Cap´ıtulo 13 Algunas propiedades del producto estrella

Capı́tulo 13
Algunas propiedades del producto
estrella
1. Conjugación compleja: El complejo conjugado del producto estrella de dos funciones f
y g es igual al producto de las funciones conjugadas, tomado en orden inverso
̰
!∗
µ ¶n
X
1
i
(f ∗ g)∗ =
θα1 β1 · · · θαn βn ∂α1 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g
=
n!
2
n=0
µ ¶n
∞
X
i
1
−
θ α1 β 1 · · · θ αn β n ∂ α1 . . . ∂ αn f ∗ ∂ β 1 . . . ∂ β n g ∗
=
n!
2
n=0
µ ¶n
∞
X
1
i
=
−
(−1)n θβ1 α1 · · · θβn αn ∂β1 . . . ∂βn g ∗ ∂α1 . . . ∂αn f ∗
n!
2
n=0
= g∗ ∗ f ∗
(13.1)
2. Relación con el producto normal: el producto estrella de dos funciones f y g se puede
escribir como el producto puntual usual de ambas funciones mas una derivada total
µ ¶n
∞
X
1 i
θα1 β1 · · · θαn βn ∂α1 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g =
f ∗g =
n!
2
n=0
µ ¶n
∞
X
1 i
θα1 β1 · · · θαn βn ∂α1 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g =
= f g+
n!
2
n=1
= fg +
+θ
α1 β 1
µ ¶n
∞
X
1 i
∂ α1
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g =
n! 2
n=1
= f g + ∂µ B µ [f, g]
133
(13.2)
donde
µ
B [f, g] = θ
µβ1
µ ¶n
∞
X
1 i
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g
n!
2
n=1
(13.3)
3. Conmutador de Moyal: el conmutador de dos funciones f y g es una derivada total,
como se deduce fácilmente de la formula anterior
[f, g]− = ∂µ B µ [f, g]
(13.4)
donde
B µ [f, g] = B µ [f, g] − B µ [g, f ] =
µ ¶n
∞
X
1 i
µβ1
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g −
= θ
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
1 i
µβ1
θ α2 β 2 · · · θ αn β n ∂ α2 . . . ∂ αn g ∂β 1 . . . ∂ β n f =
−θ
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
1 i
µβ1
= θ
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g −
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
1
n−1 i
µβ1
θ α2 β 2 · · · θ αn β n ∂ β 2 . . . ∂ β n g ∂β 1 ∂ α2 . . . ∂ αn f =
(−1)
−θ
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
1 i
µβ1
= θ
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g −
n! 2
n=1
µ ¶n
∞
X
i
1
µβ1
n
−θ
(−1)
θ α2 β 2 · · · θ αn β n ∂ β 1 . . . ∂ β n g ∂α2 . . . ∂ αn f =
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
i
1
n
µβ1
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g =
(1−(−1) )
= θ
n!
2
n=1
µ ¶n
∞
X
1 i
µβ1
= θ
θα2 β2 · · · θαn βn ∂α2 . . . ∂αn f ∂β1 . . . ∂βn g
(13.5)
n! 2
n impar
4. Permutación cı́clica: la permutación cı́clica de un producto estrella genera derivadas
totales
µ
f ∗ g ∗ h = h ∗ f ∗ g + ∂µ BCicl
[f, g, h]
(13.6)
donde
µ
BCicl
[f, g, h] = B µ [f ∗ g, h] = B µ [f, g ∗ h] + B µ [g, h ∗ f ]
134
(13.7)