Circulo de Mohr - Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS III
Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP
CIRCULO DE MOHR
para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio
Autores:
Ing. Federico Antico
Sr. Santiago Pezzotti
Revisado por:
Ing. Juan Pablo Durruty
-2008-
ESTRUCTURAS III
Círculo de Mohr
Circulo de Mohr:
• Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método
gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las
tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas
ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones
que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas
tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.
•
Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:
Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano
de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan
esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento
triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en
esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la
matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de
ser asociado con el modelo físico:
figura 1
En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales
han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son
normal y tangente al plano Aθ respectivamente.
Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.
Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
− σ x .A x − τ θ .A θ .senθ + σ θ .A θ . cos θ = 0
(1)
Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:
−σ y .A y + τθ .A θ .cos θ + σ θ .A θ .senθ = 0
(2)
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Círculo de Mohr
Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:
− σ x . cos θ − τ θ .senθ + σ θ . cos θ = 0, donde A θ ≠ 0 (1-1)
−σ y .senθ + τθ .cos θ + σ θ .senθ = 0, donde A θ ≠ 0 (2-2)
Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:
0 = −σ x . cos 2 θ − σ y .sen 2 θ + σ θ (3)
Y considerando las relaciones trigonométricas:
cos 2 θ =
(1 + cos 2θ)⎫
⎪
2
⎪
(
1 − cos 2θ) ⎪
2
sen θ =
⎬(4)
2
⎪
sen 2θ ⎪
senθ. cos θ =
⎪
2
⎭
Se llega a:
σθ =
(σ x + σ y ) + (σ x − σ y ). cos 2θ (5)
2
2
Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:
Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y
considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:
τθ = −
(σ x − σ y ).sen 2θ (6)
2
Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los
puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la
circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ,
entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:
⎡
( σx + σy ) ⎤⎥ + τ 2 = ⎡⎢ ( σx − σy ) ⎤⎥
⎢ σθ −
θ
2
2
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
2
2
Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En
esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma
⎛ σx + σy ⎞
⎜
⎟ y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene
⎜
⎟
2
⎝
⎠
valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa
superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.
(
)
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τ
τθ
σθ
2θ
σx
σy
σ
Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el
proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta
terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.
El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de
tensiones.
•
Teoría del círculo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales:
1. Introducción:
Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál
adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.
O
Sean las tensiones σ i y las áreas A i correspondientes a cada una de las i caras del
tetraedro.
El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir de la siguiente ecuación
vectorial:
_
_
σ ν .dA − ∑ σ i .dA i = 0
(a)
Como dA i = dA.ν i , donde υi es el coseno del ángulo entre los vectores normales a los
planos dA y dA i .
De esta manera la ecuación (a) se puede escribir de la forma:
_
∧
σ ν = σ ij .υi . tj (b)
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Ahora la componente normal al plano oblicuo de σ υ se puede obtener proyectando esta
sobre la dirección ν:
σ υυ = σ υ . υ (c)
Considerando
_
∧
que
el
versor
ν tiene
coordenadas
cartesianas
υi ,
entonces:
∧
υ = υi . t i , donde t i es el versor en la dirección Xi.
Considerando la ecuación (b) entonces la (c) se puede escribir como:
∧ ⎞⎛
∧ ⎞
⎛
σ υυ = ⎜⎜ σ ij .υi . t j ⎟⎟.⎜⎜ υ m . t m ⎟⎟ (d)
⎝
⎠⎝
⎠
Luego la tensión total sobre el plano oblicuo se puede expresar en función de sus
componentes normal y coincidente con el plano oblicuo:
σ υυ 2 + σ υs 2 = σ υ 2 , ver figura I
_
σ υs
_
∧
συ
υ
_
σ υυ
figura 2
Entonces a partir de (b) y (d) se llega a:
(
)
σ υs 2 = σ im .σ jm .υi .υ j − σ ij .υ i .υ j 2 (e)
2. Teoría del circulo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales:
Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales
(ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras es máxima o nula y el
corte nulo).
El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cúbico será:
⎡σ I
σ ij = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
[ ]
0
σ II
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
σ III ⎥⎦
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Si queremos conocer el versor ν de un cierto plano, conociendo su estado tensional y
recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor ν
(
)
es uno υ12 + υ 2 2 + υ 3 2 = 1 , se obtienen las siguientes ecuaciones:
σ υυ = σ I .υ12 + σ II .υ 2 2 + σ III .υ3 2
σ υ 2 = σ I 2 .υ12 + σ II 2 .υ 2 2 + σ III 2 .υ 3 2
1 = υ12 + υ 2 2 + υ 3 2
Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Suponga que las tensiones
principales tienen magnitudes tal que: σ I > σ II > σ III .
Las incógnitas de este sistema son:
1. υ12 =
(σ υυ − σ II )(. σ υυ − σ III ) + σ υs 2
(σ I − σ II )(. σ I − σ III )
2. υ 2 2 =
(σ υυ − σ III )(. σ υυ − σ I ) + σ υs 2
(σ II − σ III )(. σ II − σ I )
3. υ3 2 =
(σ υυ − σ I )(. σ υυ − σ II ) + σ υs 2
(σ III − σ I )(. σ III − σ II )
Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de
los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben
cumplir:
(σ υυ − σ II )(. σ υυ − σ III ) + σ υs 2 ≥ 0
(σ υυ − σ III )(. σ υυ − σ I ) + σ υs 2 ≤ 0
(σ υυ − σ I )(. σ υυ − σ II ) + σ υs 2 ≥ 0
Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que
definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las
circunferencias son simétricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se
ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados
tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. Una
gráfica a modo de ejemplo se presenta a continuación:
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Caso particular:
Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este caso se
denomina de tensiones hidroestáticas, en éste, el círculo de Mohr se representa por un
punto. Se llama así porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto cúbico
diferencial se sumerge en un líquido, sus seis caras están sometidas a la misma tensión
y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinación de este objeto, las tensiones
siempre serán normales.
•
Ejemplo práctico de aplicación de Circulo de Mohr
El ejemplo a continuación es un ejemplo demostrativo (sin valores numéricos) del análisis
mediante el Circulo de Mohr.
Sea una viga empotrada con Presión Interna, Momento Torsor y una carga P aplicada en el
extremo libre.
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Sección:
Se desea conocer el tensor de tensiones para ciertos puntos del sistema dado, según el
estado de cargas. El tensor de tensiones será de la forma:
⎡σx σxθσ xr ⎤
⎢σ σ σ ⎥
⎢ xθ θ θr ⎥
⎢⎣σrx σrθσr ⎥⎦
Punto 1:
⎡0 σ xθ 0 ⎤
⎢σ σ 0 ⎥
⎢ xθ θ ⎥
⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
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Punto 2:
⎡ 0 σ xθ 0 ⎤
⎢σ σ 0 ⎥
⎢ xθ θ ⎥
⎢⎣ 0 0 σ r ⎦⎥
Punto 3:
⎡0 σ xθ 0 ⎤
⎢σ σ 0 ⎥
⎢ xθ θ ⎥
⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
Cabe destacar que tanto en el punto 1), como el 2), la tensión de corte esta dada por el
Momento Torsor. En cambio para el punto 3), la tensión de corte esta dada por el
Momento Torsor y la Carga aplicada en el extremo libre.
También se observa que en todos los puntos analizados la tensión σR es principal.
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Bibliografía:
“Introducción a la teoría de elasticidad” (Godoy-Prato-Flores)
“Mechanics of elastic bodies” (Universidad de Nebraska), texto on –line.
http://em-ntserver.unl.edu/NEGAHBAN/Em325/intro.html
“Solid mechanics” (Wiki Free Books), texto on – line.
http://en.wikibooks.org/wiki/Solid_Mechanics
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