apuntes y problemas

Capı́tulo 5.
Dinámica en una dimensión I
1.
Fuerzas de rozamiento
Si en una mesa horizontal larga arrojamos un bloque de masa m con una velocidad
inicial vo , llegará a detenerse. Esto significa que mientras se está moviendo, experimenta una aceleración media a que apunta en sentido opuesto a su movimiento.
Si vemos que un cuerpo está siendo acelerado, siempre pensaremos en una fuerza,
relacionada con el movimiento, definida de acuerdo con la segunda ley de Newton. En este caso declaramos que la mesa ejerce una fuerza de rozamiento sobre
el bloque que se desliza, cuyo valore medio es ma. En realidad, siempre que la
superficie de un cuerpo desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una fuerza de
rozamiento sobre el otro cuerpo, siendo dichas fuerzas paralelas a las superficies.
Las fuerzas de rozamiento automáticamente se oponen al movimiento y nunca lo
ayudan. Aunque no hay movimiento relativo, puede haber fuerzas de rozamiento
entre las superficies. En lo sucesivo consideraremos el deslizamiento de una superficie seca (no lubricada) sobre otra superficie.
1..1
Rozamiento estático
Las fuerzas de rozamiento que obran entre superficies que se encuentran en reposo
una con respecto de la otra, se llaman fuerzas de rozamiento estático. La máxima
fuerza de rozamiento estático será igual a la mı́nima fuerza necesaria para iniciar
el movimiento. El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático entre un
par cualquiera de superficies secas sigue las siguientes dos leyes empı́ricas. (1)
Es aproximadamente independiente del área de contacto, dentro de muy amplios
lı́mites y (2) es proporcional a la fuerza normal. Esta fuerza normal es la que
ejerce cualquiera de los dos cuerpos sobre el otro perpendicularmente a la cara de
contacto mutuo. La relación de la magnitud de la máxima fuerza de rozamiento
estático a la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de rozamiento
107
108
Capı́tulo 5
estático para las superficies de que se trata.
1..2
Rozamiento cinético
Una vez comenzado el movimiento, las fuerzas de rozamiento que obran entre las
superficies ordinariamente disminuyen, de manera que basta una fuerza menor
para conservar el movimiento uniforme. Las fuerzas que obran entre superficies
que se encuentran en movimiento relativo se llaman fuerzas de rozamiento cinético.
La relación de la magnitud de la fuerza de rozamiento cinético a la magnitud
de la fuerza normal se llama coeficiente de rozamiento cinético. Tanto el coeficiente de rozamiento estático µs como el coeficiente de rozamiento cinético µk son
constantes sin dimensiones, puesto que ambas son la relación de (las magnitudes)
dos fuerzas. Ordinariamente, para una pareja dada de superficies, µs > µk . Los
valores numéricos de µs y µk dependen de la naturaleza de las dos superficies que
están en contacto.
2.
Fuerzas dependientes del tiempo
Hasta ahora hemos visto las definiciones más generales que pueden construirse
sin tener en cuenta por el momento la dependencia de F . En efecto, F puede
ser función de x, v, y t. Ahora bien, sólo en el caso de que se conozca además e
independientemente de la segunda Ley de Newton las funciones x = x(t) y v = v(t),
es posible expresar F = F (t) y realizar la integración del segundo miembro de
F = ma
(2.1)
que es una ecuación diferencial de segundo orden la cual no siempre tiene
solución. Como sabemos una ecuación diferencial de este tipo posee dos constantes
arbitrarias. Para determinarlas se necesitan dos condiciones iniciales (i.e. valores
que toman x0 y v0 para un t0 dado).
Si F = F (t) solamente, entonces (2.1) queda de la forma:
Z t
mv − mv0 =
F (t)dt
(2.2)
t0
cuyo segundo miembro es una integral calculable. Despejando v:
Z
1 t
v = v0 +
F (t)dt
m t0
(2.3)
y realizando una nueva integración:
1
x = x0 + v0 (t − t0 ) +
m
Z tZ
t0
t0
t0
F (t00 )dt00
(2.4)
Dinámica en una dimensión I
109
Esta expresión da x ≡ x(t) en función de dos integrales calculables. Si dichas
integrales no tienen primitiva explı́cita siempre podrán calcularse por métodos
numéricos.
Ejemplo Como ejemplo veamos el de un electrón libre de carga −e
sometido a un campo eléctrico oscilante a lo largo del eje x:
La fuerza sobre el electrón es: F = −eE = −eE0 cos(ωt + α) y ahora (t0 = 0)
queda para la velocidad
E0
v = v0 − e
m
= v0 +
Z
t
cos(ωt + α)dt =
0
eE0 sin α eE0
−
sin(ωt + α)
mω
mω
y para la posición, (x0 = 0):
x=−
E0 e cos α E0 e sin α
E0 e
+
ωt
+
cos(ωt + α)
mω 2
mω 2
mω 2
que puede escribirse también como:
x=
E0 e
[− cos α + ωt sin α + cos(ωt + α)]
mω 2
El término constante es la elongación necesaria, inicial, para que en t0 = 0 se
verifique x0 = 0 (ajuste del origen de espacios). En general el espacio aumenta
indefinidamente con el tiempo debido al término lineal aunque con las oscilaciones
del tercer término, queda en la forma:
Sin embargo, si la fase se ajusta de forma que α = 0, queda para x
x = [cos ωt − 1]
eE0
mω 2
eE0
esto es oscilante con el tiempo y el electrón queda confinado entre 0 y − mω
2
110
Capı́tulo 5
Representación de x para diferentes valores de α
3.
Fuerzas dependientes de la velocidad
Si ahora F = F (v) (2.1) queda en la forma m dv
= F (v), o lo que es lo mismo:
dt
Z v
t − t0
=
F −1 (v)dv
(3.1)
m
v0
con la integral del segundo miembro calculable. La única dificultad consiste en
que con esa expresión obtenemos una función t = t(v) que en general puede no ser
invertible dando una v = v(t) . Si consideramos casos en donde es posible hallar
la función inversa, obtenemos
v = f (v0 ,
y para x
Z
t − t0
)
m
t
x = x0 +
f (v0 ,
t0
t − t0
)dt
m
(3.2)
(3.3)
Ejemplo El caso más importante de fuerzas dependientes de la velocidad es el
caso de las fuerzas de rozamiento. Estas son siempre proporcionales a ella y de
sentido contrario. En general la forma funcional F (v) será muy complicada pero
en casos sencillos puede considerarse como una potencia simple de la velocidad en
la forma:
F (v) = ()kv n
Dinámica en una dimensión I
111
Si n es impar elegiremos el signo menos, pero si n es par no sabemos a priori cual
es el signo y hemos de elegirlo opuesto a la velocidad por análisis de las condiciones
fı́sicas del problema.
El ejemplo más simple es n=1. En ese caso, si la única fuerza existente es la
de rozamiento,
m
dv
= −kv
dt
es decir:
y para la x, x =
kt
Rt
0
v = v0 exp− m
kt
v0 exp− m es decir:
x=
a tiempo infinito v → 0 y x →
kt
mv0
(1 − exp− m )
k
mv0
,
k
valor lı́mite de la posición alcanzada.
112
4.
Capı́tulo 5
Problemas
1.) Una partı́cula de masa m cae verticalmente en el seno de un fluido que le opone
una resistencia proporcional tanto a su masa como a su velocidad. Deteminar la
posición, velocidad y aceleración al cabo de un tiempo t
Solución
Tomando el origen en la superficie del lı́quido, el vector posición es:
~r = −z~k
La ecuación del movimiento será
−mg~k − b~r˙ = m~r¨
o sea
−mg + bż = −mz̈
En términos de la velocidad v = ż
−mg + bv = −mv̇
que podemos escribir en forma integral como:
µ ¶Z
Z
Z
Z
mdv
1
dv
= dt =⇒
= dt
mg − bv
g
1 − (bv/mg)
Haciendo la integral
·
¸
bv
m
− ln 1 −
= t + t0
b
mg
i
b
mg h
v=
1 − e− m (t+t0 )
b
Suponiendo que se suelta en t = 0 con velocidad cero 1 = e
i
bt
mg h
1 − e− m
v=
b
de manera que tiende a una velocidad lı́mite
mg
b
Z
Z
i
bt
mg h
dz =
1 − e− m dt
b
vlim =
−bt0
m
Dinámica en una dimensión I
113
mg h
m bt i
t + e− m + k
b
b
Fijando z(0) = 0 (se encuentra en la superficie del lı́quido
z=
k=−
m2 g
b2
m − bt m i
mg h
t+ e m −
z=
b
b
b
114
Capı́tulo 5
2.) Hallar el movimiento de una partı́cula que se mueve a lo largo de una recta
bajo la acción de una fuerza F = −kmv 2 .
Solución
La ecuación del movimiento es:
mẍ = −kmv 2
m
Integrando
Integrando de nuevo
dv
= −kmv 2
dt
Z
Z
dv
= − kdt
v2
1
1
v0
− = −kt −
=⇒ v = −
v
v0
1 + v0 kt
Z
Z
dx =
x=
v0 dt
1 + v0 kt
1
ln(1 + v0 kt) + x0
k
Dinámica en una dimensión I
115
3.) Una fuerza F = 6kt actúa sobre una partı́cula de masa m que se mueve sobre
una recta. Si la partı́cula parte del reposo, determinar su velocidad y su posición
al cabo de un tiempo t.
Solución
dv
6kt =
dt
Z
Z
dv = 6ktdt
Z
v = v0 + 3kt2
Z
dx = (v0 + 3kt2 )dt
x = xo + vo t − kt3
116
Capı́tulo 5
4.) Una partı́cula en una dimensión está sometida a una fuerza F = ao e−kt . Si
parte del reposo, ¿Que velocidad máxima alcanza?. ¿Que espacio ha recorrido
cuando la velocidad alcanza dicho máximo?
Solución
La ecuación del movimiento es:
a0 e−kt = m
dv
dt
integrando
ao −kt
e
= mv + c1
k
Como v(0) = 0 =⇒ c1 = ako , luego
−
v=
Integrando de nuevo
¤
ao £
1 − e−kt
mk
·
¸
ao
1 −kt
x=
t+ e
+ c2
mk
k
ao
Si x(0) = 0 =⇒ c2 = − mk
2 y por tanto
x=
¤
ao £
kt + e−kt − 1
2
mk
La velocidad máxima se alcanza para t → ∞
vm = limt→∞ v =
Para entonces ha recorrido un espacio infinito
ao
mk
Dinámica en una dimensión I
117
5.) Un conejo se acerca a una zanahoria con una velocidad que es siempre proporcional a la distancia que hay entre ambos. Determinar el tiempo que necesitará el
conejo para alcanzar la zanahoria.
Solución
dx
= −kx
dt
Z
Z
dx
= − kdt
x
ln x = −kt + ln x0
x = x0 e−kt
Para que x se haga cero hace falta un tiempo infinito
118
Capı́tulo 5
6.) Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad inicial v0 . Determinar la
altura que alcanza si la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad.
Solución
Si tomamos el origen de coordenadas en el suelo
~r = z~k
la ecuación del movimiento es:
m~r¨ = −mg~k − b~r˙
o bien
mz̈ = −mg − bż
• Cálculo de la velocidad haciendo v = ż
mv̇ = −mg − bv
b
v)
mg
Z
= − gdt
v̇ = −g(1 +
Z
dv
b
v
1 + mg
µ
¶
b
b
ln 1 +
v = − (t + to )
mg
m
³
´
b
Como v(0) = v0 =⇒ ln 1 + mg
v0 = − mb t0 . Por tanto
b
1+
v=
mg
mg
v=
m
·µ
µ
¶
bt
b
1+
v0 e− m
mg
¶
¸
bt
b
−m
v0 e
−1
1+
mg
• Tiempo de subida La velocidad se anulará cuando
µ
¶
m
b
1
s
− bT
e m =
=⇒ Ts =
ln 1 +
v0
b
b
mg
1 + mg
v0
(1)
Dinámica en una dimensión I
119
• Cálculo del espacio
·
µ
¶
¸
bt
mg
m
b
−m
v0 e
z=
−
1+
− t + c0
b
b
mg
³
´
m2 g
b
c0 lo fijamos con la condición z(0) = 0 =⇒ c0 = b2 1 + mg v0 y
m2 g
x= 2
b
·µ
¶
´ bt ¸
bt
bv0 ³
−m
1+
1−e
−
mg
m
.
• Altura que alcanza
·
¶¸
µ
m2 g bv0
bv0
h = z(Ts ) = 2
− ln 1 +
b
mg
mg
Como ln(1 + x) → x − 21 x2
limb→0 h →
(2)
v02
2g
Podemos también expresar h en términos de Ts eliminando v0 entre (1) y (2)
¶
µ
bTs
m2 g
bTs
m
h= 2
e −1−
b
m
µ
¶
bv0
v0 m m 2 g
− 2 ln 1 +
(3)
=
b
b
mg
120
Capı́tulo 5
7.) Dos cuerpos de masas m y M con M > m se dejan caer desde la torre de
Pisa. Si la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, ¿Cúal llega antes
al suelo?
Solución
• Espacio y velocidad El problema es como el anterior pero con condiciones
iniciales
v(0) = 0
x(0) = h
de manera que:
bt
mg
(1 − e− m )
b
¶
µ
2
bt
m g − bt
e m −1+
z =h− 2
b
m
v=−
• Tiempo de caı́da. Corresponderá a z(Tc ) = 0
bTc
hb2
bTc
1+ 2 −
= e− m
mg
m
(4)
1+b/m(hb/mg-t)
exp(-bt/m)
T
bh/mg+m/b
En la figura se han representado graficamente los dos miembros de la ecuación
para Tc . Es fácil concluir que:
Tc <
m
bh
+
mg
b
Si consideramos el rozamiento suficientemente importante como para que
entonces
bh
T <
mg
b2 h
m2 g
>1
Dinámica en una dimensión I
121
la cota para T es inversamente proporcional a la masa luego m tarda en caer más
que M
• Podemos ahora combinar estos resultados con los del problema anterior. Si
consideramos una pelota lanzada al aire, con velocidad v0 que alcanza una altura
h y luego vuelve a caer, podemos comparar el tiempo de subida Ts y el tiempo de
bajada Tc dados por (3) y (4)
bTc
bTs
hb2
bTc
bTs
1 + 2 = e− m +
=em −
mg
m
m
En la figura se han representado graficamente los tres miembros de la expresión
anterior. Es fácil concluir que
Ts < T c
exp(bt/m)-bt/m
1+b/m(hb/mg)
exp(-bt/m)+bt/m
122
Capı́tulo 5
8.) Una plataforma de ferrocarril va cargada con cajas de embalaje que tienen un
coeficiente de rozamiento estático con el piso de 0, 25. Si el tren se va moviendo
a razón de 48, 3 km/h.¿Cúal será la mı́nima distancia en que puede detenerse sin
que resbalen las cajas?.
Solución
• Las ecuaciones para el frenado son
F = ma
1
s = vo t − aT 2
2
0 = vo − aT
de manera que, eliminado el tiempo
s=
v02
2a
F =m
v02
2s
• Para que las cajas no resbalen
Fr > F
µs mg > m
s>
v02
2s
v02
= 37 m
2gµs
puesto que v0 = 13, 6m/sg
9. Un cuerpo cuya masa es m = 0.80 kg se encuentra sobre un plano inclinado
30◦ . Determinar la fuerza que ha de aplicarse al cuerpo de modo que (a) ascienda
por el plano con aceleración a = 0.1 m · s−2 y (b) descienda por el plano con dicha
aceleración. El coeficiente de rozamiento con el plano es µ = 0.3.
Dinámica en una dimensión I
123
Solución
a) Ascenso
El análisis de fuerzas en la dirección paralela a la superficie nos lleva a
F
Fr
mg
α
F − Fr − mg sin α = ma
siendo Fr la máxima fuerza de rozamiento y por tanto
Fr = µmg cos α. Luego
α
F = m(a + µg cos α + g sin α)
Obteniendo F = 6.04 N .
b) Descenso
Suponiendo que es necesario aplicar una fuerza en el
sentido del movimiento tendremos
F − Fr + mg sin α = ma
Fr
F
α
mg
siendo Fr la máxima fuerza de rozamiento y por tanto
Fr = µmg cos α. Luego
α
F = m(a + µg cos α − g sin α)
Obteniendo F = −1.81 N . El sigo negativo nos indica
que en realidad tendremos que aplicar la fuerza en
sentido contrario al supuesto inicialmente.
124
Capı́tulo 5
10.) Calcular las aceleraciones de las masas y la tensión de la cuerda para el
sistema de la figura. Los coeficientes de rozamiento con los planos son µ1 y µ2
para m1 y m2 respectivamente.
Solución
x1
x2
T
N1
T
N2
α
m1 g
β
m2g
Si suponemos que hay movimiento entonces las fuerzas de rozamiento que intervienen son máximas. Hagamos los análisis de fuerzas por separado para las dos
masas. Tomaremos el sentido descendente como el sentido positivo para ambos
cuerpos. De modo que tendremos para m2 y m1 respectivamente
m2 ẍ2 = m2 g sin β − T − sgn(ẍ2 )µ2 m2 g cos β,
m1 ẍ1 = m1 g sin α − T − sgn(ẍ1 )µ1 m1 g cos α
donde sgn(x) significa “el signo de x”. Hemos de tener en cuenta que la fuerza
de rozamiento se opone al movimiento y por tanto a la velocidad. En este caso
puesto que las dos masas parten del reposo, el signo de la velocidad se corresponde
con el signo de la aceleración. Dependiendo de si el movimiento de una masa
es ascendente o descendente la fuerza de rozamiento tendrá una orientación u
otra siempre opuesta al movimiento, no ası́ la tensión o la componente del peso
cuyas orientaciones son siempre las mismas independientemente del sentido del
movimiento. Por otro lado existe la restricción x1 + x2 ≡ cte, de modo que ẍ1 =
−ẍ2 y por tanto sgn(ẍ1 )=−sgn(ẍ2 ). Aplicando estas relaciones a las ecuaciones
anteriores y eliminando T llegamos a
(m1 + m2 )ẍ2 = g(m2 sin β − m1 sin α) − sgn(ẍ2 )g(m2 µ2 cos β + m1 µ1 cos α). (4.4)
Para calcular la aceleración hemos de suponer que el movimiento se produce en un
sentido determinado. Si suponemos que ẍ2 > 0 y por tanto la masa m2 desciende
tendremos
gm2 (sin β − µ2 cos β) − gm1 (sin α + µ1 cos α)
,
ẍ2 =
m1 + m2
y para la tensión
T =
m1 m2
g [(sin β − µ2 cos β) + (sin α + µ1 cos α)] .
m1 + m2
Dinámica en una dimensión I
125
Los valores numéricos de las masas, ángulos y coeficientes de rozamiento determinan unı́vocamente el sentido del movimiento. De modo que si introducimos dichos
valores en las expresión para ẍ2 y obtenemos un valor positivo, eso significa que
hemos hecho la suposición correcta y por tanto el problema está bien resuelto.
Por el contrario si obtenemos un valor no positivo para ẍ2 esto significa que la
suposición del signo es incorrecta, por tanto hemos de volver a la ecuación (4.4) y
tomar ẍ2 < 0 lo cual nos dará otras expresiones distintas para la aceleración y la
tensión:
gm2 (sin β + µ2 cos β) − gm1 (sin α − µ1 cos α)
ẍ2 =
,
m1 + m2
m1 m2
T =
g [(sin β + µ2 cos β) + (sin α − µ1 cos α)] ,
m1 + m2
y ahora esta fórmula para la aceleración nos darı́a correctamente su valor negativo.
En general cuando hay fuerzas de rozamiento y movimientos relativos hemos de
recordar que para hacer el análisis de fuerzas tendremos que asumir un sentido
para el movimiento. Si al final los resultados numéricos no son compatibles con
nuestra suposición, tendremos que volver al principio y rehacer el análisis de fuerzas
asumiendo el sentido contrario para el movimiento. Esto es ası́ por el hecho de
que las fuerzas de rozamiento cambian su orientación en función del sentido del
movimiento.
126
Capı́tulo 5
11.) Determinar el coeficiente de rozamiento mı́nimo µ entre las cubiertas de las
ruedas y la superficie de una carretera en cuesta, con ángulo de inclinación α = 30◦ ,
para que un automóvil pueda subir por ella con la aceleración a = 0.6 m · s−2 .
Solución
N
Fr
Fr
mg
Fr
El rozamiento entre las cubiertas y el pavimento es precisamente lo que posibilita
que la fuerza de giro del motor pueda transferirse al vehı́culo. De modo que
la fuerza máxima con la que el motor puede mover el coche es precisamente la
fuerza máxima de rozamiento. El coeficiente de rozamiento mı́nimo para que el
coche ascienda con aceleración a será aquel que garantice que dicha aceleración se
adquiere con la fuerza máxima de rozamiento. De modo que tendremos
Fr − mg sin α = ma
⇒
luego
µmin =
µmin mg cos α − mg sin α = ma,
a + g sin α
g cos α
Obteniendose µmin = 0.65. Si el coeficiente de rozamiento es mayor que este
valor entonces la fuerza de rozamiento máxima aumenta y la fuerza del motor
necesaria para mantener la acelaración de subida será menor que la fuerza máxima
de rozamiento.
Dinámica en una dimensión I
127
12.) Sobre una mesa horizontal lisa descanda un cuerpo de masa M = 2 kg, sobre
el cual se encuentra otro cuerpo de masa m = 1 kg. Ambos cuerpos están unidos
entre sı́ por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. ¿Qué
fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse alejándose
de la polea con aceleración constante a = g/2?. El coeficiente de rozamiento
entre los cuerpos es µ = 0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa es
despreciable.
Solución
Fr
T
T
Fr
mg
F
x
Si hay movimiento relativo intervendrán las fuerzas de rozamiento máximas. La
masa inferior M se moverá hacia la derecha alejándose de la polea, de modo que la
masa superior m ejercerá la fuerza de rozamiento máxima Fr sobre la inferior en
dirección opuesta al movimiento. A su vez, por el principio de acción y reacción,
la masa inferior ejercerá una fuerza de igual magnitud y sentido opuesto sobre la
superior a la que intentará arrastrar. Por tanto el balance de fuerzas para cada
masa es
F − T − Fr = M ẍ,
Fr − T = −mẍ.
Combinando ambas expresiones tenenemos F − 2Fr = (M + m)ẍ. Luego
g
F = 2µmg + (M + m) .
2
Con los datos del problema F = 24.5 N .
128
Capı́tulo 5
13.) Sobre una mesa horizontal lisa descanda un cuerpo de masa M , sobre el cual
se encuentra otro cuerpo de masa m < M . El coeficiente de rozamiento entre las
masas es µ1 y el de la masa inferior con la mesa es µ2 . Si se aplica una fuerza
F sobre la masa inferior, estudiar las aceleraciones de los cuerpos en función de
F en los siguientes casos: (a) µ2 = 0, (b) µ2 6= 0. Considérense también ambas
situaciones cuando F es aplicada sobre el cuerpo superior en vez del inferior.
Solución
1.a) Fuerza aplicada en el cuerpo inferior con µ2 = 0
Al aplicar la fuerza podemos esperar varios comportamientos: que las masas permanezcan en reposo, que
f
m
ambas se muevan solidariamente con la misma acelF
f
eración o que la superior deslice sobre la inferior y por
M
tanto las dos masas se muevan con distintas aceleraciones.
Al aplicar la fuerza F sobre M , la masa superior ejercerá una fuerza de rozamiento
fr sobre la inferior que se opondrá al sentido del movimiento, y a su vez la masa
inferior ejercerá una fuerza de igual magnitud fr y sentido contrario para intentar
arrastrar a la masa superior. Si las masas no se mueven, es decir a = 0 para ambas,
los balances de fuerzas serán
r
r
fr = 0
⇒
F − fr = 0
F = 0.
Por tanto en cuanto F > 0 las masas comenzarán a moverse. La primera etapa
será aquella en que las masas se mueven solidariamente con la misma aceleración,
lo cual implica que no hay deslizamiento entre ellas y por tanto que fr < Fr siendo
Fr la fuerza máxima de rozamiento. En esta etapa tendremos
fr = ma
⇒
F − fr = M a
a=
F
m
; fr =
F.
M +m
M +m
Luego la aceleración que adquieren las masas es la que le corresponde a un cuerpo
cuya masa sea la suma de ambas que está sometido a la misma fuerza F . A medida
que F aumente llegaremos a a la segunda etapa en la que la masa superior comience
a deslizar sobre la inferior, y por tanto las masas tengan distintas aceleraciones.
En esta situación la fuerza de rozamiento se hace máxima
Fr = ma1
⇒
F − Fr = M a2
⇒
a1 = µ1 g,
m
F
− µ1 g,
a2 =
M
M
Dinámica en una dimensión I
129
utilizando que Fr = µ1 mg. El valor a1 es la máxima aceleración que puede adquirir
la masa superior. El deslizamiento implica que a2 > a1 lo que nos conduce a
F > µ1 g(M + m).
Si la fuerza excede este valor comenzará el deslizamiento entre los bloques. El
siguiente diagrama muestra las aceleraciones de ambas masas en función de la
fuerza aplicada:
a
a2 = F
M
µ 1g m
M
a1 = µ1g
µ1g
a=
F
(m+M)
µ1g(m+M)
F
1.b) Fuerza aplicada en el cuerpo inferior con µ2 6= 0
En este caso al aplicar la fuerza sobre la masa inferior aparecerá además una fuerza de rozamiento
f r1
m
con la mesa fr2 que se opondrá al movimiento.
f r1
F
M
f r
Igualmente podremos distinguir distintos tipos de 2 movimiento.
Si aplicando F las masas permanecen en reposo: a = 0 para ambas y las fuerzas
de rozamiento que aparecen no son máximas. De modo que
fr1 = 0
⇒
F − fr1 − fr2 = 0
F − fr2 = 0.
Luego mientras F < Fr2 la ecuación anterior podrá verificarse y no tendremos
movimiento alguno. En este case la normal que define Fr2 es la suma del peso de
ambas masas luego
0 < F < µ2 g(M + m)
⇒
REPOSO.
Cuando F exceda la fuerza máxima de rozamiento con la mesa comenzará el
movimiento solidario de las masas. En este caso
fr1 = ma
⇒
F − fr1 − Fr2 = M a
a=
m
F
−µ2 g; fr1 =
F −mµ2 g.
M +m
M +m
130
Capı́tulo 5
Si la fuerza sigue aumentando entraremos en la etapa de deslizamiento en la que
las masas tendrán distintas aceleraciones y todas las fuerzas de rozamiento serán
máximas:
Fr1 = ma1
⇒
F − Fr1 − Fr2 = M a2
⇒
a1 = µ1 g,
F
m
a2 =
− µ2 g − (µ1 + µ2 )g,
M
M
donde además se verifica que a2 > a1 lo cual implica que F > g(M + m)(µ1 + µ2 ).
Por tanto tenemos
µ2 g(M + m) < F < g(M + m)(µ1 + µ2 )
F > g(M + m)(µ1 + µ2 )
⇒
⇒
MOVIMIENTO CONJUNTO
DESLIZAMIENTO
El siguiente diagrama muestra las aceleraciones de ambas masas en función de la
fuerza aplicada:
a
a2 = F
M
a=
µ1g
F
(m+M)
µ 2g
µ 2g
a1 = µ1g
g(m+M)(µ1+µ2)
µ2g(m+M)
m (µ +µ )g
1 2
M
F
2.a) Fuerza aplicada en el cuerpo superior con µ2 = 0
En este caso al aplicar la fuerza F sobre m, la masa
inferior ejercerá una fuerza de rozamiento fr sobre la
fr
F
superior que se opondrá al sentido del movimiento,
m
fr
y a su vez la masa superior ejercerá una fuerza de
M
igual magnitud fr y sentido contrario para intentar
arrastrar a la masa inferior.
Dado que no existe rozamiento con la mesa, en cuanto F sea no nula, las masas
comenzarán a moverse. Inicialmente tendremos movimiento conjunto, de modo
que
F − fr = ma
⇒
fr = M a
a=
m
F
; fr =
F.
M +m
M +m
Dinámica en una dimensión I
131
Si aumentamos la fuerza la masa superior comenzará a deslizar sobre la inferior:
F − Fr = ma1
⇒
Fr = M a 2
⇒
F
− µ1 g,
m
m
a2 =
µ1 g,
M
a1 =
y tendrá que ser a1 > a2 , lo que implica
F >
m
(m + M )µ1 g.
M
El deslizamiento comienza cuando F verifique la relación anterior. El diagrama
muestra las aceleraciones de ambas masas en función de la fuerza aplicada:
a
a1 = F
m
µ 1g
a2 = µ1g m
M
µ1g m
M
a=
F
(m+M)
µ1g(m+M)
m
M
F
Si comparamos este diagrama con el diagrama para el caso 1.a) vemos que no
son iguales, es decir que aplicar la fuerza sobre la masa inferior o superior no es
equivalente. Aunque la fuerza máxima de rozamiento que interviene es la misma,
la fuerza lı́mite para que comience el deslizamiento cambia, debido a que la aceleración máxima de movimiento solidario está determinada por la masa del cuerpo
sobre el que no actúa la fuerza. Mientras las masas de los cuerpos sean distintas,
los diagramas del caso 1.a) y el superior no pueden ser idénticos.
2.b) Fuerza aplicada en el cuerpo superior con µ2 6= 0
Ahora hemos de contar con la fuerza de rozamiento
fr2 que surge entre la masa inferior y la mesa.
f r1
F
m
M
f r1
f
r2
Esta situación es ligeramente distinta. Si nos fijamos vemos que la fuerza resultante que puede mover la masa inferior es fr1 −fr2 . Por tanto esta masa sólo podrá
moverse si se verifica que Fr1 > Fr2 , es decir que la máxima fuerza de rozamiento
entre las masas pueda vencer a la máxima fuerza de rozamiento con la mesa. Consideraremos por separado las situaciones:
132
Capı́tulo 5
+m
2.b.I) Si Fr1 > Fr2 , ( µ1 > Mm
µ2 )
En este caso sabemos que la masa inferior podrá moverse. Inicialmente para que
ambas masas permanezcan en reposo tendremos
F − fr1 = 0
⇒
fr1 − fr2 = 0
F − fr2 = 0.
Luego mientras F < Fr2 la ecuación anterior podrá verificarse y no tendremos
movimiento alguno:
0 < F < µ2 g(M + m)
⇒
REPOSO.
Cuando F exceda la fuerza máxima de rozamiento con la mesa comenzará el
movimiento solidario de las masas. En este caso
F − fr1 = ma
⇒
fr1 − Fr2 = M a
F
M
−µ2 g; fr1 =
F −mµ2 g.
M +m
M +m
a=
Si aumentamos la fuerza llegará el deslizamiento:
F − Fr1 = ma1
⇒
Fr1 − Fr2 = M a2
⇒
siendo a1 > a2 lo que significa F >
F
− µ1 g,
m
m
(µ1 − µ2 )g − µ2 g,
a2 =
M
a1 =
m
g(µ1
M
− µ2 )(M + m). Por tanto tenemos
m
g(M + m)(µ1 − µ2 )
M
m
F >
g(M + m)(µ1 − µ2 )
M
µ2 g(M + m) < F <
Por tanto si Fr1 > Fr2 (µ1 >
M +m
µ2 ),
m
⇒
MOVIMIENTO CONJUNTO
⇒
DESLIZAMIENTO
el diagrama a vs F es el siguiente:
a
a1 = F
m
a=
m (µ −µ )g µ g
2
M 1 2
F
(m+M)
µ2g(m+M)
µ 2g
m g(m+M)(µ −µ )
1 2
M
µ1g
a2
F
Dinámica en una dimensión I
133
+m
2.b.II) Si Fr1 < Fr2 , ( µ1 < Mm
µ2 )
En esta situación la masa inferior no podrá desplazarse puesto que la fuerza
máxima de arrastre no puede vencer a la fuerza de rozamiento con la mesa. Por
tanto solo el bloque superior puede moverse. Para que comience a desplazarse
F
tendrá que ser F > Fr1 y en ese caso adquiere una acelaración a =
− µ1 g.
m
134
Capı́tulo 5
14.) Sobre un plano inclinado, con ángulo de inclinación α = 30◦ , se coloca una
plancha plana de masa m2 = 10 kg y sobre ella un cuerpo de masa m1 = 5 kg.
El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la plancha es µ1 = 0.15, y entre la
plancha y el plano µ2 = 0.3. Determinar las aceleraciones de ambos cuerpos. ¿Con
qué coeficiente de rozamiento µ2 la plancha no se moverá?.
Solución
Para hacer el análisis de fuerzas debemos suponer un tipo de movimiento para
las masa de entre todos los posibles. Supongamos que ambas masas descienden, y que la masa superior lo hace con una aceleración mayor que la plancha
y por tanto desliza sobre ésta. Veamos que fuerzas actúan sobre cada masa.
Para el cuerpo superior tenemos:
m1 g sin α − Fr1 = m1 a1 ,
Fr1 ≡ µ1 N1 = µ1 m1 g cos α,
Fr
N1
1
despejando la aceleración
α
a1 = g(sin α − µ1 cos α).
m 1g
Y para la plancha inferior:
m2 g sin α + Fr1 − Fr2 = m2 a2 ,
Fr1 = µ1 m1 g cos α,
Fr2 ≡ µ2 N2 = µ2 (m1 + m2 )g cos α,
N2
Fr
despejando la aceleración
¸
¶
µ
·
m1
(µ1 − µ2 ) − µ2 cos α .
a2 = g sin α +
m2
2
N1
α
Fr
1
m 2g
Con los valores del enunciado obtenemos
a1 = 0.37g = 3.63 m · s−2 ,
a2 = 0.18g = 1.72 m · s−2 ,
valores compatibles con la suposición inicial para el movimiento, de modo que la
solución es correcta.
Para que la plancha no se mueva se tiene que verificar que Fr2 > Fr1 +m2 g sin α,
lo que nos conduce a
m2 sin α + µ1 m1 cos α
µ2 >
.
(m1 + m2 ) cos α
Con los datos del enunciado deberı́a ser µ2 > 0.43.