1 1.- En un amplio y oscuro lugar se encuentran tres jóvenes y un

1.- En un amplio y oscuro lugar se encuentran tres jóvenes y un monstruo. Para
saber dónde se encuentra el monstruo cada joven dispone de un aparato. Dicho
aparato indica la temperatura que desprende el monstruo mediante la siguiente
función:
T ( x, y ) = 128 x + 12 y − 8 x 2 − y 2 + 27
Si los jóvenes se encuentran en los puntos A(1,6), B(8, −2) y C(10,2), ¿hacia dónde
se dirigirán, si saben que el alimento preferido del monstruo son los jóvenes?
Solución:
JJJG
Los jóvenes deberían huir en la dirección −∇T , que es en la que la temperatura (del
monstruo) disminuye más rápidamente (y por lo tanto se alejan de él).
Tx′ = 128 − 16 x ⇒ Tx′( A) = 112
Ty′ = 12 − 2 y
⇒ Ty′( A) = 0
Tx′( B ) = 0
Ty′( B) = 16
Tx′(C ) = −32
Ty′(C ) = 8
La dirección en la que cada joven debería huir viene dada por los siguientes vectores:
G
A ⇒ −112 i
G
B ⇒ −16 j
G
G
C ⇒ 32 i − 8 j
2.- En un amplio pabellón provisto de varias puertas, se introducen tres ratones,
uno blanco, otro gris y un tercero negro. Los tres ratones quedan sometidos a una
gran presión. Dicha presión (medida en atmósferas) viene dada por la función
3
P ( x, y ) = 2
, donde ( x, y ) indica la posición. Se sabe que si alguno de estos
3x + y 2
ratones recibe una presión de 2 o más atmósferas, morirá en pocos segundos. Los
ratones se encuentran en estas posiciones:
⎧
⎪Blanco: (−1,3)
⎪
⎪⎪
⎨Gris: (3, 0)
⎪
⎪
⎛ 1 ⎞
⎪Negro: ⎜
,1⎟
⎪⎩
⎝ 6 ⎠
a) El ratón blanco y el gris, que son resultado de un experimento científico,
tienen amplios conocimientos de matemáticas. Por lo tanto, ¿hacia dónde
huirán para librarse de la mortal presión?
b) El ratón negro, sin embargo, no sabe nada de matemáticas. Si, además de
eso, se pone nerviosos y huye en la dirección 2, − 6 , ¿qué le ocurrirá?
(
)
c) Calcular la ecuación de la curva isobara correspondiente a 2 atmósferas de
presión.
Solución:
⎛ 1 ⎞
,1⎟ .
a) Posición del ratón Blanco Z = (−1,3) , del Gris G = (3, 0) y del Negro B = ⎜
⎝ 6 ⎠
En esas posiciones iniciales, la presión que cada ratón está soportando es:
Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela
1
1
1
, P(G ) = y P( B ) = 2
4
9
Para no tener problemas, los tresJJJ
debería
huir en la dirección en la que más rápidamente
G
disminuye la presión, es decir, −∇P .
1
⎧ ′
1
⎧ ′
Px ( Z ) =
⎪
−6 y
−18 x
⎪ Py ( Z ) = −
⎪
8
⇒ ⎨
y Py′ =
Px′ =
⇒ ⎨
8
2
2
2 2
2
3x 2 + y 2 )
⎪ Py′(G ) = 0
⎪ P′(G ) = −
( 3x + y )
(
⎩
⎪⎩ x
27
JJJG
JJJG
⎛ 1 1⎞
⎛ 2 ⎞
Entonces, −∇P( Z ) = ⎜ − , ⎟ y −∇P(G ) = ⎜ , 0 ⎟ .
⎝ 8 8⎠
⎝ 27 ⎠
P(Z ) =
Es decir, el ratón Blanco debería huir en la dirección de la recta y = − x , y el Gris, por
su parte, en la del eje OX. En ambos casos alejándose del origen de coordenadas.
b) Como P( B) = 2 , el ratón Negro se encuentra en verdadero peligro. Si huye en la
G
dirección u = 2, − 6 , la variación de la presión nos la dará la derivada direccional.
(
)
G
G ⎛ 2 − 6⎞
u = 10 ⇒ u = ⎜⎜
,
⎟⎟ es unitario. Entonces:
⎝ 10 10 ⎠
dP
G
du
= Px′( B) ⋅
B
2
− 6
8
2
8 6
8 6 8 6
+ Py′( B) ⋅
=−
⋅
+ ⋅
=− ⋅
+ ⋅
=0
3 10 3 10
10
10
6 10 3 10
Es decir, la presión no varía puesto que el ratón Negro se está moviendo por la curva de
nivel. Por lo tanto, morirá.
3
x2
y2
2
2
2
6
2
3
c) P ( x, y ) = 2
=
⇔
x
+
y
=
⇔
+
=1
3x + y 2
1/ 2 3 / 2
Es decir, la curva de nivel correspondiente a 2 atmósferas de presión es una elipse
centrada en el origen. Y sobre ella se está moviendo el ratón Negro.
3.- Consideremos la función T ( x, y, z ) =
1
, que indica la temperatura en
e
los puntos ( x, y, z ) ∈ \ 3 , y supongamos que nos encontramos en el punto P (1,1,3) .
a) Hallar la ecuación de la superficie S formada por los puntos isotérmicos con
el punto P. Representarla gráficamente.
b) Desde el punto P, hallar la dirección y el sentido donde la temperatura crece
más rápidamente.
c) Calcular en el punto P la ecuación del plano tangente a la superficie S.
x 2 + y 2 + ( z −1)2
Solución:
a) Temperatura en P: T ( P) =
T ( x, y , z ) = T ( P ) ⇔
1
1+1+ 22
e
1
ex
2
+ y 2 + ( z −1)2
1
⇒ Puntos isotérmicos:
e6
1
= 6 ⇔ x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 6 .
e
=
Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela
2
Es decir, la superficie S es una esfera centrada en (0,0,1) y de radio 6 .
Z
x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 =
Y
X
b) La variación máxima de la temperatura se obtiene en la dirección del gradiente:
−2 x
−2 ⎫
Tx′ = x2 + y 2 + ( z −1)2 ⇒ Tx′( P) = 6 ⎪
e
e
⎪
JJJG
−2 y
−2 ⎪
⎛ −2 −2 −4 ⎞
Ty′ = x2 + y 2 + ( z −1)2 ⇒ Ty′( P) = 6 ⎬ ⇒ ∇T ( P) = ⎜ 6 , 6 , 6 ⎟
e ⎪
⎝e e e ⎠
e
⎪
−2( z − 1)
−4
Tz′ = x2 + y 2 + ( z −1)2 ⇒ Tx′( P) = 6 ⎪
e ⎭
e
Luego, el mayor aumento de la temperatura se obtiene en la dirección y sentidos del
vector (−1, −1, −2) .
c) Sobre la superficie S la temperatura no varía, luego el plano tangente en P y el
gradiente en dicho punto son perpendiculares. Por lo tanto,
JJJG
⎛ −2 −2 −4 ⎞
(−1, −1, −2) & ∇T ( P) = ⎜ 6 , 6 , 6 ⎟
⎝e e e ⎠
Es el vector característico del plano tangente.
Esto es:
−x − y − 2z + D = 0
Y como P (1,1,3) ∈ S es el punto de tangencia: −1 − 1 − 6 + D = 0 ⇔ D = 8
Luego, el plano tangente a S en P es: x + y + 2 z − 8 = 0
Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela
3