados de libertad horizontal y vertical, de tal manera que estas son las
coordenadas principales y los giros las coordenadas secundarias.
Esta ecuación se resuelve por medio del Procedimiento de espacio de estado tomando en
cuenta el comportamiento no lineal del suelo. Aguiar (2007).
3. APLICACIÓN
Como casa de aplicación se consideran los pilotes hincados en el tramo de acceso al
puente que une bahía de Caráquez con San Vicente.
Los pilotes hincados en el acceso Bahía son de hormigón pretensado de sección
rectangular de 50 cm x 50 cm y de 60 cm x 60 cm, con azuche de acero, de 2 m de longitud en la
punta del pilote, que sirve para darle mayor fijeza al pilote. En la figura 5 se presentan estos
pilotes.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 7
Figura 5 Pilotes de Acceso del Puente de Bahía.
Figura 6 Sección Transversal de los Pilotes.
En la figura 5 se muestra la armadura longitudinal de estos pilotes que tienen un límite de
fluencia de 4200 kg/cm2. La resistencia a la compresión del hormigón en los pilotes de 50 / 50 es
de 280 kg/cm2 y en los de 60 / 60 es de 350 kg/cm2. Finalmente los módulos de elasticidad son
2525618 T / m2 y 2509980 T / m2.
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8 En el acceso a Bahía se encuentran siete pilas distribuidas en la forma indicada en la figura
6 y detallados en la tabla 1: Romo (2009)
Figura 7 Pilotes dela Acceso del Puente de Bahía.
Tabla 1 Datos de los pilotes.
Pila
# Pilotes
Sección
Profundidad
1
8
50 x 50 cm
15 m
2
8
50 x 50 cm
13 m
3
8
50 x 50 cm
13 m
4
8
50 x 50 cm
7m
5
8
50 x 50 cm
7m
6
8
50 x 50 cm
8m
7
12
60 x 60 cm
11 m
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 9
3.1. Tipo de Suelo a orillas del rio sector Bahía
Hasta los 5 metros de profundidad se tiene un tipo de suelo CH, CL, SM esto es según la
clasificación de suelos SUCS, Estas siglas representan Arcilla arenosa y limosa aluviales color gris
verdoso de consistencia blanda o media con un número de golpes < 30 (SPT), además a lo largo
del tramo central aproximadamente hasta los 50 metros de longitud aproximadamente se considera
la misma estratigrafía; a una profundidad de 15 metros hay arcilla limosa residual de roca lutita de
color café amarillento o café grisáceo de consistencia media(CL,SC), con un numero de golpes que
va desde < =50 (SPT), también hay estratos de roca limotita gris oscura alterada, muy dura con
numero de golpes > 200 (SPT). Un tercer estrato que esta a una profundidad aproximada de 60
metros tiene arcilla arenosa y limosa aluviales color gris verdoso de consistencia blanda con N <
30. Bonifaz (2008)
Figura 8 Curva Carga – Deformación.
Figura 9 Curva Secante Carga – Deformación.
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10 En la figura 8 se aprecia la curva carga deformación, representativa del suelo, en el tramo
de acceso al puente de Bahía de Caráquez y en la figura 9 se tiene un modelo bilineal, el cual se
realizo el análisis sísmico no lineal, en este estudio se aprecia que se trabajó con la rigidez
secante. Beltrán (2008)
En Espinoza (2010) se detalla el cálculo de las cargas que gravitan en los pilotes y sobre
todo la obtención de la carga de 166,5 T que se indicó en la figura 3.
Se trabajó con elementos finitos de 1 metro de longitud y de acuerdo al bulbo de presiones
hasta una profundidad de 6 m se transmite la carga, ahora bien, en la figura 10 se muestran las
diferentes alternativas consideradas para el modelaje de la carga que gravita en el pilote. Así para
el caso denominado “1 masa” toda la carga de 166,5 T se concentra en un solo elemento finito,
que es el superior; para el caso “2 masas” la carga se divide para dos y se tiene cargas de 83,2 T
en cada elemento finito y así sucesivamente.
Figura 10 Distribución de Masas.
En el análisis sísmico a las cargas consideradas se añade la carga debida al peso propio
del pilote.
4. RESULTADOS
Como se indicó se encontró la respuesta en el tiempo, ante la componente horizontal en
sentido x del sismo de El Centro de 1940 que tiene una aceleración máxima de -306,94 gals.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE Figura 11 Respuesta en el tiempo de 0 - 5 seg.
11
12 III CONGRESO NACIONAL DE GEOTECNÍA
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Figura 12 Respuesta en el tiempo de 5 - 10 seg.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE Figura 13 Respuesta en el tiempo de 10 - 15 seg.
13
14 III CONGRESO NACIONAL DE GEOTECNÍA
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Figura 14 Respuesta en el tiempo de 15 - 20 seg.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE Figura 15 Respuesta en el tiempo de 20 - 25 seg.
15
16 III CONGRESO NACIONAL DE GEOTECNÍA
CICP
Figura 16 Respuesta en el tiempo de 25 - 30 seg.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE Figura 17 Respuesta en el tiempo de 30 - 35 seg.
17
18 III CONGRESO NACIONAL DE GEOTECNÍA
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Figura 18 Respuesta en el tiempo de 35 - 40 seg.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 19
Tabla 2 Valores máximos de desplazamientos en metros.
PILOTE
7 metros
11 metros
15metros
# MASAS
min
max
min
max
min
max
1
-0,0288
0,0246
-0,0212
0,0210
-0,0287
0,0238
2
-0,0373
0,0321
-0,0306
0,0311
-0,0391
0,0338
3
-0,0483
0,0415
-0,0353
0,0297
-0,0504
0,0433
4
-0,0405
0,0319
-0,0384
0,0360
-0,0403
0,0325
5
-0,0418
0,0402
-0,0405
0,0417
-0,0427
0,0385
6
-0,0404
0,0432
-0,0342
0,0314
-0,0410
0,0452
Figura 19 Valores máximos de desplazamientos.
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20 Tabla 3 Períodos de Vibración
# de
masas
7 metros
1
0,3593
0,3502
0,4246
2
0,4079
0,3851
0,4356
3
0,4355
0,3987
0,4225
4
0,4381
0,3901
0,3924
5
0,4251
0,3701
0,3595
6
0,4050
0,3469
0,3306
11 metros 15 metros
5. CONCLUSIONES
Se ha presentado el marco teórico para el análisis sísmico de pilotes, con elementos finitos
con masa uniforme distribuida, y se ha realizado un análisis sísmico de tres pilotes de 7 m, 11 m y
15 m, del tramo de acceso, en Bahía de Caráquez, al puente que une bahía con San Vicente
considerando seis modelos de distribución de la carga que llega de la superestructura la pilote. Del
estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones:
•
La respuesta sísmica es función de la forma que se reparte la carga de la superestructura
en le pilote.
•
Concentrar toda la carga en la cabeza del pilote conduce a resultados bajos en los
desplazamientos.
•
Lo recomendable es encontrar los bulbos de presiones y de acuerdo a ello ver hasta que
profundidad llega la presión. Para el caso en estudio se debe repartir cada carga en una
longitud que va de 4 a 6 metros.
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2004), “Análisis Matricial de Estructuras”, Centro de Investigaciones Científicas,
Escuela Politécnica del Ejercito, Tercera Edición, 31 p, Quito.
2. Aguiar R., (2007), “Dinámica de Estructuras con MATLAB”, Centro de Investigaciones
Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 205 p. Quito.
3. Aguiar R., (2008), “Análisis Sísmico de Edificios”, Centro de Investigaciones Científicas,
Escuela Politécnica del Ejercito, 66 p, Quito.
4. Aguiar, (2009), “CEINCI – LAB* Un software educativo”, Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejercito, Quito.
AGUIAR R., ESPINOZA D.
CEINCI-ESPE 21
5. Romo, (2009), “Rediseño Estructural del Puente Bahía – San Vicente”, Cuerpo de Ingenieros
del Ejército, Bahía de Caráquez.
6. Bonifaz, (2008) “Informe de Estudio de Suelos del Acceso en Bahía de Caráquez”, Escuela
Politécnica del Ejercito, Quito.
7. Beltrán, (2008) “Informe de Estudio de Suelos Bahía de Caráquez”, Cuerpo de Ingenieros del
Ejército, Bahía de Caráquez.
8. Torres, (2006), “SUELOS 1 Notas de Clase“, Escuela Politécnica del Ejercito, Carrera de
Ingeniería Civil, diapositiva 629, Quito.
9. Espinoza, (2010), “Análisis Sísmico de Pilotes con Elementos Finitos”, Tesis de Grado en
Ingeniería Civil, Escuela Politécnica del Ejercito, En ejecución, Quito.