Efectos de tamaño en plasticidad cristalina

Efectos de tamaño en plasticidad cristalina – Gil Sevillano & Kubin
Efectos de tamaño en plasticidad cristalina
Javier Gil Sevillano1 y Ladislas P. Kubin2
(1)
CEIT, Centro de Estudios e Investigaciones Técnicas de Guipúzcoa y TECNUN, Campus
Tecnológico, Universidad de Navarra, Apdo. 1555, 20080 San Sebastián
(2) LEM, Laboratoire d’Étude des Microstructures, CNRS-ONERA, BP 72, 92322 Chatillon Cedex,
Francia
Agradecimiento: MICYT, proyecto MAT2002-04343-C03-03
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RESUMEN
• Plasticidad tradicional:
Ecuaciones independientes de la escala ⇒ soluciones
isométricas
• Plasticidad real:
Propiedades plásticas dependientes de la escala
microestructural o de la dimensión externa del cristal
⇒ soluciones alométricas y transiciones
de comportamiento ligadas al tamaño,
i.e., efectos de tamaño:
”SMALLER IS HARDER” & “SMALLER IS DIFFERENT”
• Dos tipos de efectos de tamaño:
• intrínsecos
• asociados a gradientes de deformación
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PLASTICIDAD “TRADICIONAL”
Plasticidad del continuo
Criterio de plastificación
Ley de flujo plástico
Ley de endurecimiento
f1 (σ ij ) ≤ σ
∂f
dε ij = 1 dλ
∂σ ij
σ = σ (ε ) , d ε = f 2 (dε ij ) ≥ 0
Plasticidad cristalina
mijs σ ij ≤ τ cs
mijs dΓs = dε ij
τ cs = τ cs (Γ ) , Γ = ∑ Γs
s
Las ecuaciones plásticas no contienen ninguna longitud característica
⇒ Soluciones isométricas (escalables),
Invariantes respecto al tamaño
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Sin embargo:
Es archiconocido que las propiedades plásticas (resistencia, endurecimiento por
deformación...) dependen fuertemente de las dimensiones de la microestructura
interna de los materiales cristalinos: existen multitud de efectos de tamaño
que relacionan propiedades plásticas con longitudes microestructurales
características.
[ Paradigmáticos: la “relación de Hall-Petch” o la “relación de Taylor”, entre la
resistencia a la deformación plástica y, respectivamente, el tamaño de grano o la
distancia media entre dislocaciones
σ ∝ D −1 2
]
σ ∝ ρ1 2
Petch, 1954
Basinski y Basinski, 1984
Monocristales de Cu y Ag
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La plasticidad convencional no es capaz de predecir ninguno de
esos efectos microestructurales (aunque tenga en cuenta algunos
aspectos de la estructura interna, vg., la policristalinidad, la anisotropía,...).
Los tiene que introducir artificialmente (trabaja desacopladamente
respecto a la plasticidad basada en dislocaciones).
Esto funciona suficientemente bien en la escala dimensional de la
tecnología convencional.
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La plasticidad convencional trabaja con objetos
macroscópicos, con elementos de volumen cuyo
tamaño, L, es muy superior a todas las dimensiones
estructurales relevantes para su comportamiento,
que, a su vez, mantienen una jerarquía “normal”
Lext >>> D >> ξ >> d >> ρ−1/2 >> … >> wn > b
...pero la plasticidad ocurre en un margen muy amplio de escalas
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ESCALA CUBIERTA POR LOS FENÓMENOS PLÁSTICOS (m)
0.1
nano
micro
1 µm
1 nm
1.E-09
1.E-08
1.E-07
1.E-06
meso
macro
10 m
0.1 mm
1.E-05
1.E-04
1.E-03
mega
1.E-02
1.E-01
0
1.E+00
1.E+01
1 Mm
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
Procesos industriales y ensayos
convencionales &
Construcciones
estructurales
Micro y nanotecnologías
ESCALA A LA QUE FUNCIONA
ACEPTABLEMENTE LA
PLASTICIDAD
CONVENCIONAL
Procesos geológicos
(manto, núcleo interno)
1 micron
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La irrupción de las micro y nanotecnologías exige diseñar
mecánicamente a escala micro y nanoscópica:
vg., predicción de y caracterización de fenómenos plásticos en MEMS y
microcircuitos con elementos de dimensiones < 200 nm y películas delgadas de
intercara de espesor nanométrico ⇒ los elementos de volumen (o el propio
tamaño físico del elemento a modelizar) son de menor tamaño que longitudes
microestructurales características
Cu metal lines
TiN
< 10 µm
SiO2
Al-Cu
CDO (low-k)
insulating dielectric
W
1 µm
INTEL
INTEL Stack de 7 pisos de metalización
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• Toque de atención sobre efectos plásticos de tamaño desconocidos o
semiolvidados. Constatación de que las teorías convencionales no
sirven
• Modificación de las teorías plásticas convencionales: nuevas teorías
“alométricas” de plasticidad del continuo
• Constatación de que hace falta profundizar en los fundamentos
físicos y realizar muchos más estudios experimentales
• Necesidad de desarrollar nuevos métodos submicroscópicos de
ensayos mecánicos
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ESCALA CUBIERTA POR LOS FENÓMENOS PLÁSTICOS (m)
0.1
nano
micro
macro
0.1 mm
nm
1.E-09
meso
1.E-08
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
Micro y nanotecnologías
ESCALA A LA QUE HAY QUE
ACUDIR A SIMULACIONES
ATOMÍSTICAS Y DINÁMICA DE
DISLOCACIONES DISCRETAS
D. Molec.
D. Disloc.
1.E-03
mega
10 m
1.E-02
1.E-01
0
1.E+00
1.E+01
Procesos industriales y ensayos
convencionales &
Construcciones
estructurales
Mm
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
Procesos geológicos
(manto, núcleo interno)
ESCALA A LA QUE FUNCIONA
ACEPTABLEMENTE LA
PLASTICIDAD
CONVENCIONAL
P. Polyx.
P. Cont.
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El origen de todos los efectos de escala: ciertas
longitudes internas son inherentes a la plasticidad
• La irreversibilidad del cambio de forma plástico implica
desplazamientos internos discretos de longitud interatómica: longitud b
• La plasticidad cristalina está mediada por defectos lineales muy
localizados, las dislocaciones, portadores de un “cuanto” elemental de
desplazamiento b; la distancia entre las líneas de dislocación es
fundamental para determinar el nivel de la resistencia a la deformación
plástica: ρ−1/2
• La distancia entre otros obstáculos al deslizamiento de las
dislocaciones es el otro constituyente de esa resistencia: D, d, c-1/2...
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EFECTOS INTRÍNSECOS DE TAMAÑO
Por interferencia del tamaño (o espesor) de la muestra o de la región plástica, L, o
del de las regiones plásticas autónomas (los granos), D, con alguna de las
longitudes microestructurales características. Vg.:
Lext ≈ D
desviación de la rel. Hall-Petch
(comportamiento “multicristalino”, L < 10D)
Lext ≈ ρ−1/2
comportamiento tipo “whisker” (τc ≅ τideal ≅ G/10)
D≈ ξ
desaparición del endurecimiento (D ≤ 1 µm)
transición de τc ∝ D-1/2 a τc ∝ D-1 (Orowan rel.)
D ≈ tjunta grano
inversión de la rel. Hall-Petch en mats.
nanocristalinos (D ≤ 10 nm)
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Ej. EIT 1.
Debilitamiento de la capacidad de endurecimiento para L < ξ
La capacidad de acumular dislocaciones en el interior de los cristales (base del
endurecimiento) se reduce fuertemente por debajo de un tamaño crítico
2 .1 5
2 .1
Endurecimiento
por deformación,
monocristales de
Cu, “estadio II”
lo g θ ΙΙ ( M p a )
El tamaño crítico es
proporcional a la
distancia media entre
dislocaciones en el
cristal (muy grande
en el caso de la
figura)
2 .0 5
2
1 .9 5
1 .9
s lo p e 1 / 3
1 .8 5
1 .8
1 .7 5
lo g L ( m m )
1 .7
- 1 .5
-1
- 0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
Predicción teórica: Gil Sevillano, Ocaña Arizcorreta y Kubin, 2001 (modelo de percolación)
Datos experimentales: Fourie, 1967, 1968.
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Esto crea problemas para la utilización de materiales nano o submicrocristalinos:
su ductilidad es muy baja
1100 Al y acero ULC IF procesados por ARB
Tsuji et al., 2002
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Ej. EIT 2.
Inversión del efecto Hall-Petch para D < 10 nm
Conrad y Narayan, 2002
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Por debajo de 10 nm, toda la deformación es intergranular
Cu, desplazamientos
atómicos para una
deformación
del 3.2 % a TA (simul. DM)
Van Swygenhoven et al., 1999
Grano medio: 8nm
Grano medio: 5 nm
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EFECTOS EXTRÍNSECOS DE TAMAÑO
Asociados a gradientes de deformación plástica:
la heterogeneidad del campo de deformaciones se traduce en
diferencias de flujo de dislocaciones a través del elemento de
volumen cristalino ⇒ almacenamiento en su interior de
“dislocaciones geométricamente necesarias”, DGN
Los gradientes variarían con 1/L en caso de isometría.
La densidad de DGN es:
Dado que
ρG =
1
M Gs n s × ∇Γs
∑
b s
∝ 1/L
τc = αGb ρ S + ρG
⇒ efectos de tamaño para ρG
ρS
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Ejemplo de dos situaciones con gradientes y previsible ET para
tamaños pequeños (respectivamente, radio y profundidad de la huella)
θ
Hay muchos más ejemplos, vg.:
• Zona plástica en la punta de grietas bajo carga
• Compactación de nanopolvos
• Micromecanizado
• Fricción y desgaste abrasivo (micro y nanocontactos)
• Flexión de micro y nanoláminas
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Ej. EET 1.
Gradiente plástico y DGN en la torsión
En la torsión de una barra cilíndrica:
rθ
γ=
l
∂γ γ R
=
∂r
R
⇒ ρG ∝
⇒EET muy fuerte para torsión de filamentos de pequeño radio
(comprobado por Fleck, Muller Hutchinson y Ashby, 1994)
2γ
ρG ≅ R
bR
Vg., para γR ≅ 1, R = 10 µm, ¡ ρG ≅
2.4
m=0
2.3
bRρG / γR
Predicción basada en plasticidad
cristalina dependiente de la velocidad
de deformación para torsión de cristales
hexagonales con orientación axial c y
deslizamiento basal:
0.3
2.2
0.5
2.1
0.7
2
1015
m-2 !
m=1
1.9
30
40
50
60
70
80
90
θ (º)
(Martínez- Esnaola, Montagnat, Duval y Gil Sevillano, 2004)
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Ej. EET 2.
ISE: Indentation Size Effect
¡Conocido desde 1908! “Resucitado” por la relevancia actual de la
nanoindentación. Explicado convincentemente por Nix y Gao, 1998.
H ∝ τc
τ c = αGb ρ S + ρG
ρG
ρS ⇒
H 2 ∝ τ c2 ∝ ρ G ∝ 1 L
¡La dureza se puede multiplicar por 5!
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...o casi: hay
una transición
de tamaño
hacia profs. de
1 µm
ETE nanoH
Transición por ETI
Cuadrado de la dureza frente al inverso de la profundidad de indentación
4
y = 0,205x + 1,7182
2
R = 0,969
3,5
y = 0,253x + 1,1505
2
R = 0,9942
3
y = 0,2608x + 0,7665
2
R = 0,9854
y = 2,7511x + 0,9827
2
R = 0,9848
2,5
H^2
zoom ETE microH
y = 0,2329x + 0,5635
2
R = 0,973
2
1,6
1,4
y = 2,7511x + 0,9827
2
R = 0,9848
1,5
1,2
y = 3,8059x + 0,4842
2
R = 0,9771
y = 3,8059x + 0,4842
2
R = 0,9771
H^2 [GPa^2]
1
C401
C503
C601
Ref
Li neal (C401)
0,8
y = 2,3538x + 0,3131
2
R = 0,9892
1
Li neal (C601)
y = 2,3538x + 0,3131
2
R = 0,9892
Li neal (C503)
Li neal (Ref)
0,6
0,5
0,4
y = 1,2343x + 0,1563
2
R = 0,981
y = 1,2343x + 0,1563
2
R = 0,981
0,2
0
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
1/h [1/micras]
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1/h [1/micra]
C4Micro
C5Micro
C6Micro
RefMicro
C4Nano
C5Nano
C6Nano
RefNano
Lineal (C4Nano)
Lineal (C4Micro)
Lineal (C6Nano)
Lineal (C6Micro)
Lineal (C5Nano)
Lineal (C5Micro)
Lineal (RefNano)
Lineal (RefMicro)
Cobre ETP (D=70±5 µm) con cuatro niveles de deformación a tracción, García Baglietto, 2003
Microdurezas Vickers y nanoindentaciones Berkovich
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Los gradientes internos asociados a la anisotropía plástica
contribuyen fundamentalmente al efecto Hall-Petch
Ej. EET3.
Modelización mesoscópica atérmica del efecto Hall-Petch
mediante plasticidad dependiente del gradiente, teniendo
en cuenta heterogeneidad espacial de orientaciones, densidad
de dislocaciones y tensiones internas (límite inf. Para juntas
transparentes y límite superior para barreras perfectas)
Aldazabal y Gil Sevillano, 2004
0.5
T = 77K
99.98% Al
0.4
99.99% Al
KHP / MGb1/2
99.99% Al
99.98% Cu
0.3
99.999% Cu
Cu-30% Zn
Cu-6.11% Al
0.2
0.1
0
0
[Pendientes de H-P calculadas y puntos exp. De Cu a 77 K]
0.25
0.5
Γ = Mε
0.75
1
[Colección de valores exp. para Al, Cu y aleaciones de Cu a 77 K]
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CONCLUSIÓN
• Las microtecnologías han puesto en evidencia que
quedaban aspectos inexplorados en el comportamiento
clásico
• Esto ha estimulado el perfeccionamiento de las teorías del
continuo, ha impulsado fuertemente las modelizaciones
atomísticas y de dinámica de dislocaciones discretas, así
como el desarrollo de técnicas nanomecánicas de ensayo
• Pero hay mucho por hacer, tanto desde el campo
fundamental como desde el aplicado
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Vg.:Ensayo de
agrietamiento controlado
mediante
nanoindentación
transversal de un
multicapa estructurado,
para extraer información
sobre adhesión de las
intercaras: difícil
análisis, que implica
modelizar plasticidad y
fractura a varias escalas
Películas metálicas
multicristalinas, L ≈ D
de espesor
sub-micrométrico
M7
Intel-CEIT, Molina et al., 2004
Fuertes gradientesde deformación plástica en
el entorno de la grieta cuando roza o cruza
láminas delgadas metálicas
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